Instytut Fizyki

Politechniki Wrocławskiej

Raport Serii SPR–332/98

Dwuwymiarowy ekscyton

w zewnętrznym polu elektrycznym.

Praca magisterska

Michał Tyc

Promotor: dr inż. Włodzimierz Salejda

Wrocław, czerwiec 1998

Spis treści

1. Wprowadzenie

3

2. Ekscyton w przybliżeniu masy efektywnej

4

3. Ekscyton dwuwymiarowy jako model ekscytonu w studni kwantowej

7

4. Opis ekscytonu dwuwymiarowego bez zewnętrznego pola we współrzęd-

nych biegunowych

9

5. Opis ekscytonu dwuwymiarowego we współrzędnych parabolicznych

11

6. Porównanie ekscytonu dwuwymiarowego z trójwymiarowym

16

7. Rozpad ekscytonu na skutek tunelowania

21

8. Wyniki obliczeń numerycznych

22

9. Podsumowanie

26

Dodatek

26

A. Współrzędne paraboliczne płaskie

26

B. Współrzędne obrotowo-paraboliczne

28

C. Wielomiany i stowarzyszone funkcje Legendre’a. Harmoniki sferyczne

30

D. Konfluentna funkcja hipergeometryczna

31

E. Wielomiany i funkcje Laguerre’a

32

F. Wielomiany i funkcje Hermite’a

33

G. Metody macierzowe rozwiązywania jednowymiarowego równania Schr¨

o-

dingera

35

Literatura

37

2

1.

Wprowadzenie

W ostatnich latach własności trójwymiarowego i dwuwymiarowego ekscytonu Wan-

niera-Motta są przedmiotem intensywnych badań [1–10]. W przypadku trójwymiarowym
przeprowadzono obszerną analizę wpływu zewnętrznego stałego pola elektrycznego na
energię wiązania pary elektron-dziura w materiałach półprzewodnikowych [3–7]. Przypa-
dek dwuwymiarowy analizowany był w pracy [8].

W ostatnim okresie zaawansowanymi metodami technologicznymi otrzymuje się ma-

teriały półprzewodnikowe o ograniczonej geometrii, mające zastosowanie m. in. do bu-
dowy laserów. Ze względu na istotne znaczenie ekscytonów dla własności optycznych tych
materiałów ważnym zagadnieniem jest zbadanie właściwości widma energetycznego pary
elektron-dziura w przestrzeni dwuwymiarowej.

Dotychczas problem ekscytonu w strukturach dwuwymiarowych w zewnętrznym polu

elektrycznym rozważano głównie w przypadku, gdy kierunek pola był równoległy do kie-
runku wzrostu struktury [10]. Niniejsza praca dotyczy konfiguracji, w której pole skie-
rowane jest w płaszczyźnie struktury. Rozpatrywane jest w niej zagadnienie ściśle dwu-
wymiarowe (na płaszczyźnie, d = 2), które w tej konfiguracji stanowi przybliżenie pro-
blemu rzeczywistego. Zagadnienie dla d = 2 bez zewnętrznego pola elektrycznego rozwią-
zano analitycznie w pracy [2], natomiast przypadek z polem badany był numerycznie w
pracy [8].

Celem pracy jest zbadanie wpływu zewnętrznego stałego pola elektrycznego na energię

wiązania dwuwymiarowego ekscytonu Wanniera-Motta.

W rozdziale 2. pracy przytoczone są — podstawowe dla dalszych rozważań — formuły

i bezwymiarowe postaci równań Schr¨odingera dotyczących dwu- i trójwymiarowego za-
gadnienia. Rozdział 3. uzasadnia stosowanie modelu ekscytonu dwuwymiarowego do opisu
ekscytonu w studni kwantowej. W rozdziale 4. przedstawiony jest opis ekscytonu w d = 2
bez zewnętrznego pola elektrycznego we współrzędnych biegunowych. Rozdział 5. zawiera
zasadniczy wynik pracy — opis ekscytonu w d = 2 we współrzędnych parabolicznych
z uwzględnieniem zewnętrznego pola elektrycznego. W kolejnym rozdziale przedstawione
jest porównanie otrzymanych formuł analitycznych z formułami dla ekscytonu w d = 3.
Rozdział 7. zawiera przybliżony opis rozpadu ekscytonu w polu elektrycznym poprzez
tunelowanie. Rozdział 8. przedstawia algorytm i wyniki obliczeń numerycznych. Praca
zakończona jest podsumowaniem. Dodatek zawiera definicje i podstawowe własności wy-
korzystywanych w pracy układów współrzędnych i funkcji specjalnych oraz krótki opis
wykorzystywanych do obliczeń metod numerycznych.

