Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
1
Logiczne podstawy prawoznawstwa
Piotr Łukowski
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
1
Logiczne podstawy prawoznawstwa
Piotr Łukowski
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
2
WYKŁAD 7
zdanie
wynikanie
wynikanie logiczne
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
3
Definicja wynikania
Zdanie W wynika logicznie ze zdania Z, jeśli implikacja
Z
→
W
jest zdaniem prawdziwym na mocy związku jaki zachodzi między tym o czym orzeka
zdanie W a tym o czym orzeka zdanie Z.
Z nazywamy racją, a W następstwem.
Z definicji wynikania wnioskujemy, iŜ istnieją róŜne rodzaje wynikania W z Z w
zaleŜności od rodzaju związku będącego podstawą prawdziwości implikacji Z
→
W.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
4
Związek zachodzący między Z i W, będący podstawą prawdziwości moŜe być:
- przyczynowo-skutkowy (ze względu na wiedzę o rzeczywistości)
Jeśli zaleję herbatę zimną wodą, to jej nie zaparzę.
- strukturalny (w sensie czasu lub przestrzeni)
Jeśli wczoraj był poniedziałek, to jutro jest środa. (takŜe analityczny)
Jeśli obraz a wisi nad obrazem b, to obraz b wisi pod obrazem a. (takŜe analityczny)
Jeśli stoję twarzą na północ, to po prawej ręce mam wschód.
- tetyczny (ze względu na obowiązywanie pewnych norm)
Jeśli w sklepie płacę za towar, to część mojej zapłaty jest przeznaczona na podatek.
- analityczny (ze względu na sens słów - węŜsze rozumienie analityczności)
Jeśli ta figura jest kwadratem, to [ta figura] ma cztery boki równe.
- logiczny (gdy Z
→
W jest prawdą logiczną)
Jeśli Jan jest łysym adwokatem, to Jan jest adwokatem.
(Jeśli Jan jest łysy i Jan jest adwokatem, to Jan jest adwokatem.)
W ka
Ŝ
dym powy
Ŝ
szym przykładzie, pierwsze podkre
ś
lenie oznacza Z (racj
ę
) drugie za
ś
W (nast
ę
pstwo).
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
5
Jeśli implikacja Z
→
W jest oczywista, wówczas wypowiedź prezentująca
rozumowanie „W wynika z Z na mocy Z
→
W” zwykle pomija tę implikację i ma
uproszczoną postać „W wynika z Z” (kaŜdy bowiem wie, Ŝe Z
→
W).
Ta ukryta, bo niewypowiedziana na mocy oczywistości przesłanka Z
→
W nazywana
jest przesłanką entymematyczną, zaś wnioskowanie w którym występuje przesłanka
entymematyczna jest nazywane wnioskowaniem entymematycznym.
Przykład:
Zamiast mówić
„KaŜdy syn jest młodszy od swojego ojca. Jan jest synem Marka, więc Jan jest młodszy od
Marka”
powiemy
„Jan jest synem Marka, więc Jan jest młodszy od Marka”
(„Jan jest młodszy od Marka, bo jest jego synem”).
Uwaga:
Wnioskowania entymematyczne są bardzo powszechne w mowie potocznej. NaleŜy jednak
pamiętać, Ŝe niekiedy oczywistość przesłanki entymematycznej Z
→
W jest złudzeniem (np.
„kaŜda część jest mniejsza od całości” - „jeśli a jest częścią b, to a jest mniejsze od b”), a wtedy
wnioskowanie moŜe być błędne.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
6
Definicja wynikania logicznego
1. Zdanie W wynika logicznie ze zdania Z, wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja
Z
→
W
jest prawdą logiczną. Symbolicznie
Z
|
−
W
.
Z to przesłanka (załoŜenie), zaś W to wniosek.
