Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

1

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

Z3/2.1 Zadanie 2

Wyznaczyć główne momenty bezwładności przekroju wykonanego z kształtowników walcowanych na

rysunku Z3/2.1. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych przyjąć według tablic do
projektowania konstrukcji metalowych.

1

220

200

90x60x8

2

3

Rys. Z3/2.1. Przekrój złożony z kształtowników walcowanych.

Z3/2.2 Środek ciężkości przekroju

W celu wyznaczenia położenia środka ciężkości obieramy początkowy układ współrzędnych Y

P

Z

P

tak

aby cały przekrój znalazł się w pierwszej ćwiartce układu. Początkowy układ współrzędnych przedstawia
rysunek Z3/2.2. Przekrój został podzielony na: ceownik 220, dwuteownik 200 oraz kątownik
nierównoramienny 90x60x8. Podział ten przedstawia także rysunek Z3/2.2.

Współrzędne środka ciężkości figury numer 1 (ceownika) wynoszą

y

P1

=8,0−2,14=5,86 cm z

P1

=

22,0

2

=11,0cm

.

(Z3/2.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

2

11,0

9,0

4,0

9,0

8,

0

10

,0

22,0

11,0

8,

0

2

0,

0

10

,0

4,5

4,0

9,0

4,5

19,04

2,96

8,

0

6,

0

4

,5

2

8,

0

1

,4

8

[cm]

sc

1

1

2

3

sc

3

sc

2

2,

14

5

,8

6

Y

P

Z

P

18

,0

1

0,0

9,

48

Rys. Z3/2.2. Podział przekroju pręta na figury składowe.

Współrzędne środka ciężkości figury numer 2 (dwuteownika) wynoszą

y

P2

=8,0

20,0

2

=18,0 cm z

P2

=9,04,0

9,0

2

=17,5cm

.

(Z3/2.2)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 3 (kątownika nierównoramiennego) wynoszą

y

P3

=8,01,48=9,48 cm z

P3

=2,96 cm

.

(Z3/2.3)

Położenie środków ciężkości poszczególnych figur przedstawia rysunek Z3/2.2.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

3

Pole powierzchni ceownika wynosi

A

1

=37,4 cm

2

.

(Z3/2.4)

Pole powierzchni dwuteownika wynosi

A

2

=33,5cm

2

.

(Z3/2.5)

Pole powierzchni kątownika nierównoramiennego wynosi

A

3

=11,4cm

2

.

(Z3/2.6)

Zgodnie ze wzorem (3.18) współrzędna y

C

środka ciężkości przekroju wynosi

y

C

=

37,4

⋅5,8633,5⋅18,011,4⋅9,48

37,4

33,511,4

=11,30 cm

.

(Z3/2.7)

Zgodnie ze wzorem (3.19) współrzędna z

C

środka ciężkości przekroju wynosi

z

C

=

37,4

⋅11,033,5⋅17,511,4⋅2,96

37,4

33,511,4

=12,53 cm

.

(Z3/2.8)

Położenie środka ciężkości całego przekroju przedstawia rysunek Z3/2.3. Na rysunku tym zaznaczony jest
trójkąt, którego wierzchołkami są środki ciężkości poszczególnych figur składowych. Jak widać środek
ciężkości całego przekroju pręta znajduje się wewnątrz tego trójkąta. Środek ciężkości całego przekroju pręta
znajduje się blisko boku trójkąta, który łączy środki ciężkości ceownika i dwuteownika. Dziej się tak,
ponieważ te dwa przekroje walcowane mają największe pola powierzchni.

Współrzędne środka ciężkości ceownika w układzie osi środkowych wynoszą

y

01

=5,86−11,30 =−5,44 cm

z

01

=11,0−12,53 =−1,53 cm

.

(Z3/2.9)

Współrzędne środka ciężkości dwuteownika w układzie osi środkowych wynoszą

y

02

=18,0−11,30=6,7cm

z

02

=17,5−12,53=4,97 cm

.

(Z3/2.10)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

4

11,0

17,5

2,96

[cm]

sc

1

1

2

3

sc

3

sc

2

5,

86

Y

P

Z

P

1

8,

0

9,

4

8

12,53

11

,3

0

sc

Y

0

Z

0

Rys. Z3/2.3. Położenie środka ciężkości przekroju pręta.

Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego w układzie osi środkowych wynoszą

y

03

=9,48−11,30 =−1,82 cm

z

03

=2,96−12,53 =−9,57 cm

.

(Z3/2.11)

Położenie środków ciężkości poszczególnych figur składowych w układzie osi środkowych przedstawia
rysunek Z3/2.4.

Z3/2.3 Momenty bezwładności w układzie osi środkowych

Mając wyznaczone położenie środków ciężkości poszczególnych figur w układzie osi środkowych

możemy przystąpić do wyznaczenia momentów bezwładności w układzie osi środkowych Y

0

Z

0

.

Osiowe momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla ceownika
wynoszą

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

5

1,53

4,97

9,57

[cm]

sc

1

1

2

3

sc

3

sc

2

5

,4

4

6,

7

1

,8

2

sc

Y

0

Z

0

Z

01

Y

01

Y

03

Z

03

Y

02

Z

02

Rys. Z3/2.4. Położenie środków ciężkości figur składowych w układzie osi środkowych.

I

Y01

=I

X

T 

=2690 cm

4

I

Z01

=I

Y

T 

=197,0 cm

4

.

(Z3/2.12)

Osiowe momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla dwuteownika
wynoszą

I

Y02

=I

Y

T 

=117,0 cm

4

I

Z02

=I

X

T 

=2140 cm

4

.

