RACHUNEK PRAWDOPODOBIE ´

NSTWA

Lista 2

1. Mamy n ponumerowanych list´

ow i n kopert (te˙z ponumerowanych). Wk ladamy

listy do kopert losowo. Wykorzystuj¸

ac rozwi¸

anie poprzedniego zadania znale´

z´

c

prawdopodobie´

nstwo P

n

tego, ˙ze chocia˙z jeden list b¸edzie we w la´sciwej koper-

cie. Nast¸epnie obliczy´

c lim

n→∞

P

n

. (odp. 1 − e

−1

)

2. Rzucamy monet¸

a tak d lugo, a˙z wypadnie dwa razy pod rz¸

ad na t¸

a sam¸

a

stron¸e.

Jak wygl¸

ada przestrze´

n zdarze´

n elementarnych?

Jakie jest praw-

dopodobie´

nstwo, ˙ze gra sko´

nczy si¸e przed sz´

ostym rzutem? Jakie jest praw-

dopodobie´

nstwo, ˙ze potrzebna b¸edzie parzysta liczba rzut´

ow? (odp. P (A) =

15/16, P (B) = 2/3)

3. W skrzynce znajduje si¸e 47 ˙zar´

owek dobrych i 3 przepalone.

Wyci¸

agamy

losowo pi¸e´

c ˙zar´

owek.

Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze b¸ed¸

a w´sr´

od nich

najwy˙zej dwie przepalone?

4. Trylogi¸e sk ladaj¸

ac¸

a si¸e z dw´

och powie´sciu dwutomowych oraz jednej jednoto-

mowej ustawiono przypadkowo na p´

o lce. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo tego,

˙ze tomy (a) obydwu (b) co najmniej jednej z dwutomowych powie´sci znajduj¸

a

si¸e obok siebie i przy tym tom I z lewej, a tom II z prawej strony. (odp.
P (A) = 1/20, P (B) = 7/20)

5. Z talii 52 kart losujemy 5. Znajd´

z prawdopodobie´

nstwo nast¸epuj¸

acych zdarze´

n:

a) nie wylosujemy ˙zadnego asa, (odp. P (A) =

48

5

!

/

52

5

!

) b) wylosu-

jemy dok ladnie jednego asa, (odp. P (B) = 4·

48

4

!

/

52

5

!

) c) wylosujemy

co najmniej jednego asa, (odp. 1 − P (A)) d) wylosujemy co najwy˙zej jednego
asa. (odp. P (A) + P (B))

6. Z 52 kart wybrano 13. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo otrzymania (a) dok ladnie

7 kart jednego koloru; (b) dok ladnie 6 kart jednego koloru.

7. Wind¸

a jedzie 7 os´

ob, a ka˙zda mo˙ze wysi¸

a´s´

c na jednym z 10 pi¸eter. (a) Jakie

jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze ˙zadnych dw´

och pasa˙zer´

ow nie wysi¸

adzie na tym

samym pi¸etrze. (b) Jaka jest szansa, ˙ze na pewnym pi¸etrze wysi¸

ad¸

a 3 osoby, na

innym 2, i na dw´

och pi¸etrach po jednej. (odp. P (A) = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4/10

7

=

0, 06048, P (B) =

10!

2!6!1!1!

·

7!

3!2!1!1!

/10

7

)

8. Oblicz prawdopodobie´

nstwo, ˙ze co najmniej jedna z trzech losowo wybranych

os´

ob obchodzi urodziny w tym samym dniu co i Ty. (odp. 1 − (364/365)

3

)

9. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze spotkam na przyj¸eciu osob¸e, obchodz¸

ac¸

a

urodziny tego samego dnia co ja? Ile powinno by´

c os´

ob na przyj¸eciu aby to

prawdopodobie´

nstwo przekroczy lo

1
2

.

10. Z kwadratu jednostkowego wybrano losowo punkt o wsp´

o lrz¸ednych (x, y).

Wyznaczy´

c funkcje:

f (a) = P (min(x, 1/2) ≤ a),

g(a) = P (max(x, 1/3) ≤ a),

h(a) = P (min(x, y) ≤ a),

h(a) = P (max(x, y) ≤ a).

11. Pani X i pani Y id¸

ac z domu do biura maj¸

a do przebycia pewien wsp´

olny

odcinek drogi AB z tym, ˙ze przebywaj¸

a go w przeciwnych kierunkach, pani X

od A do B, pani Y od B do A. Pani X przybywa do punktu A (pani Y za´s
do punktu B) w przypadkowym momencie czasu pomi¸edzy godz. 7.30 i 7.45 i
idzie ze sta l¸

a predko´sci¸

a. Ka˙zda z pa´

n przechodzi odcinek AB w przeci¸

agu 5

minut. Obliczy´

c prawdopodobie´

nstwo spotkania pa´

n X i Y. (odp. 5/9)

12. Odcinek drutu o d lugo´sci L rozci¸eto w przypadkowo wzi¸etych dw´

och punk-

tach. Obliczy´

c prawdopodobie´

nstwo, ˙ze z otrzymanych cz¸e´sci mo˙zna zbudowa´

c

tr´

ojk¸

at. odp. 1/4)

13. Ig l¸e o d lugo´sci L rzucono na pod log¸e z desek o szeroko´sci a (L ≤ a). Jaka jest

szansa, ˙ze ig la przetnie kraw¸ed´

z deski. (odp. (2 · l)/(a · π))