2. Zdanie W wynika logicznie ze zdań Z
1
,...,Z
n
(ze zbioru zdań {Z
1
,...,Z
n
}) wtedy i tylko
wtedy, gdy implikacja
(Z
1
∧
...
∧
Z
n
)
→
Z
jest prawdą logiczną. Symbolicznie
{Z
1
,...,Z
n
}
|
−
W
.
Z
1
,...,Z
n
to przesłanki (załoŜenia), zaś W to wniosek.
3.
Zbiór zdań {W
1
,...,W
k
} wynika logicznie ze zbioru zdań {Z
1
,...,Z
n
} wtedy i tylko
wtedy, gdy implikacja
(Z
1
∧
...
∧
Z
n
)
→
(W
1
∨
...
∨
W
k
)
jest prawdą logiczną. Symbolicznie
{Z
1
,...,Z
n
}
|
−
{W
1
,...,W
k
}
.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
7
Wnioskowanie dedukcyjne (dedukcja) to wnioskowanie w którym wniosek wynika
logicznie z przesłanek.
Wnioskowanie niezawodne to takie, które od prawdziwych przesłanek zawsze
prowadzi do prawdziwych wniosków. Dedukcja jest wnioskowaniem niezawodnym.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
8
Zadanie 1. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdania „Deszcz pada”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy p
→
q jest tautologią?
p
→
q
0
- załoŜenie dowodu nie wprost
1 0
Schemat ten nie jest tautologią, gdyŜ istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym:
p/ 1, q/0
(deszcz pada a mimo to ulice nie są mokre,
np. z powodu ich zadaszenia - konstrukcja moŜliwego świata)
Zatem zdanie q nie wynika ze zdania p (oczywiście!).
Uwaga: W świecie, w którym Ŝadna ulica nie jest zadaszona, zdanie „Ulice są mokre” wynika ze
zdania „Deszcz pada”. Nie jest to jednak wynikanie logiczne, lecz wynikanie przyczynowo-
skutkowe, ustalone na mocy wiedzy o świecie.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
9
Zadanie 2. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdania „Jeśli deszcz pada, to ulice
są mokre”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy (p
→
q)
→
q jest tautologią?
(p
→
q)
→
q
1
0
- załoŜenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
0
- przepisujemy wartość q
4
0
Schemat (p
→
q)
→
q nie jest tautologią, gdyŜ istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym: p/0, q/0. Zatem, zdanie q nie wynika logicznie ze zdania p
→
q
(oczywiście!). Zdanie „Ulice są mokre” nie wynika logicznie ze zdania wyraŜającego jedynie
zaleŜność tego, Ŝe ulice są mokre od tego, Ŝe deszcz pada. Sam związek nie wystarcza, bo w
ś
wiecie bez zadaszonych ulic związek ten jest prawdziwy zawsze, a więc i wtedy, gdy deszcz
nie pada.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
10
Zadanie 3. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdań „Deszcz pada” oraz „Jeśli
deszcz pada, to ulice są mokre”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy (p
∧
(p
→
q))
→
q jest tautologią?
(p
∧
(p
→
q))
→
q
1
0
- załoŜenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
1
1
4
1
0
- przepisujemy wartości p i q
5
0
- sprzeczność
Schemat (p
∧
(p
→
q))
→
q jest tautologią, gdyŜ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym. Zatem, zdanie q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p
→
q}.
Symbolicznie:
{p, p
→
q} |
−
q.
Jest to reguła odrywania (Modus Ponens).
p, p
→
q
q
(inny zapis)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
11
Zadanie 4. Czy zdanie „Nieprawda, Ŝe deszcz pada” wynika logicznie ze zdań „Nieprawda, Ŝe
ulice są mokre” oraz „Jeśli deszcz pada, to ulice są mokre”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy (
¬
q
∧
(p
→
q))
→
¬
p jest tautologią?