3

2.

Ekscyton w przybliżeniu masy efektywnej

Załóżmy, że pasmo przewodnictwa i pasmo walencyjne są izotropowe i paraboliczne

oraz mają ekstrema w środku strefy Brillouina (w punkcie Γ). Prawa dyspersji dla elek-
tronów „e” i dziur „h” mają wówczas postać

ε

e

(k

e

) =

¯

h

2

k

2

e

2m

⋆

e

+ ε

g

,

ε

h

(k

h

) =

¯

h

2

k

2

h

2m

⋆

h

,

(2.1)

gdzie ε

g

— przerwa energetyczna, a m

⋆

e,h

— masy efektywne.

Jeżeli ε

e

, ε

h

≪ ε

g

i potencjał oddziaływania zmienia się dostatecznie wolno w obsza-

rze, gdzie kwazicząstki się poruszają (odpowiada to ekscytonowi o dużym promieniu —
ekscytonowi Wanniera-Motta), możemy ich funkcje falowe przedstawić w postaci

Ψ (r) = u

0

(r) Φ(r),

gdzie u

0

— funkcja Blocha dla k = 0 (na dnie lub w wierzchołku pasma), a Φ(r) —

funkcja falowa obwiedni, spełniająca równanie Schr¨odingera dla cząstki swobodnej z masą
efektywną [11].

Dla układu złożonego z elektronu i dziury równanie na funkcję obwiedni możemy

zapisać w postaci

"

−

¯

h

2

2m

⋆

e

∇

2

rr

r

e

−

¯

h

2

2m

⋆

h

∇

2

rr

r

h

+ U

eh

(r

e

, r

h

)

#

Φ(r

e

, r

h

) = (ε

exc

− ε

g

) Φ(r

e

, r

h

),

(2.2)

gdzie r

e,h

— położenia kwazicząstek, U

eh

(r

e

, r

h

) =

−e

2

ǫ |r

e

− r

h

|

— energia potencjalna

oddziaływania kulombowskiego elektron-dziura (ǫ oznacza stałą dielektryczną), a ε

exc

—

energia ekscytonu.

Wprowadźmy teraz współrzędne: środka masy R i względną r,

R

=

m

⋆

e

r

e

+ m

⋆

h

r

h

M

,

r

= r

e

− r

h

,

oraz masy: całkowitą M i zredukowaną µ,

M = m

⋆

e

+ m

⋆

h

,

µ

−1

= m

⋆

e

−1

+ m

⋆

h

−1

.

Równanie (2.2) sprowadza się wtedy do postaci

"

−

¯

h

2

2M

∇

2

R

R

R

−

¯

h

2

2µ

∇

2

rr

r

−

e

2

ǫr

#

Φ(R, r) = (ε

exc

− ε

g

) Φ(R, r)

(2.3)

4

i, po rozdzieleniu zmiennych R i r, daje rozwiązanie

Φ(R, r) =

1

√

V

e

i(K

K

K·R

R

R)

ψ(r)

będące iloczynem fali płaskiej odpowiadającej swobodnemu ruchowi środka masy ekscy-
tonu oraz funkcji falowej ψ(r) odpowiadającej ruchowi względnemu elektronu i dziury
(V — objętość kryształu). Otrzymujemy również, że energia ekscytonu jest sumą energii
kinetycznej środka masy (¯

hK jest jego kwazipędem), energii wiązania ε oraz przerwy

energetycznej ε

g

:

ε

exc

=

¯

h

2

K

2

2M

+ ε + ε

g

.

Energię wiązania ε wyznaczamy z równania Schr¨odingera na funkcję ψ(r):

"

−

¯

h

2

2µ

∇

2

−

e

2

ǫr

#

ψ(r) = εψ(r).

(2.4)

Równanie (2.3) można uogólnić wprowadzając zewnętrzne pole elektryczne E. Pojawi

się w nim wówczas dodatkowa energia potencjalna

U

′

= U

′

e

+ U

′

h

= e(E · r

e

) − e(E · r

h

) = e(E · r),

która nie zależy od współrzędnej R, więc wejdzie tylko do równania (2.4). Wynika to
z faktu, że pole nie może wpływać na ruch środka masy elektrycznie obojętnego ekscytonu.

