E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
1
WYKŁAD 5
ANALIZA STANÓW W UKŁADACH Z ELEMENTEM
POJEMNOŚCIOWYM
Celem analizy jest ustalenie wpływu elementu pojemnościowego na wydajność
układu urządzeń.
Zmiennymi decyzyjnymi w analizie są:
pojemność elementu,
położenie elementu pojemnościowego w strukturze urządzeń.
Q
DO
część dostarczająca DO
element pojemnościowy
Q
OD
część odbierająca OD
Rys. 1. Schemat układu z elementem pojemnościowym
1. Analiza możliwych stanów urządzeń
Dla celów analizy wpływu parametrów bufora na sprawność układu przyjęto, że część
dostarczająca i część odbierająca mogą znaleźć się w następujących stanach:
S – pracuje;
A – uszkodzony;
P – element w postoju wymuszonym.
Z kolei trzecia część – bufor może przyjąć jeden z trzech poniższych stanów:
1 – pusty;
2 – częściowo zapełniony;
3 – pełny.
DO
Z
OD
DO
OD
dZ
= Q
DO
- Q
OD
dt
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
2
Rys.2. Przykładowe stany i przejścia między nimi
Uogólnienie powyższych założeń dla potrzeb całego układu pozwala stwierdzić, że
liczba stanów w jakich może znaleźć się układ wynosi:
27
3
3
3
n
.
Przykładowy opis stanu:
P3A - oznacza, że nie ma przepływu materiału w układzie, gdyż:
a). część odbierająca „OD” znajduje się w stanie awarii „A”;
b). bufor jest pełny;
c). część dostarczająca „DO” znajduje się w postoju wymuszonym „P” .
Przyjęcie założeń upraszczających pozwoliło na redukcję liczby możliwych stanów do ośmiu,
które zebrano w tabeli1 wraz z możliwymi między nimi przejściami, które dodatkowo
ilustruje graf przejść (rys. 3).
Tab.1. Tabela możliwych stanów
Stan poprzedni
Lp.
Stan aktualny
Stan następny
4
1
S1S
4,6
5,6
2
S2S
5,6
8
3
S3S
5,8
1,5
4
A1P
1
2,3,7
5
A2S
2,7,4
1,2,7
6
S2A
7,2,8
5,6
7
A2A
6,5
3,6
8
P3A
3
S2S
A2S
S2A
A1P
A2A
S2S
S3A
P3A
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
3
S – sprawny (pracuje);
A – uszkodzenie (awaria); P – postój wymuszony
1, 2, 3 –stany zasobnika (pusty,
P3A częściowo zap., pełny) A1P
S1S
S2S
S3S
S2A A2S
A2A
Rys. 3. Graf stanów i przejść
2. Algorytm obliczeń przepływu materiału w systemach
z elementem pojemnościowym (buforem)
W obliczeniach część dostarczającą i część odbierającą scharakteryzowana jest czasem
trwania naprawy i czasem pracy do uszkodzenia. Analizie poddane jest osiem podstawowych
stanów układu.
Zarówno czas pracy jak i czas naprawy są zmiennymi losowymi opisanymi rozkładem
eksploatacyjnym – wykładniczym.
Za dane wejściowe przyjęto poniższe parametry:
Wskaźnik uszkodzeń każdego pojedynczego urządzenia:
n
i
I
...