(
¬
q
∧
(p
→
q))
→
¬
p
1
0
- załoŜenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
1
1
1
4
0
5
1
0
- przepisujemy wartości p i q
6
0
- sprzeczność
Schemat (
¬
q
∧
(p
→
q))
→
¬
p jest tautologią, gdyŜ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie
¬
p wynika logicznie ze zbioru zdań {
¬
q, p
→
q}. Symbolicznie:
{
¬
q, p
→
q} |
−
¬
p.
Jest to reguła Modus Tollens.
¬
q, p
→
q
¬
p
(inny zapis)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
12
Zadanie 5. Czy zdanie „Jestem w czytelni” wynika logicznie ze zdań „Jestem w czytelni lub w
katalogach” oraz „Nieprawda, Ŝe jestem w katalogach”?
p - Jestem w czytelni
q - Jestem w katalogach
Zatem, czy ((p
∨
q)
∧
¬
q)
→
p jest tautologią?
((p
∨
q)
∧
¬
q)
→
p
1
0
- załoŜenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
1
1
4
0
5
0 0
- przepisujemy wartości p i q
6
0
- sprzeczność
Schemat ((p
∨
q)
∧
¬
q)
→
p jest tautologią, gdyŜ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {p
∨
q,
¬
q}. Symbolicznie:
{(p
∨
q),
¬
q} |
−
p.
Jest to reguła odłączania alternatywy.
p
∨
q,
¬
q
p
∨
q,
¬
p
p
(inny zapis)
q
(takŜe)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
13
Zadanie 6. Czy zdanie „Jan ma tysiąc dolarów lub Jan ma tysiąc złotych” wynika logicznie ze
zdania „Jan ma tysiąc dolarów”?
p - Jan ma tysiąc dolarów
q - Jan ma tysiąc złotych
Zatem, czy p
→
(p
∨
q) jest tautologią?
p
→
(p
∨
q)
1
0
- załoŜenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
1
- przepisujemy wartość p
4
1
- sprzeczność
Schemat p
→
(p
∨
q) jest tautologią, gdyŜ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {(p
∨
q),
¬
q}.
Symbolicznie:
{p} |
−
p
∨
q (p |
−
p
∨
q).
Jest to reguła dołączania alternatywy.
p
q
p
∨
q
(inny zapis)
p
∨
q
(takŜe)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
14
Zadanie 7. Czy zdanie „Jan jest złodziejem i mordercą” wynika logicznie ze zdania „Jan jest
złodziejem”?
p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą
Zatem, czy p
→
(p
∧
q) jest tautologią?
p
→
(p
∧
q)
1
0
- załoŜenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
1
- przepisujemy wartość p
4
0
Schemat p
→
(p
∧
q) nie jest tautologią, gdyŜ istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym: p/1, q/0 (świat, w którym Jan jest złodziejem i nie jest mordercą). Zatem,
zdanie p
∧
q nie wynika logicznie ze zdania p.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
15
Zadanie 8. Czy zdanie „Jan jest złodziejem” wynika logicznie ze zdania „Jan jest złodziejem i
mordercą”?
p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą
Zatem, czy (p
∧
q)
→
p jest tautologią?
( p
∧
q)
→
p
1
0
- załoŜenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
0
- przepisujemy wartość p
4
0
- sprzeczność
Schemat (p
∧
q)
→
p jest tautologią, gdyŜ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zdania p
∧
q:
reguła odłączania koniunkcji:
{p
∧
q} |
−
p (p
∧
q |
−
p).
p
∧
q
p
∧
q
p
(inny zapis)
q
(takŜe)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
16
Zadanie 9. Czy zdanie „Jan jest złodziejem i mordercą” wynika logicznie ze zdań „Jan jest
złodziejem” i „Jan jest mordercą”?
p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą
Zatem, czy (p
∧
q)
→
p
∧
q jest tautologią? Oczywiście, Ŝe TAK.