Włączenie pola powoduje, że zagadnienie przestaje być stacjonarne. Ekscyton ma

wtedy skończony czas życia, gdyż pole może go „rozerwać”. Dokładne rozwiązanie ta-
kiego zagadnienia wymagałoby posłużenia się równaniem Schr¨odingera z czasem. Można
jednak potraktować problem kwazistacjonarnie (tj. przy założeniu, że czas życia ekscytonu
jest dostatecznie długi) i posłużyć się stacjonarnym równaniem Schr¨odingera.

Rozpatrując ekscyton w przestrzeni trójwymiarowej (d = 3), wybieramy tradycyjnie

E

= [0, 0, E], natomiast w przestrzeni dwuwymiarowej (d = 2) kładziemy E = [E, 0].

Całkowity potencjał dany jest zatem wzorami

U =



















−

e

2

ǫr

+ eEz

dla d = 3

−

e

2

ǫr

+ eEx dla d = 2.

Wykres potencjału U(x, y) dla d = 2 jest przedstawiony na rys. 1, a jego przekrój wzdłuż
osi OX na rys. 2. Wykresy wykonane są w bezwymiarowych jednostkach, które zostaną
wprowadzone dalej.

Równanie Schr¨odingera opisujące ekscyton w zewnętrznym polu elektrycznym ma po-

stać

"

−

¯

h

2

2µ

∇

2

−

e

2

ǫr

+ eE



z

x

#

ψ(r) = εψ(r),

(2.5)

gdzie górny symbol w nawiasach klamrowych dotyczy przypadku d = 3, a dolny — przy-
padku d = 2.

5

Rys. 1. Potencjał U(x, y) dla pola E = 0.3 (w jednostkach bezwymiarowych)

Rys. 2. Potencjał U(x, 0) dla pola E = 0.3 (w jednostkach bezwymiarowych)

6

Sprowadźmy wszystkie wielkości występujące w równaniu (2.5) do postaci bezwymia-

rowej. W tym celu pomnóżmy je stronami przez 2µ/¯

h

2

, co prowadzi do

"

−∇

2

−

2µe

2

ǫ¯

h

2

r

+

2µeE

¯

h

2



z

x

#

ψ(r) =

2µε

¯

h

2

ψ(r).

(2.6)

Wprowadźmy teraz jednostki: długości a

0

, energii W

0

i pola E

0

,

a

0

=

ǫ¯

h

2

µe

2

— ekscytonowy promień Bohra,

W

0

=

µe

4

2ǫ

2

¯

h

2

— ekscytonowa stała Rydberga,

(2.7)

E

0

=

e

ǫa

2

0

— natężenie pola ładunku elementarnego w odległości a

0

.

Wykorzystując je, przepisujemy (2.6) w postaci

"

−∇

2

−

2

a

0

r

+

2E

E

0

a

3

0



z
x

#

ψ(r) =

ε

W

0

a

2

0

ψ(r).

(2.8)

Zdefiniujemy teraz bezwymiarowe wielkości:

r

′

=

(

[x

′

, y

′

, z

′

]

[x

′

, y

′

]

)

= r/a

0

— współrzędne,

E

′

= E/E

0

— natężenie pola,

ε

′

= ε/W

0

— energia,

ψ

′

(r

′

) =







a

3

/

2

0

a

0







ψ(a

0

r

′

) — funkcja falowa.

Mnożąc (2.8) przez







a

7

/

2

0

a

3

0







otrzymujemy bezwymiarowe równanie Schr¨odingera

"

−∇

′2

−

2

r

′

+ 2

(

z

′

x

′

)

E

′

#

ψ

′

(r

′

) = ε

′

ψ

′

(r

′

).

(2.9)

Dalej znaki

′

będą pomijane.

W przypadku bez zewnętrznego pola (E = 0) równanie (2.9) daje się rozwiązać me-

todą separacji zmiennych dla d = 3 i d = 2 odpowiednio we współrzędnych sferycz-
nych (r, ϑ, ϕ) [12, 13] lub biegunowych (r, ϕ) [2]. Włączenie pola E usuwa tę możliwość,
jednak daje się wtedy rozdzielić zmienne odpowiednio we współrzędnych parabolicznych
obrotowych (u, v, ϕ) lub płaskich (u, v), o których mowa w Dodatku A i B.

3.