(Z3/2.13)

Osiowe momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla kątownika
nierównoramiennego wynoszą

I

Y03

=I

X

T 

=92,3 cm

4

I

Z03

=I

Y

T 

=32,8 cm

4

.

(Z3/2.14)

Zgodnie ze wzorem (3.48) moment bezwładności względem osi Y

0

wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

6

I

Y0

=2690



−1,53



2

⋅37,4

117,0



4,97



2

⋅33,5

92,3



−9,57



2

⋅11,4=4858 cm

4

.

(Z3/2.15)

Zgodnie ze wzorem (3.49) moment bezwładności względem osi Z

0

wynosi

I

Z0

=197



−5,44



2

⋅37,4

2140



6,7



2

⋅33,5

32,8



−1,82



2

⋅11,4=5018 cm

4

.

(Z3/2.16)

Pierwszy niezmiennik dla kątownika nierównoramiennego w układzie jego osi środkowych Y

03

Z

03

wynosi

J

1

3 

=92,3 32,8=125,1 cm

4

.

(Z3/2.17)

Minimalny moment bezwładności dla kątownika odczytany z tablic wynosi

I

MIN

3

=19,0 cm

4

.

(Z3/2.18)

Zgodnie z wzorem (3.86) maksymalny moment bezwładności dla kątownika wynosi

I

MAX

3

=125,1 −19,0=106,1 cm

4

.

(Z3/2.19)

Drugi niezmiennik dla układu osi głównych kątownika nierównoramiennego zgodnie z (3.87) wynosi

J

2

3 

=106,1⋅19,0 =2016 cm

8

.

(Z3/2.20)

Kwadrat dewiacyjnego momentu bezwładności dla kątownika nierównoramiennego zgodnie z (3.89) wynosi



I

Y03Z03



2

=92,3⋅32,8−2016=1011 cm

8

.

(Z3/2.21)

Wartość bezwzględna dewiacyjnego momentu bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi

∣

I

Y03Z03

∣

=31,80 cm

4

.

(Z3/2.22)

Rysunek Z3/2.5 przedstawia kątownik nierównoramienny w układzie swoich osi środkowych. Jak widać
większa część przekroju kątownika znajduje się w ćwiartkach ujemnych więc dewiacyjny moment dla
kątownika nierównoramiennego wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

7

I

Y03Z03

=−31,80 cm

4

.

(Z3/2.23)

3

sc

3

Y

03

Z

03

2,96

1

,4

8

Rys. Z3/2.5. Kątownik nierównoramienny w układzie osi środkowych.

Dla ceownika i dwuteownika dewiacyjne momenty bezwładności w układzie ich osi środkowych I

Y01Z01

i I

Y02Z02

wynoszą oczywiście zero ze względu na to, że oba kształtowniki są symetryczne. Zgodnie ze wzorem (3.50)
dewiacyjny moment bezwładności w układzie Y

0

Z

0

wynosi

I

Y0Z0

=0,0



−5,44



⋅



−1,53



⋅37,4

0,0



6,7



⋅



4,97



⋅33,5

−31,8



−1,82



⋅



−9,57



⋅11,4 =1594 cm

4

.

(Z3/2.24)

Z3/2.4 Główne momenty bezwładności

Znając wartości momentów bezwładności w układzie osi środkowych możemy wyznaczyć momenty

główne i kierunek główny. Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych zgodnie z wzorem (3.60) będzie
miał wartość

tg

2⋅

gl

=

−2⋅



1594



4858

−5018

=19,93

.

(Z3/2.25)

Kąt nachylenia osi głównych wynosi



gl

=43,56

o

.

(Z3/2.26)

Główny moment bezwładności I

ygl

zgodnie z (3.61) wynosi

I

Ygl

=

4858

5018

2



4858

−5018

2

⋅cos



2

⋅43,56

o



−



1594



⋅sin



2

⋅43,56

o



I

Ygl

=3342cm

4

.

(Z3/2.27)

Główny moment bezwładności I

Zgl

zgodnie z (3.62) wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

8

I

Zgl

=

4858

5018

2

−

4858

−5018

2

⋅cos



2

⋅43,56

o







1594



⋅sin



2

⋅43,56

o



I

Zgl

=6534cm

4

.

(Z3/2.28)

Uporządkowane momenty bezwładności wynoszą

I

1

=6534 cm

4

I

2

=3342cm

4

.

(Z3/2.29)

sc

Y

0

Z

0

Y

gl

=2

Z

gl

=1

43,56

o

Rys. Z3/2.6. Położenie głównych osi bezwładności.

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy wzór (3.65). Główne momenty bezwładności wynoszą

I

1

/2

=

4858

5018

2

±





4858

−5018

2



2





1594



2

=

{

6534 cm

4

3342 cm

4

.

(Z3/2.30)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

9

Pierwszy niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi

J

1

=48585018=9876 cm

4

.

(Z3/2.31)

Pierwszy niezmiennik w układzie osi głównych wynosi

J

1

=65343342 =9876 cm

4

.

(Z3/2.32)

Jak widać niezmienniki (Z3/2.31) i (Z3/2.32) są równe.

Drugi niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi

J

2

=4858⋅5018−



1594



2

=21840000 cm

8

.

(Z3/2.33)

Drugi niezmiennik w układzie osi głównych wynosi

J

2

=6534⋅3342=21840000cm

8

.

(Z3/2.34)

Jak widać niezmienniki (Z3/2.33) i (Z3/2.34) są równe. Położenie głównych osi bezwładności przedstawia
rysunek Z3/2.6.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