Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

1

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

Z3/2.1 Zadanie 2

Wyznaczyć główne momenty bezwładności przekroju wykonanego z kształtowników walcowanych na 

rysunku   Z3/2.1.   Charakterystyki   geometryczne   kształtowników   walcowanych   przyjąć   według   tablic   do 
projektowania konstrukcji metalowych.

1

220

200

90x60x8

2

3

Rys. Z3/2.1. Przekrój złożony z kształtowników walcowanych.

Z3/2.2 Środek ciężkości przekroju

W celu wyznaczenia położenia środka ciężkości obieramy początkowy układ współrzędnych Y

P

Z

P

  tak 

aby cały przekrój znalazł się w pierwszej ćwiartce układu. Początkowy układ współrzędnych przedstawia 
rysunek   Z3/2.2.   Przekrój   został   podzielony   na:   ceownik   220,   dwuteownik   200   oraz   kątownik 
nierównoramienny 90x60x8. Podział ten przedstawia także rysunek Z3/2.2. 

Współrzędne środka ciężkości figury numer 1 (ceownika) wynoszą

y

P1

=8,0−2,14=5,86 cm   z

P1

=

22,0

2

=11,0cm

.

(Z3/2.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

2

11,0

9,0

4,0

9,0

8,

0

10

,0

22,0

11,0

8,

0

2

0,

0

10

,0

4,5

4,0

9,0

4,5

19,04

2,96

8,

0

6,

0

4

,5

2

8,

0

1

,4

8

[cm]

sc

1

1

2

3

sc

3

sc

2

2,

14

5

,8

6

Y

P

Z

P

18

,0

1

0,0

9,

48

Rys. Z3/2.2. Podział przekroju pręta na figury składowe.

Współrzędne środka ciężkości figury numer 2 (dwuteownika) wynoszą

y

P2

=8,0

20,0

2

=18,0 cm   z

P2

=9,04,0

9,0

2

=17,5cm

.

(Z3/2.2)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 3 (kątownika nierównoramiennego) wynoszą

y

P3

=8,01,48=9,48 cm   z

P3

=2,96 cm

.

(Z3/2.3)

Położenie środków ciężkości poszczególnych figur przedstawia rysunek Z3/2.2.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

3

Pole powierzchni ceownika wynosi

A

1

=37,4 cm

2

.

(Z3/2.4)

Pole powierzchni dwuteownika wynosi

A

2

=33,5cm

2

.

(Z3/2.5)

Pole powierzchni kątownika nierównoramiennego wynosi

A

3

=11,4cm

2

.

(Z3/2.6)

Zgodnie ze wzorem (3.18) współrzędna y

C

 środka ciężkości przekroju wynosi

y

C

=

37,4

⋅5,8633,5⋅18,011,4⋅9,48

37,4

33,511,4

=11,30 cm

.

(Z3/2.7)

Zgodnie ze wzorem (3.19) współrzędna z

C

 środka ciężkości przekroju wynosi

z

C

=

37,4

⋅11,033,5⋅17,511,4⋅2,96

37,4

33,511,4

=12,53 cm

.

(Z3/2.8)

Położenie środka ciężkości całego przekroju przedstawia rysunek Z3/2.3. Na rysunku tym zaznaczony jest 
trójkąt,   którego   wierzchołkami   są   środki   ciężkości   poszczególnych   figur   składowych.   Jak   widać   środek 
ciężkości całego przekroju pręta znajduje się wewnątrz tego trójkąta. Środek ciężkości całego przekroju pręta 
znajduje   się   blisko   boku   trójkąta,   który   łączy   środki   ciężkości   ceownika   i   dwuteownika.   Dziej   się   tak, 
ponieważ te dwa przekroje walcowane mają największe pola powierzchni.

Współrzędne środka ciężkości ceownika w układzie osi środkowych wynoszą

y

01

=5,86−11,30 =−5,44 cm

z

01

=11,0−12,53 =−1,53 cm

.

(Z3/2.9)

Współrzędne środka ciężkości dwuteownika w układzie osi środkowych wynoszą

y

02

=18,0−11,30=6,7cm

z

02

=17,5−12,53=4,97 cm

.

(Z3/2.10)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

4

11,0

17,5

2,96

[cm]

sc

1

1

2

3

sc

3

sc

2

5,

86

Y

P

Z

P

1

8,

0

9,

4

8

12,53

11

,3

0

sc

Y

0

Z

0

Rys. Z3/2.3. Położenie środka ciężkości przekroju pręta.

Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego w układzie osi środkowych wynoszą

y

03

=9,48−11,30 =−1,82 cm

z

03

=2,96−12,53 =−9,57 cm

.

(Z3/2.11)

Położenie   środków   ciężkości   poszczególnych   figur   składowych   w   układzie   osi   środkowych   przedstawia 
rysunek Z3/2.4.

Z3/2.3 Momenty bezwładności w układzie osi środkowych

Mając   wyznaczone   położenie   środków   ciężkości   poszczególnych  figur   w  układzie   osi   środkowych 

możemy przystąpić do wyznaczenia momentów bezwładności w układzie osi środkowych Y

0

Z

0

. 

Osiowe momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla ceownika 
wynoszą

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

5

1,53

4,97

9,57

[cm]

sc

1

1

2

3

sc

3

sc

2

5

,4

4

6,

7

1

,8

2

sc

Y

0

Z

0

Z

01

Y

01

Y

03

Z

03

Y

02

Z

02

Rys. Z3/2.4. Położenie środków ciężkości figur składowych w układzie osi środkowych.

I

Y01

=I

X

T 

=2690 cm

4

  I

Z01

=I

Y

T 

=197,0 cm

4

.