Ekscyton dwuwymiarowy jako model ekscytonu
w studni kwantowej

Funkcję falową elektronu lub dziury w studni kwantowej możemy przedstawić w postaci

iloczynu

Ψ (x, y, z) = ψ(x, y)χ(z),

7

(oś OZ jest tu ustawiona wzdłuż kierunku wzrostu struktury). W przybliżeniu parabo-
licznym prawa dyspersji dla nośników ładunku mają postać (2.1), z tym że wektor falowy
k

leży w płaszczyźnie XY , a ε

g

zastąpić należy efektywną przerwą energetyczną

ε

′

g

= ε

g

+ ε

(z)
e0

+ ε

(z)
h0

,

gdzie ε

(z)
e,h 0

— energie najniższych poziomów elektronowych i dziurowych w studniach w

pasmie przewodnictwa i walencyjnym, pojawiających się na skutek kwantowania ruchu
wzdłuż osi OZ. Zakładamy, że wyższe poziomy są nieobsadzone, jeśli istnieją.

Studnię kwantową wytworzoną w pasmie przewodnictwa (lub walencyjnym) półprze-

wodnikowej heterostruktury możemy w przybliżeniu opisywać w formalizmie masy efek-
tywnej za pomocą prostokątnego potencjału U(z) = U

0

[1 − θ(a/2 + z) θ(a/2 − z)], gdzie

a — szerokość studni, a U

0

— jej głębokość.

Przy zwężaniu studni i zwiększaniu wysokości barier funkcja χ(z) staje się coraz bar-

dziej zlokalizowana. W granicy a → 0, U

0

→ ∞ mamy χ(z) → δ(z), co odpowiada

ściśle dwuwymiarowemu ruchowi elektronu (lub dziury) w płaszczyźnie XY . Ilustruje to
rys. 3a przedstawiający wyniki wykonanych przez autora obliczeń dla studni w pasmie
przewodnictwa heterostruktury GaAs/Al

0.3

Ga

0.7

As. Zmiana materiału bariery na AlAs

(około 4-krotne zwiększenie U

0

) i odpowiednie zwężenie studni powoduje silniejszą lokali-

zację elektronu (rys. 3b).

Przedstawione na rys. 3 wyniki obliczeń zostały otrzymane za pomocą macierzowej

metody rozwiązywania równania masy efektywnej opisanej w raporcie [14].

W realnych strukturach nie jesteśmy w stanie dowolnie zwiększać wysokości barier

(brak jest odpowiednich materiałów). Dla wąskich studni prowadzi to do rozmycia funkcji
falowej χ(z), co ilustruje rys. 3c, na którym zmniejszeniu a nie towarzyszy podwyższe-
nie bariery. Dodatkowo (ze względów technologicznych) nie można dowolnie zmniejszać
szerokości studni.

W modelu ściśle dwuwymiarowego ekscytonu przyjmujemy „trójwymiarowe” (z poten-

cjałem typu 1/r) oddziaływanie kulombowskie elektron-dziura, bez uwzględnienia efektów
związanych z różnicą stałych dielektrycznych między materiałami studni i bariery. Przy-
jęcie „dwuwymiarowego” potencjału typu ln r jest nieuzasadnione, gdyż cząstki znajdują
się w przestrzeni trójwymiarowej, a jedynie ich ruch jest ograniczony do wybranej płasz-
czyzny.

Pomimo powyższych ograniczeń model dwuwymiarowego ekscytonu stanowi ważne

zagadnienie. Pełny (trójwymiarowy) opis ekscytonu w studni kwantowej prowadzi do nie-
rozwiązywalnych analitycznie i bardzo złożonych numerycznie równań. Tymczasem model
dwuwymiarowy jest bez zewnętrznego pola elektrycznego rozwiązywalny analitycznie, a
z polem stanowi stosunkowo prosty problem numeryczny, co zostanie wykazane w dalszej
części pracy.

Model dwuwymiarowy stanowi przybliżenie realnej sytuacji. Może być wykorzystany

jako element modeli bardziej dokładnych (np. [10]) oraz do weryfikacji wyników uzyska-
nych innymi metodami w granicznym przypadku a → 0, U

0

→ ∞.

8

Rys. 3. Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w

studniach kwantowych heterostruktur GaAs/Al

0.3

Ga

0.7

As (a,c)

i GaAs/AlAs (b). ML = monowarstwa ≈ 2.8 ˚

A

4.