Zatem, zdanie p
∧
q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, q}:
reguła dołączania koniunkcji:
{p, q} |
−
p
∧
q.
p, q
p
∧
q
(inny zapis)
Fakt ten moŜna dowodzić w oparciu o sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny:
p
→
(q
→
(p
∧
q)).
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
17
Zadanie 10. NiŜej przypomniany dowcip z PRL-u jest dowodem na to, Ŝe posługujemy się
logiką (rozumiemy logikę), bez względu na to, czy logikę lubimy, czy nie ☺
Student kupił ksiąŜkę do logiki i przed księgarnią spotkał kolegę ze szkoły podstawowej, który obecnie jest milicjantem.
M(ilicjant): Co to za ksiąŜka?
S(tudent): Do logiki.
M: Co to jest logika?
S: To nauka o poprawnym myśleniu.
M: Jakie myślenie jest poprawne?
S: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium?
M: Tak.
S: Skoro masz akwarium, to lubisz rybki.
M: Tak!
S: Skoro lubisz rybki, to lubisz wypić.
M: Tak!
S: Skoro lubisz wypić, to lubisz dziewczyny.
M: Zgadza się! Fantastyczna jest ta logika! TeŜ kupię tę ksiąŜkę!
Gdy milicjant wrócił na komendę z ksiąŜką do logiki, kolega milicjant pyta go
M2: Co to za ksiąŜka?
M: Do logiki.
M2: Co to jest logika?
M: To nauka o poprawnym myśleniu.
M2: Jakie myślenie jest poprawne?
M: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium?
M2: Nie.
M: To ty jesteś gejem!
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
18
Analiza logiczna dowcipu:
p - M ma akwarium; q - M lubi rybki; s - M lubi wypić; r - M lubi dziewczyny
A. Czy zdanie r wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p
→
q, q
→
s, s
→
r}? TAK, bo:
(p
∧
(p
→
q)
∧
(q
→
s)
∧
(s
→
r))
→
r
1
0
- załoŜenie dowodu nie wprost
2
1
1
1
1
0 - patrz przypis
3
1
0
- przepisujemy wartości p i r
4
1
5
1
- przepisujemy wartość q
6
1
7
1
- przepisujemy wartość s
8
0
- sprzeczność
B. Czy zdanie
¬
r wynika logicznie ze zbioru zdań {
¬
p, p
→
q, q
→
s, s
→
r}? NIE, bo:
(
¬
p
∧
(p
→
q)
∧
(q
→
s)
∧
(s
→
r))
→
¬
r
1
0
- załoŜenie dowodu nie wprost
2
1
1
1
1
0 - patrz przypis
3
0
1
4
0
1
- przepisujemy wartości p i r
5
0
0
0
0
- przypisujemy wartość fałszu zdaniom q i s
Podstawienie obalające: p/0, q/0, s/0, r/1.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
19
Niezbędny komentarz do powyŜszej analizy.
Oczywiście, to tylko dowcip, więc nie kaŜde ze zdań p
→
q, q
→
s, s
→
r musi być
uznane za prawdziwe!