(Z3/2.12)

Osiowe momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla dwuteownika 
wynoszą

I

Y02

=I

Y

T 

=117,0 cm

4

  I

Z02

=I

X

T 

=2140 cm

4

.

(Z3/2.13)

Osiowe momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla kątownika 
nierównoramiennego wynoszą

I

Y03

=I

X

T 

=92,3 cm

4

  I

Z03

=I

Y

T 

=32,8 cm

4

.

(Z3/2.14)

Zgodnie ze wzorem (3.48) moment bezwładności względem osi Y

0

 wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

6

I

Y0

=2690



−1,53



2

⋅37,4

117,0



4,97



2

⋅33,5

92,3



−9,57



2

⋅11,4=4858 cm

4

.

(Z3/2.15)

Zgodnie ze wzorem (3.49) moment bezwładności względem osi Z

0

 wynosi

I

Z0

=197



−5,44



2

⋅37,4

2140



6,7



2

⋅33,5

32,8



−1,82



2

⋅11,4=5018 cm

4

.

(Z3/2.16)

Pierwszy niezmiennik dla kątownika nierównoramiennego w układzie jego osi środkowych Y

03

Z

03

 wynosi

J

1

3 

=92,3 32,8=125,1 cm

4

.

(Z3/2.17)

Minimalny moment bezwładności dla kątownika odczytany z tablic wynosi

I

MIN

3

=19,0 cm

4

.

(Z3/2.18)

Zgodnie z wzorem (3.86) maksymalny moment bezwładności dla kątownika wynosi

I

MAX

3

=125,1 −19,0=106,1 cm

4

.

(Z3/2.19)

Drugi niezmiennik dla układu osi głównych kątownika nierównoramiennego zgodnie z (3.87) wynosi

J

2

3 

=106,1⋅19,0 =2016 cm

8

.

(Z3/2.20)

Kwadrat dewiacyjnego momentu bezwładności dla kątownika nierównoramiennego zgodnie z (3.89) wynosi



I

Y03Z03



2

=92,3⋅32,8−2016=1011 cm

8

.

(Z3/2.21)

Wartość bezwzględna dewiacyjnego momentu bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi

∣

I

Y03Z03

∣

=31,80 cm

4

.

(Z3/2.22)

Rysunek  Z3/2.5   przedstawia   kątownik  nierównoramienny  w  układzie  swoich  osi  środkowych.   Jak  widać 
większa   część   przekroju   kątownika   znajduje   się   w   ćwiartkach   ujemnych   więc   dewiacyjny   moment   dla 
kątownika nierównoramiennego wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

7

I

Y03Z03

=−31,80 cm

4

.

(Z3/2.23)

3

sc

3

Y

03

Z

03

2,96

1

,4

8

Rys. Z3/2.5. Kątownik nierównoramienny w układzie osi środkowych.

Dla ceownika i dwuteownika dewiacyjne momenty bezwładności w układzie ich osi środkowych I

Y01Z01

 i I

Y02Z02 

wynoszą oczywiście zero ze względu na to, że oba kształtowniki są symetryczne. Zgodnie ze wzorem (3.50) 
dewiacyjny moment bezwładności w układzie Y

0

Z

0

 wynosi

I

Y0Z0

=0,0



−5,44



⋅



−1,53



⋅37,4

0,0



6,7



⋅



4,97



⋅33,5

−31,8



−1,82



⋅



−9,57



⋅11,4 =1594 cm

4

.

(Z3/2.24)

Z3/2.4 Główne momenty bezwładności

Znając wartości momentów bezwładności w układzie osi środkowych możemy wyznaczyć momenty 

główne i kierunek główny. Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych zgodnie z wzorem (3.60) będzie 
miał wartość 

tg

2⋅

gl

=

−2⋅



1594



4858

−5018

=19,93

.

(Z3/2.25)

Kąt nachylenia osi głównych wynosi



gl

=43,56

o

.

(Z3/2.26)

Główny moment bezwładności I

ygl

 zgodnie z (3.61) wynosi

I

Ygl

=

4858

5018

2



4858

−5018

2

⋅cos



2

⋅43,56

o



−



1594



⋅sin



2

⋅43,56

o



I

Ygl

=3342cm

4

.

(Z3/2.27)

Główny moment bezwładności I

Zgl

 zgodnie z (3.62) wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

8

I

Zgl

=

4858

5018

2

−

4858

−5018

2

⋅cos



2

⋅43,56

o







1594



⋅sin



2

⋅43,56

o



I

Zgl

=6534cm

4

.

(Z3/2.28)

Uporządkowane momenty bezwładności wynoszą

I

1

=6534 cm

4

I

2

=3342cm

4

.

(Z3/2.29)

sc

Y

0

Z

0

Y

gl

=2

Z

gl

=1

43,56

o

Rys. Z3/2.6. Położenie głównych osi bezwładności.

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy wzór (3.65). Główne momenty bezwładności wynoszą

I

1

/2

=

4858

5018

2

±





4858

−5018

2



2





1594



2

=

{

6534 cm

4

3342 cm

4

.

(Z3/2.30)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z3/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

9

Pierwszy niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi

J

1

=48585018=9876 cm

4

.

(Z3/2.31)

Pierwszy niezmiennik w układzie osi głównych wynosi

J

1

=65343342 =9876 cm

4

.

(Z3/2.32)

Jak widać niezmienniki (Z3/2.31) i (Z3/2.32) są równe.

Drugi niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi

J

2

=4858⋅5018−



1594



2

=21840000 cm

8

.

(Z3/2.33)

Drugi niezmiennik w układzie osi głównych wynosi

J

2

=6534⋅3342=21840000cm

8

.

(Z3/2.34)

Jak widać niezmienniki (Z3/2.33) i (Z3/2.34) są równe. Położenie głównych osi bezwładności przedstawia 
rysunek Z3/2.6.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