Opis ekscytonu dwuwymiarowego bez zewnętrz-
nego pola we współrzędnych biegunowych

Dwuwymiarowe równanie Schr¨odingera bez zewnętrznego pola elektrycznego we współ-

rzędnych biegunowych ma postać

"

−

1
r

∂

∂r

r

∂

∂r

!

−

1

r

2

∂

2

∂ϕ

2

−

2
r

#

ψ(r, ϕ) = εψ(r, ϕ).

(4.1)

Przedstawiając funkcję falową ψ(r, ϕ) w postaci iloczynu χ(r) Φ(ϕ) i mnożąc (4.1) przez

9

−r

2

χ(r) Φ(ϕ)

dostajemy

"

r

χ(r)

d

dr

r

d

dr

χ(r)

!

+ 2r + εr

2

#

+

1

Φ(ϕ)

d

2

dϕ

2

Φ(ϕ) = 0.

(4.2)

Jeśli wprowadzimy stałą separacji C, będziemy mogli zapisać (4.2) jako układ równań
typu {f

1

(ϕ) = −C, f

2

(r) = C}. Pierwsze z nich jest równaniem na funkcje i wartości

własne operatora kwadratu momentu pędu rotatora płaskiego:

−

d

2

dϕ

2

Φ(ϕ) = C Φ(ϕ).

Tymi funkcjami są Φ

m

(ϕ) = (2π)

−

1

/

2

e

imϕ

dla m = 0, ±1, ±2, . . .; wartości własne C = m

2

.

Po podstawieniu wartości C drugie z równań — na funkcję radialną χ(r) — będzie

postaci

"

d

2

dr

2

+

1
r

d

dr

+

2
r

−

m

2

r

2

+ ε

#

χ(r) = 0.

(4.3)

Zamiast rozwiązywać to równanie jak w pracy [2], skorzystamy z faktu, iż jest ono szczegól-
nym przypadkiem równania (D.4) — patrz Dodatek D. Rozwiązania poszukujemy zatem
w postaci r

d

e

br

F(a; c; λr) (F — funkcja dana wzorem (D.3)). Po porównaniu współczyn-

ników otrzymujemy

λ = −2b,

ε = −b

2

,

|d| = |m|, c = 1 + 2d,

b = (a − d −

1

/

2

)

−1

.

(4.4)

Rozważamy stany związane (ε < 0), więc argument λr funkcji F jest rzeczywisty. Nor-
mowalnym i zachowującym się właściwie przy r → 0 rozwiązaniem będzie zatem (patrz
Dodatek D) funkcja

χ

n

(r) ∼ r

|m|

e

−λ

n

r

F (|m| − n; 1 + 2|m|; 2λ

n

r)

(n całkowite i n ­ |m|). Stała λ

n

określająca energie poszczególnych stanów ma postać

λ

n

=

1

n +

1

/

2

,

(4.5)

zatem poziomami energetycznymi są

ε

n,m

= ε

n

= −

1

(n +

1

/

2

)

2

,

(4.6)

a każdy z nich jest (2n + 1)-krotnie zdegenerowany (bez uwzględnienia spinu). Zgodnie z
oznaczeniami wprowadzonymi w [2] główną liczbę kwantową n liczymy od 0 (inaczej niż
w przypadku trójwymiarowym). Energia stanu podstawowego ekscytonu w d = 2 wynosi
ε

0

= −4 i jest czterokrotnie większa niż dla d = 3.

Ze wzorów (E.2) i (E.7) — patrz Dodatek E — otrzymujemy łatwą do unormowania

postać funkcji radialnej

χ

n

(r) ∼ L

2|m|
n−|m|

(2λ

n

r),

10

gdzie L

a

N

(x) — funkcja Laguerre’a (E.7). Warunkiem unormowania jest

∞

Z

0

|χ

n

(r)|

2

r dr = 1;

ze wzoru (E.10) mamy

∞

Z

0

[L

2|m|
n−|m|

(2λ

n

r)]

2

r dr =

2n + 1

4λ

2

n

=

(n +

1

/

2

)

3

2

=

λ

−3

n

2

.

Unormowanymi funkcjami bazy dla stanów związanych we współrzędnych bieguno-

wych są więc

ψ

c

n,m

(r, ϕ) = π

−

1

/

2

λ

3

/

2

n

L

2|m|
n−|m|

(2λ

n

r) e

imϕ

=

=

λ

3

/

2

n

√

π

v

u

u

t

(n − |m|)!
(n + |m|)!

e

−λ

n

r

[2λ

n

r]

|m|

L

2|m|
n−|m|

(2λ

n

r) e

imϕ

.