Ponadto, ma tu miejsce błąd ekwiwokacji:
zamiast jednego zdania q, powinny być dwa róŜne zdania q
1
oraz q
2
- w innym
znaczeniu lubi się rybki, hodując je w akwarium, w innym zaś, gdy się je traktuje jako
zakąskę.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
20
tautologie KRZ
reguły KRZ
p
∨
¬
p
∅
|
−
p
∨
¬
p
¬
(p
∧
¬
p)
∅
|
−
¬
(p
∧
¬
p)
prawdy logiczne zawsze moŜna
dodać do przesłanek*
p
↔
¬¬
p
p |
−
|
¬¬
p
p
¬¬
p
((p
→
q)
∧
(q
→
p))
→
(p
↔
q)
{p
→
q, q
→
p} |
−
p
↔
q
p
→
q, q
→
p
p
↔
q
(p
↔
q)
→
((p
→
q)
∧
(q
→
p))
{p
↔
q} |
−
(p
→
q)
∧
(q
→
p)
p
↔
q
(p
→
q)
∧
(q
→
p)
(p
→
q)
↔
(q
∧
¬
p)
p
→
q |
−
| q
∧
¬
p
p
→
q
q
∧
¬
p
(p
→
q)
↔
(
¬
q
→
¬
p)
p
→
q |
−
|
¬
q
→
¬
p
p
→
q
¬
q
→
¬
p
p
→
(
¬
p
→
q)
{p,
¬
p} |
−
q
p,
¬
p
q
¬
(p
∨
q)
↔
(
¬
p
∧
¬
q)
¬
(p
∨
q) |
−
|
¬
p
∧
¬
q
¬
(p
∨
q)
¬
p
∧
¬
q
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
21
¬
(p
∧
q)
↔
(
¬
p
∨
¬
q)
¬
(p
∧
q) |
−
|
¬
p
∨
¬
q
¬
(p
∧
q)
¬
p
∨
¬
q
¬
(p
→
q)
↔
(p
∧
¬
q)
¬
(p
→
q) |
−
| p
∧
¬
q
¬
(p
→
q)
p
∧
¬
q
((p
→
q)
∧
(q
→
s)
∧
p)
→
s
{p
→
q, q
→
s, p} |
−
s
p
→
q, q
→
s, p
s
((p
→
q)
∧
(q
→
s))
→
(
¬
s
→
¬
p)
{p
→
q, q
→
s,
¬
s} |
−
¬
p
p
→
q, q
→
s,
¬
s
¬
p
W powyŜszej tabeli podwójna kreska w ułamku wyraŜającym regułę oznacza, Ŝe ułamek ten wyraŜa dwie
reguły: w jednej licznik jest przesłanką, a mianownik wnioskiem, w drugiej mianownik jest przesłanką, a
licznik wnioskiem.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
22
Wnioskowanie KRZ jest monotoniczne, tzn.
jeśli X
⊆
Y i X |
−
p, to Y |
−
p.
*Wniosek
Zatem, w szczególności, jeśli jakieś zdanie wynika ze zbioru pustego, to wynika z
kaŜdego zbioru przesłanek, bo zbiór pusty zawiera się w kaŜdym zbiorze przesłanek.
Wynikania logiczne oparte na wielu logikach formalnych, w tym logice klasycznej, są
monotoniczne, tzn. poszerzenie zbioru przesłanek o nowe przesłanki poszerza dotychczasowy
zbiór wniosków (konsekwencji). Fakt ten odróŜnia te wynikania od „zwykłego” rozumowania
człowieka, które jest niemonotoniczne.
zbiór przesłanek
wniosek
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
23
Przykład na niemonotoniczność ludzkiego rozumowania:
poszerzanie zbioru przesłanek
zmiana zbioru konkluzji
I.
z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z
osobą y.
w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio
ubrać, wyjść z domu o odpowiedniej godzinie i pójść do
kawiarni x.
II.
z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z
osobą y.
z2 - (przed wyjściem z domu) Termometr wskazuje
niską temperaturę.
w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio
ubrać, wyjść z domu o odpowiedniej godzinie i pójść do
kawiarni x.
w2 - Musze się cieplej ubrać.
III.
z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z
osobą y.
z2 - (przed wyjściem z domu) Termometr wskazuje
niską temperaturę.
z3 - (przed wyjściem z domu) Zaczął padać deszcz.
w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio
ubrać, wyjść z domu o odpowiedniej godzinie i pójść do
kawiarni x.
w2 - Muszę się cieplej ubrać.
w3 - Muszę zabrać parasol.
Do tego miejsca rozumowanie jest monotoniczne.