2
,
1
;
;
Pojemność zasobnika:
V = {V
1
, V
2
, …V
i
, …V
k
}
Średni czas pracy każdego urządzenia: B(I), B(II);
Średni czas naprawy każdego urządzenia: E(I), E(II);
E(I) = B(I) κ
I
; E(II) = B(II) κ
II
;
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
4
Rzeczywiste czasy trwania stanu (praca, naprawa) są wyliczane z funkcji
gęstości rozkładu wykładniczego:
t
e
)
t
(
f
stąd:
;
ln C
t
gdzie:
- wartość średnia B(IS), E(IS);
C
(0, 1) - zmienna losowa;
MOMENT KOŃCA STANU „TK”:
TK = min (TU (I), TU (II) )
Generowanie momentów uszkodzeń urządzeń I i II (czas pracy):
TU(I) = - B(I) * ln C
TU(II) = - B(II) * ln C
Czas trwania stanu S1S:
CRS = TK - TX
Produkcja P:
P = P + W * CRS
Generowanie czasu naprawy urządzenia I lub II (urządzenia IS):
CN (IS) = - E(IS) * ln C
Moment końca naprawy:
TN (IS) = TK + CN (IS)
Początek następnego stanu:
TX = TK
Przejście do następnego stanu
MOMENT KOŃCA STANU:
TK = min ( TU (I), TU (II))
Czas pracy systemu CRS:
CRS = TK - TX
STAN S1S
TK = TU (I)
A1P
STAN S2S
TK = TU (II)
S2A
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
5
Produkcja P:
P = P + CRS * W
Generowanie czasu naprawy urządzenia IS:
CN(IS) = - E(IS) * ln C
Moment zakończenia naprawy IS:
TN (IS) = TK + CN (IS)
Początek następnego stanu :
TX = TK
Przejście do następnego stanu
MOMENT ZAKOŃCZENIA STANU:
TK = min ( TU(I), TU(II) )
Czas pracy systemu CRS:
CRS = TK - TX
Produkcja P:
P = P + W * CRS
Generowanie czasu naprawy urządzenia, dla którego TK = TU (IS):
CN (IS) = - E (IS) * ln C
Moment końca naprawy urządzenia IS:
TN (IS) = TK + CN (IS)
Początek następnego stanu:
TX = TK
Przejście do następnego stanu
STAN S3S
TK = TU (I)
A2S
TK = TU (I)
A2S
TK = TU (II)
S2A
TK = TU (II)
P3A
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
6
MOMENT KOŃCA STANU „A1P”:
TK = TN (I)
Generowanie czasu pracy urządzenia I:
CR (I) = - B(I) * ln C
Czas trwania stanu A1P:
CP = TK - TU (I) = CN (I)
Poprawa momentów uszkodzeń:
TU (I) = TK + CR (I)
TU (II) = TU (II) + CP
Początek następnego stanu:
TX = TK
Przejście do następnego stanu
Czas do opróżnienia zasobnika CV:
CV = Q / W
Moment zakończenia stanu:
TK = min ( TN(I), TU(II), TX + CV )
Czas trwania stanu:
CP = TK - TX
Produkcja P:
P = P + CP * W
Stan zasobnika Q:
Q = Q - W * CP
Generowanie czasu:
- pracy, jeżeli TK = TN (I)
CR (I) = - B (I) * ln C
- naprawy, jeżeli TK = TU (II):
CN (II) = - E (II) * ln C
STAN A2S
STAN A1P
TK = TN (I)
S1S
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
7
Początek następnego stanu:
TX = TK
Przejście do następnego stanu
Czas do zapełnienia zasobnika CV:
CV = ( V - Q ) / W
MOMENT KOŃCA STANU:
TK = min (TU (I), TN (II), TX + CV )
Czas trwania stanu:
CP = TK - TX
Zapełnienie zasobnika Q:
Q = Q + W * CP
Generowanie czasu:
- naprawy, jeżeli TK = TU (I)
CN (I) = - E (I) * ln C
- moment zakończenia naprawy:
TN (I) = TU (I) + CN (I)
- pracy, jeżeli TK = TN (II)
CR (II) = - B (II) * ln C
- moment zakończenia pracy:
TU (II) = TK + CR (II)
Początek nowego stanu :
TX = TK
Przejście do następnego stanu
STAN S2A
TK = TN (I)
TU (I) = TK + CR (I)
S2S
TK = TU (I)
A2A
TK = TU (II)
TN (II) = TK + CN (II)
A2A
TK = TN (II)
S2S
TK = TX + CV
A1P
TK = TX + CV
P3A
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
8
3. PRZYKŁAD
Dane:
W = 1,
= 0,02
B(I) = B(2) = 30; średni czas pracy do uszkodzenia,
i = 5 - położenie zasobnika,
E(I) = E(II) = (0,02*5)*30 = 3; średni czas naprawy,
V = 2 - pojemność zasobnika,
C - wygenerowana liczba losowa z przedziału (0, 1).