(4.7)

gdzie L

a

N

(x) — uogólnione wielomiany Laguerre’a (E.1). Funkcją falową stanu podstawo-

wego jest

ψ

c

0,0

(r, ϕ) =

q

8/π e

−2r

.

5.

Opis ekscytonu dwuwymiarowego we współrzęd-
nych parabolicznych

Równanie Schr¨odingera (2.9) w płaskich współrzędnych parabolicznych przyjmie, na

podstawie wzorów (A.1) i postaci laplasjanu (A.6), postać

"

−

1

u

2

+ v

2

∂

2

∂u

2

+

∂

2

∂v

2

!

−

4

u

2

+ v

2

+ (u

2

− v

2

)E

#

ψ(u, v) = εψ(u, v).

(5.1)

Przedstawmy funkcję ψ(u, v) jako iloczyn f(u) g(v) i pomnóżmy (5.1) przez −

u

2

+ v

2

f(u) g(v)

;

otrzymamy

"

1

f(u)

d

2

du

2

f(u) − Eu

4

+ εu

2

+ 2

#

+

"

1

g(v)

d

2

dv

2

g(v) + Ev

4

+ εv

2

+ 2

#

= 0.

(5.2)

Zapiszmy (5.2) w postaci układu równań typu {f

1

(u) = −C, f

2

(v) = C} bez osobliwości

w punkcie (0, 0), wprowadzając stałą separacji C:























"

−

d

2

du

2

− εu

2

+ Eu

4

− 2

#

f(u) =

"

−

d

2

du

2

+ V

+

(u)

#

f(u) = −Cf(u),

"

−

d

2

dv

2

− εv

2

− Ev

4

− 2

#

g(v) =

"

−

d

2

dv

2

+ V

−

(v)

#

g(v) = Cg(v).

(5.3)

11

Równania (5.3) mają postać zbliżoną do jednowymiarowych równań Schr¨odingera. Są
to zagadnienia własne na stałą separacji C, a energia wiązania ε jest tu parametrem
w funkcjach, które będą dalej nazywane kwazipotencjałami (odpowiadają one potencjałom
w równaniu Schr¨odingera):

V

+

(u) = −εu

2

+ Eu

4

− 2,

V

−

(v) = −εv

2

− Ev

4

− 2.

(5.4)

Procedura numerycznego rozwiązywania układu równań (5.3) powinna więc polegać na
znalezieniu takiej wartości ε(E), dla której wartości własne C i −C otrzymane z obu
równań (5.3) będą identyczne.

Należy tu dodać, że alternatywna definicja współrzędnych parabolicznych (Doda-

tek A), zastosowana w pracy [8], także pozwala na rozdzielenie zmiennych w równa-
niu (2.9). Otrzymujemy wtedy układ dwóch jednowymiarowych równań Schr¨odingera,
w których parametrem jest stała separacji, a wartością własną energia. Równania te są
jednak znacznie trudniejsze do numerycznego rozwiązywania niż (5.3), gdyż zawierają
osobliwości.

W punkcie v = 0 nie możemy położyć dogodnego w obliczeniach numerycznych wa-

runku początkowego g(0) = 0, gdyż implikowałoby to nieuzasadnione przypuszczenie
ψ(0, 0) = 0. Wartość g(0) jest nieznana. Aby ominąć tę trudność, rozszerzymy dziedzinę
zmiennej v na wartości ujemne (wykorzystujemy dwuznaczność odwzorowania konforem-
nego (A.5)). Pociąga to za sobą warunek

ψ(u, v) = ψ(−u, −v)

(5.5)

(patrz Dodatek A). Ze względu na to, że kwazipotencjały (5.4) są funkcjami parzystymi,
funkcje f(u) i g(v) muszą być parzyste bądź nieparzyste. Równość (5.5) zajdzie tylko
wtedy, gdy parzystość f i g będzie taka sama.

Wykresy kwazipotencjałów w przypadku z polem i bez pola (w rozszerzonej dziedzinie

v) przedstawia rys. 4.