IV.
z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z
osobą y.
z2 - (przed wyjściem z domu) Termometr wskazuje
niską temperaturę.
z3 - (przed wyjściem z domu) Zaczął padać deszcz.
z4 - (miałem rozmowę telefoniczną z osobą z) Osoba
y miała wypadek samochodowy i leŜy w szpitalu.
w4 - Moje spotkanie o godzinie t w kawiarni x z osobą y
nie odbędzie się.
Zatem, wnioski w1-w3 przestają być waŜne -
rozumowanie przestaje być monotoniczne.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
24
Zadanie 11.
WykaŜemy, Ŝe świat nie jest Absolutem.
Jeśli bowiem świat byłby Absolutem, to jeśli byłby
ponadto stworzony, to musiałby sam się stworzyć.
Lecz to ostatnie oznaczałoby, Ŝe świat ma
początek.
Jednak wówczas świat nie moŜe być wieczny.
Z drugiej strony jasne jest, Ŝe Absolut
nie moŜe nie być wieczny.
Ponadto, jeśli świat istnieje, to musiał mieć kiedyś początek.
Jeśli,
natomiast, nie istnieje, to tym bardziej nie moŜe być Absolutem.
p - świat jest Absolutem
p
1
- świat jest stworzony
p
2
- świat sam się stworzył
p
3
- świat ma początek
p
4
- świat jest wieczny
p
5
- świat istnieje
{
p
→
(p
1
→
p
2
)
,
p
2
→
p
3
, p
3
→
¬
p
4
,
p
→
p
4
,
p
5
→
p
3
,
¬
p
5
→
¬
p
}
|
−
¬
p
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
25
{
p
→
(p
1
→
p
2
)
,
p
2
→
p
3
, p
3
→
¬
p
4
,
p
→
p
4
,
p
5
→
p
3
,
¬
p
5
→
¬
p
}
|
−
¬
p
(p
→
(p
1
→
p
2
))
∧
(p
2
→
p
3
)
∧
(p
3
→
¬
p
4
)
∧
(p
→
p
4
)
∧
(p
5
→
p
3
)
∧
(
¬
p
5
→
¬
p
))
→
¬
p
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
Przesłanki pierwsza i druga nie są wykorzystane w analizie. Zatem, wniosek
¬
p wynika
logicznie takŜe ze zbioru mniejszego, czyli z
{p
3
→
¬
p
4
,
p
→
p
4
,
p
5
→
p
3
,
¬
p
5
→
¬
p
}.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
26
Zadanie 12.
WykaŜemy, Ŝe następujący zbiór zdań tworzy wypowiedź sprzeczną:
„Jeśli świat jest wieczny, to nie ma początku lub końca.
Z drugiej strony, świat jest wieczny lub
ma zarazem początek i koniec.
Nie jest prawdą, Ŝe stworzoność świata implikuje to Ŝe nie ma on
początku.
Ponadto, świat nie jest stworzony, o ile załoŜymy, Ŝe jest wieczny wtedy i tylko
wtedy, gdy nie ma końca.”
p
1
- świat jest wieczny
p
2
- świat ma początek
p
3
- świat ma koniec
p
4
- świat jest stworzony
{
p
1
→
(
¬
p
2
∨
¬
p
3
)
,
p
1
∨
(p
2
∧
p
3
)
,
¬
(p
4
→
¬
p
2
),
(p
1
↔
¬
p
3
)
→
¬
p
4
}
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
27
{
p
1
→
(
¬
p
2
∨
¬
p
3
)
,
p
1
∨
(p
2
∧
p
3
)
,
¬
(p
4
→
¬
p
2
),
(p
1
↔
¬
p
3
)
→
¬
p
4
}
p
1
→
(
¬
p
2
∨
¬
p
3
)
∧
p
1
∨
(p
2
∧
p
3
)
∧
¬
(p
4
→
¬
p
2
)
∧
(p
1
↔
¬
p
3
)
→
¬
p
4
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
zał.1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
zał.2
0
1
0
0
0
0
0
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
28
Nie istnieje podstawienie, przy którym wszystkie cztery formuły zamienią się w zdania
prawdziwe. Nie jest więc moŜliwe, aby wszystkie cztery zdania były jednocześnie prawdziwe.