1. Warunki początkowe: TX=0 - czas, P=O - produkcja, Q=0 - zasób.
MOMENT KOŃCA STANU „TK”:
TK = min (TU (I) )
Generowanie momentów uszkodzeń urządzeń I i II:
TU(I) = - B(I) * ln C = - 30 * ln 0.8737 = 4.05
TU(II) = - B(II) * ln C = - 30 * ln 0.7615 = 8.17
Czas trwania stanu S1S:
CRS = TK - TX = 4.05 - 0 = 4.05
Produkcja P:
P = P + W * CRS = 0 + 1 * 4.05 = 4.05
Generowanie czasu naprawy urządzenia I:
CN (I) = - E(I) * ln C = - 3 * ln 0.6701 = 1.2
Początek następnego stanu:
A1P (bo zasobnik pusty - 1)
TX = TK = 4.05
2.
MOMENT KOŃCA STANU „A1P”:
TK = TX + CN(I) = 4.05 + 1.2 = 5.25
Generowanie czasu pracy urządzenia I:
CR (I) = - B(I) * ln C= - 30 * ln 0,0856 = 73.7
Czas trwania stanu A1P:
CP = CN (I) = 1.2
Poprawa momentów uszkodzeń:
TU (I) = TK + CR (I) = 5.25 + 73.7 = 78.95
TU (II) = TU (II) + CP = 8.17 + 1.2 = 9.37
Początek następnego stanu:
S1S
TX = TK = 5.25
OBLICZENIA
S1S
A1P
E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym
9
3.
MOMENT KOŃCA STANU:
TK = min ( TU ) = TU (II) = 9.37 --> S2A
Generowanie czasu naprawy urządzenia II:
CN (II) = - E (II) * ln C = - 3 * ln 0.5329 = 1.89
Czas trwania stanu S1S:
CRS = TK - TX = 9.37 - 5.25 = 4.12
Produkcja P:
P = P + W * CRS = 4.05 + 1*4.12 = 8.17
Początek następnego stanu:
S2A
TX = TK = 9.37
4.
Czas do zapełnienia zasobnika CV:
CV = ( V - Q ) / W = 2/1 = 2
MOMENT KOŃCA STANU:
TK = min (TU (I), TN (II), TX + CV )
TU (I) = 78.95
TN (II) = TX + CN (II) = 9.37 + 1.89 = 11.26 ==> TK = TN (II) = 11.26
TX + CV = 9.37 + 2 = 11.37
Czas trwania stanu:
CP = TK - TX = 11.26 - 9.37 = 1.89
Zapełnienie zasobnika Q:
Q = Q + W * CP = 0 + 1 * 1.89 = 1.89
Generowanie czasu pracy urządzenia II:
CR (II) = - B(II) * ln C = - 30 * ln 0.09876 = 69.45
Moment zakończenia pracy urządzenia II:
TU (II) = TK + CR (II) = 11.26 + 69.45 = 80.71
Początek nowego stanu
S2S:
TX = TK = 11.26
5.
MOMENT KOŃCA STANU:
TK = min ( TU(I), TU(II) ) = TU (I) = 78.95
Czas pracy systemu CRS:
CRS = TK - TX = 78.95 - 11.26 = 67.69
Produkcja P:
P = P + CRS * W = 8.17 + 67.69 = 75.86
Generowanie czasu naprawy urządzenia I:
CN(I) = - E(I) * ln C = - 3 * ln 0.2368 = 4.32
Moment zakończenia naprawy I:
TN (I) = TK + CN (I) = 78.95 + 4.32 = 83.27
Początek następnego stanu
A2S:
TX = TK = 78.95
S1S
S2S
S2A