P

OLITECHNIKA

´

S

L ˛

ASKA

W

YDZIAŁ

I

N ˙

ZYNIERII

B

IOMEDYCZNEJ

Sprawozdanie

WYBRANE PROBLEMY MATEMATYCZNE

Autor: Farys El-Rezqallah

Prowadz ˛

acy ´cwiczenie: dr in˙z. Jacek Kawa

Gliwice, 27 marca 2013

Spis treści

1. Rozwiązanie zadań z laboratorium

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1

Zadanie 1 - rozwiązywanie układów równań

. . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Metoda macierzy odwrotnej i pseudoodwrotnej

. . . . . . . .

1

1.1.2

Eliminacja Gaussa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.3

Wzory Cramera

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.4

Wnioski

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Zadanie 2 - Równania nieliniowe. Rozwiązywanie numeryczne.

. . . .

2

1.2.1

Zadanie 2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2

Zadanie 2.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.3

Zadanie 2.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Zadanie 3 - Obliczenia symboliczne. Równania nieliniowe.

. . . . . . .

4

1.3.1

Zadanie 3.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.2

Zadanie 3.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.3

Zadanie 3.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.4

Zadanie 3.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Bibliografia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Spis rysunków

1.1

Wykres powstały przy realizacji zadania 2.1

. . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Wielomian z oznaczonymi miejscami zerowymi

. . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Wykres przedstawiający wybraną funkcję wraz z miejscem zerowym.

.

5

1.4

Okręgi z zaznaczonymi miejscami przecięcia

. . . . . . . . . . . . . .

6

1.5

Punkty przecięcia się okręgu o2 z osią OX.

. . . . . . . . . . . . . . .

7

1.6

Własna funkcja trygonometryczna z wartościami zerowymi.

. . . . . .

7

Spis tabel

1. Rozwiązanie zadań z

laboratorium

1.1

Zadanie 1 - rozwiązywanie układów równań

Rozwiązanie zadania pierwszego realizuje kod dostępny poniżej.

1.1.1

Metoda macierzy odwrotnej i pseudoodwrotnej

A= [ 2 . 0 0 0 1 6 . 0 0 0 1 7 ; 1 . 9 9 9 9 5 . 9 9 9 9 7 . 0 0 0 2 ; 2 6 7 . 0 0 0 1 ] ;
B= [ 7 . 9 9 9 9 9 9 ; 8 . 0 0 0 0 0 1 ; 7 . 9 9 9 9 9 8 ] ;

%M a c i e r z odwrotna

A2=A’
B2=B’

X=B2∗

inv

(A2)

X=Aˆ( −1)∗B

%s p r a w d z e n i e

S=A∗X

%M a c i e r z p s e u d o o d w r o t n a

X=

pinv

(A) ∗B

1.1.2

Eliminacja Gaussa

X=A\B

%s p r a w d z e n i e

s p r a w d z e n i e=A∗X

1.1.3

Wzory Cramera

W=

det

(A)

A1=A ( : , 2 : 3 ) ;
A1=[B, A1 ] ;

W1=

det

(A1)

A2=A ( : , 1 : 2 : 3 ) ;
A2=[A( : , 1 ) , B,A ( : , 3 ) ] ;

W2=

det

(A2)

2

1. Rozwiązanie zadań z laboratorium

A3=A ( : , 1 : 2 ) ;
A3=[A ( : , 1 : 2 ) , B ] ;

W3=

det

(A3 ) ;

x=W1/W
y=W2/W

z=W3/W

1.1.4

Wnioski

MATLAB nie może obliczyć dokładnego wyniku tego układu równań, ponieważ

te metody nie działają dobrze przy wyznaczniku macierzy bliskim lub równym 0.
Najbardziej dokładną metodą jest metoda Gaussa. Metoda Cramera jest metodą
najmniej dokładną, ponieważ stosuje wiele operacji wnoszących nowe błędy zaokrą-
gleń.

1.2

Zadanie 2 - Równania nieliniowe.
Rozwiązywanie numeryczne.

1.2.1

Zadanie 2.1

Część pierwsza kodu zadania 2.

w i e l o m i a n=i n l i n e ( ’ ( x + 4 ) . ∗ ( x + 2 ) . ∗ ( x − 8 ) . ∗ ( x −10) ’ )

x= − 5 : 0 . 1 : 1 1 ;

r=w i e l o m i a n ( x ) ;

plot

( x , r ) ;

Wynikiem jest wykres

1.1

.

1.2.2

Zadanie 2.2

Część druga kodu zadania 2.

w1=f s o l v e ( w i e l o m i a n , 2 ) ;
w2=f s o l v e ( w i e l o m i a n , [ − 5 : 1 1 ] ) ;

plot

( x , w i e l o m i a n ( x ) ,

’ b ’ )

hold

on

plot

( w1 , 0 , ’ r ∗ ’ )

hold

on

plot

( w2 , 0 , ’ r ∗ ’ )

Wynikiem jest wykres

1.2

. Wielomian ma 4 miejsca zerowe.