Oznacza to, Ŝe tekst jest sprzeczny.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
29
Elementy Klasycznej Logiki Kwantyfikatorów
x, y, z - zmienne nazwowe
∀
- kwantyfikator ogólny „dla kaŜdego...”
∃
- kwantyfikator szczegółowy „dla pewnego...”, „istnieje... takie, Ŝe...”
P(x), Q(y) - formuły jednej zmiennej (wyraŜają własności)
P(x,y), Q(y,z) - formuły dwóch zmiennych (wyraŜają relacje, związki)
P(x,y,x), Q(y,z,x) - formuły trzech zmiennych (wyraŜają relacje, związki)
„
∀
x P(x)” czytamy „dla kaŜdego x, P(x)”
„
∃
x P(x)” czytamy „dla pewnego x, P(x)” lub „istnieje x takie, Ŝe P(x)”
∀
x P(x)
↔
{x: P(x)} = Dz
(Dz - dziedzina rozwaŜań)
¬∀
x P(x)
↔
{x: P(x)}
≠
Dz
∃
x P(x)
↔
{x: P(x)}
≠
∅
¬∃
x P(x)
↔
{x: P(x)} =
∅
∀
x
¬
P(x)
↔
{x:
¬
P(x)} = Dz
∃
x
¬
P(x)
↔
{x:
¬
P(x)}
≠
∅
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
30
zdanie prawdziwe
zdanie fałszywe
∀
x P(x)
∃
x P(x)
∀
x
¬
P(x)
∃
x
¬
P(x)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
31
Objaśnienie.
Czarna kropka na diagramie oznacza niepustość zbioru, do którego naleŜy.
Szare wypełnienie oznacza pustość zbioru wypełnionego tym kolorem.
Negacja zdań skwantyfikowanych:
¬∀
x P(x)
↔
∃
x
¬
P(x)
¬∃
x P(x)
↔
∀
x
¬
P(x)
Zatem,
∀
x P(x)
↔
¬∃
x
¬
P(x)
∃
x P(x)
↔
¬∀
x
¬
P(x)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
32
Zadanie: Jak brzmi zaprzeczenie zdania:
1. KaŜdy adwokat kiedyś obroni jakiegoś oskarŜonego.
2. śaden prokurator nie wycofa nigdy Ŝadnego aktu oskarŜenia.
3. Pewien sędzia wydał kiedyś [jakiś] niesprawiedliwy wyrok.
1.
∀
x
∈
A
∃
y
∈
T
∃
z
∈
Os Obr(x,y,z)
¬∀
x
∈
A
∃
y
∈
T
∃
z
∈
Os Obr(x,y,z)
↔
∃
x
∈
A
∀
y
∈
T
∀
z
∈
Os
¬
Obr(x,y,z)
Odp: Pewien adwokat nigdy nie obroni Ŝadnego oskarŜonego.
2.
∀
x
∈
Pr
∀
y
∈
T
∀
z
∈
Akt
¬
W(x,y,z)
¬∀
x
∈
Pr
∀
y
∈
T
∀
z
∈
Akt
¬
W(x,y,z)
↔
∃
x
∈
Pr
∃
y
∈
T
∃
z
∈
Akt W(x,y,z)
Odp: Pewien prokurator kiedyś wycofa jakiś akt oskarŜenia.
3.
∃
x
∈
A
∃
y
∈
T
∃
z
∈
NW Wyd(x,y,z)
¬∃
x
∈
A
∃
y
∈
T
∃
z
∈
NW Wyd(x,y,z)
↔
∀
x
∈
A
∀
y
∈
T
∀
z
∈
NW
¬
Wyd(x,y,z)
Odp: śaden sędzia nigdy nie wydał [Ŝadnego] niesprawiedliwego wyroku.