Zajmijmy się teraz przypadkiem E = 0, który jest rozwiązywalny analitycznie. Rów-

nania (5.3) przyjmują wtedy postać

"

−

d

2

dw

2

+ λ

2

w

2

#

f

±

(w) = (2 ± C) f

±

(w),

(5.6)

gdzie w oznacza u lub v, f

−

i f

+

— odpowiednio funkcje f i g, a λ

2

= −ε. Przy jego

rozwiązywaniu moglibyśmy skorzystać z ogólniejszego równania (D.5). Warto jednak za-
uważyć, że (5.6) jest odwróconym zagadnieniem własnym kwantowego liniowego oscylatora
harmonicznego. Jego rozwiązaniami są (patrz (F.8)) dla n

±

= 0, 1, 2, . . . funkcje Hermite’a

f

n

±

(x) ∼ H

n

±

(

√

λ x),

(5.7)

a wartości własne 2 ± C = (2n

±

+ 1)λ. Wybór znaku + lub − zależy od tego, które

z równań układu (5.3) rozpatrujemy.

Dodając do siebie obie wartości własne dostajemy

4 = (2n

+

+ 2n

−

+ 2)λ

n

+

n

−

λ

n

+

n

−

=

2

n

+

+ n

−

+ 1

.

12

Rys. 4. Kwazipotencjały V

+

(u) i V

−

(v) dla różnych wartości pola E.

Cieńszą linią jest zaznaczony kwazipotencjał dla E = 0

Symbole n

+

i n

−

oznaczają paraboliczne liczby kwantowe. Ze względu na narzucony wa-

runek ψ(u, v) = ψ(−u, −v) mamy

n

+

+ n

−

= 2n,

n = 0, 1, 2, . . . ,

(5.8)

gdzie n — główna liczba kwantowa (jak we współrzędnych biegunowych), bowiem energia
stanów wyraża się tylko przez nią:

λ

n

+

,n

−

= λ

n

=

1

n +

1

/

2

,

ε

n

+

,n

−

= ε

n

= −

1

(n +

1

/

2

)

2

.

Ze wzoru (5.7) możemy wyznacyć unormowane funkcje falowe ψ(u, v)

ψ

n

+

,n

−

(u, v) = (I

n

+

,n

−

)

−

1

/

2

H

n

−

(

q

λ

n

u) H

n

+

(

q

λ

n

v),

13

przy czym czynnik normalizacyjny I

n

+

,n

−

znajdujemy, posługując się iloczynem skalar-

nym (A.7):

2I

n

+

,n

−

=

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

|f

n

−

(u) g

n

+

(v)|

2

(u

2

+ v

2

) du dv =

=

∞

Z

−∞

|f

n

−

(u)|

2

du

∞

Z

−∞

|g

n

+

(v)|

2

v

2

dv +

∞

Z

−∞

|f

n

−

(u)|

2

u

2

du

∞

Z

−∞

|g

n

+

(v)|

2

dv.

(5.9)

Zastosujmy do tych całek wzory (F.7) i (F.10); otrzymamy

I

n

+

,n

−

=

1
2

λ

−

1

/

2

n

λ

−

3

/

2

n

(n

+

+

1

/

2

+ n

−

+

1

/

2

) = (n +

1

/

2

) λ

−2

n

= λ

−3

n

= I

n

(I

n

zależy tylko od n). Dla wygody zmieńmy wskaźniki funkcji ψ, tak aby zawierały

główną liczbę kwantową n zgodnie z (5.8). Jako drugą liczbę kwantową wybierzemy j =

1

/

2

(n

+

− n

−

) (j = −n, −n + 1, . . . , n − 1, n).

Ostatecznie unormowane funkcje bazy dla stanów związanych mają we współrzędnych

parabolicznych postać

ψ

p

n,j

(u, v) = λ

3

/

2

n

i

n+j

H

n−j

(

q

λ

n

u) H

n+j

(

q

λ

n

v) =

=

λ

3

/

2

n

√

π

2

−n

i

n+j

q

(n − j)! (n + j)!

e

−

1

/

2

λ

n

(u

2

+v

2

)

H

n−j

(

q

λ

n

u) H

n+j

(

q

λ

n

v),

(5.10)

gdzie H

N

(x) — wielomiany Hermite’a (F.1). Czynnik i

n+j

został dodany w celu uzyskania

prostszej postaci macierzy transformacji, które są przedstawione dalej. Funkcją falową
stanu podstawowego jest

ψ

p

0,0

(u, v) =

q

8/π e

u

2

+v

2

.

Funkcje ψ

c

n,m

(r, ϕ) wyrażają się przez kombinacje liniowe fukncji ψ

p

n,j

(u, v) z tą samą

wartością n, co oznacza, że funkcje (5.10) nie są funkcjami własnymi operatora momentu
pędu.