1.2. Zadanie 2 - Równania nieliniowe. Rozwiązywanie numeryczne.

3

Rys. 1.1:

Wykres powstały przy realizacji zadania 2.1

1.2.3

Zadanie 2.3

f=i n l i n e ( ’ 1 . 6 ∗ s i n ( x−4) ’ )

x = [ − 1 0 : 0 . 0 1 : 1 0 ] ;

plot

( x , f ( x ) )

grid

hold

on

wx0 = [ − 5 : 5 ] ;

x=f s o l v e ( f , wx0 )

X=u n i q u e ( x )
X=X ( : , 2 : 3 ) ;

plot

(X, f (X) , ’ ∗ r ’ )

1. Funkcja fsolve() podaje miejsca zerowe funkcji, które leżą najbliżej drugiego

parametru. Jeśli tym parametrem będzie pojedyncza wartość, funkcja ta zwróci tylko
jeden wynik. Funkcja fsolve() potrafi zwracać więcej wyników jeżeli zostanie podany
zbiór punktów.

4

1. Rozwiązanie zadań z laboratorium

Rys. 1.2:

Wielomian z oznaczonymi miejscami zerowymi

2. Funkcja w(x)=(x+4)(x+2)(x-8)(x-10) ma 4 rozwiązania.
3. Aby znaleźć rozwiązania, które niewiele się od siebie różnią można spróbować
zwiększyć dokładność wyników w programie MATLAB

1.3

Zadanie 3 - Obliczenia symboliczne.
Równania nieliniowe.

1.3.1

Zadanie 3.1

Znalezienie miejsc przecięcia się dwóch okręgów.

syms ( ’ x ’ , ’ y ’ )
o1=x ˆ2 + y ˆ2 − 1 . 5 ˆ 2 ;
o2=(x + 1 ) ˆ 2 + ( y − 2 ) ˆ 2 − 2 . 5 ˆ 2

e z p l o t ( o1 )

hold

on

e z p l o t ( o2 )
[ x , y]= s o l v e ( o1 , o2 , x , y )

plot

( x , y ,

’ r ∗ ’ )

1.3. Zadanie 3 - Obliczenia symboliczne. Równania nieliniowe.

5

Rys. 1.3:

Wykres przedstawiający wybraną funkcję wraz z miejscem zerowym.

m a c i e r z=s o l v e ( o1 , o2 ,

’ x , y ’ ) ;

m. x
m. y

Rozwiązaniem jest wykres

1.4

, gdzie oznaczono punkty przecięcia się okręgów.

1.3.2

Zadanie 3.2

syms ( ’ x ’

,

’ y ’ )

e z p l o t ( o2 )

hold

on

e z p l o t ( ’ 0∗ x+y=0 ’ )
[ x , y]= s o l v e ( o2 , ’ y=0 ’ )

plot

( x , y , ’ r ∗ ’ )

xo2=s u b s ( o2 , ’ g ’ , 0 ) ;

m1=s o l v e ( xo2 , ’ x ’ )

6

1. Rozwiązanie zadań z laboratorium

Rys. 1.4:

Okręgi z zaznaczonymi miejscami przecięcia

1.3.3

Zadanie 3.3

syms ( ’ x ’ , ’ a ’ , ’ b ’ , ’ c ’ ) ;

r=a ∗xˆ2+b∗x+c ;

y=s o l v e ( r , ’ x ’ )

Ogólna postać rozwiązań równania kwadratowego:
y1 =
−(b + (b

2

− 4 ∗ a ∗ c)

(

1/2))/(2 ∗ a)

−(b − (b

2

− 4 ∗ a ∗ c)

(

1/2))/(2 ∗ a)

1.3.4

Zadanie 3.4

Zadany parametr dla tego przypadku wynosi 1.

syms ( ’ x ’ , ’ a ’ ) ;
y=a ∗

cos

( x − 2 ) ˆ 3 ;

r=s o l v e ( y , ’ x ’ )

e z p l o t ( s u b s ( y , ’ a ’ , 1 ) , [ − 1 0 , 1 0 ] )

grid

on

r 1=s u b s ( r o z , ’ a ’ , 1 )

Wynikiem jest powstanie wykresu

1.6

. Zmienna „r” wyświetla postać ogólną roz-

wiązania równą

pi

2

+ 2. Zmienna „r1” wyświetla wynik dla parametru równego 1.

1.3. Zadanie 3 - Obliczenia symboliczne. Równania nieliniowe.

7

Rys. 1.5:

Punkty przecięcia się okręgu o2 z osią OX.

Rys. 1.6:

Własna funkcja trygonometryczna.

Bibliografia