W podprzestrzeniach liniowych o określonej wartości liczby kwantowej n mamy zatem

bazy |ψ

p

n,j

i i |ψ

c

n,m

i. Zachodzić muszą równości

|ψ

c

n,m

i =

n

X

j=−n

|ψ

p

n,j

ihψ

p

n,j

|ψ

c

n,m

i =

n

X

j=−n

T

(n)

j,m

|ψ

p

n,j

i,

|ψ

p

n,j

i =

n

X

m=−n

|ψ

c

n,m

ihψ

c

n,m

|ψ

p

n,j

i =

n

X

j=−n

T

(n)

j,m

∗

|ψ

c

n,m

i.

(5.11)

Aby znaleźć elementy macierzy transformacji T

(n)

, czyli wartości całek definiujących

iloczyny skalarne występujące we wzorach (5.11), należy sprowadzić funkcje |ψ

p

n,j

i i |ψ

c

n,m

i

do tego samego układu współrzędnych. Dla uniknięcia całkowania wielomianów trygono-
metrycznych przejdziemy do układu parabolicznego.

14

Korzystamy z zależności (A.3) i przekształcamy najpierw dwa czynniki z funkcji falo-

wej (4.7):

(2λ

n

r)

|m|

e

imϕ

= (2λ

n

r)

|m|

(

e

r/r)

m

= (2λ

n

r)

|m|

(

e

s

2

/2r)

m

=

=

(

(2λ

n

r)

|m|

e

s

2|m|

(2r)

−|m|

dla m ­ 0

(2λ

n

r)

|m|

(

e

s

∗

)

2|m|

(2r)

−|m|

dla m ¬ 0

(2λ

n

r)

|m|

e

imϕ

= [

q

λ

n

(u + iv sgn m)]

2|m|

,

a dalej

ψ

r

n,m

(u, v) =

λ

3/2

n

√

π

v

u

u

t

(n − |m|)!
(n + |m|)!

[

q

λ

n

(u + iv sgn m)]

2|m|

×

× e

−

1

/

2

λ

n

(u

2

+v

2

)

L

2|m|
n−|m|

(λ

n

u

2

+ λ

n

v

2

).

(5.12)

Dla m = 0 możemy wyznaczyć liczby T

(n)

j,m

korzystając ze związków między funkcjami

Laguerre’a i Hermite’a (F.11):

T

(n)

j,0

=

cos

2

[(n + j)π/2]

n! 2

n

i

j−n

n

(n − j)/2

!q

(n − j)! (n + j)!.

Kilka pierwszych macierzy T

(n)

jest zestawionych poniżej:

T

(0)

= [ 1 ],

T

(1)

=

























1
2

−

√

2

2

1
2

−

√

2

2

0

√

2

2

1
2

√

2

2

1
2

























,

T

(2)

=















































1
4

−

1
2

√

6

4

−

1
2

1
4

−

1
2

1
2

0

−

1
2

1
2

√

6

4

0

−

1
2

0

√

6

4

−

1
2

−

1
2

0

1
2

1
2

1
4

1
2

√

6

4

1
2

1
4















































,

15

T

(3)

=





































































1
8

−

√

6

8

√

15

8

−

√

5

4

√

15

8

−

√

6

8

1
8

−

√

6

8

1
2

−

√

10

8

0

√

10

8

−

1
2

√

6

8

√

15

8

−

√

10

8

−

1
8

√

3

4

−

1
8

−

√

10

8

√

15

8

−

√

5

4

0

√

3

4

0

−

√

3

4

0

√

5

4

√

15

8

√

10

8

−

1
8

−

√

3

4

−

1
8

√

10

8

√

15

8

−

√

6

8

−

1
2

−

√

10

8

0

√

10

8

1
2

√

6

8

1
8

√

6

8

√

15

8

√

5

4

√

15

8

√

6

8

1
8





































































.

Są one macierzami rzeczywistymi i symetrycznymi dzięki dodaniu w funkcjach (5.10)
czynnika i

n+j

.

6.

Porównanie ekscytonu dwuwymiarowego z trój-
wymiarowym

Równanie Schr¨odingera dla ekscytonu trójwymiarowego bez zewnętrznego pola (jest

to znane zagadnienie atomu wodoru [12, 13]) ma we współrzędnych sferycznych postać

"

−

1

r

2

∂

∂r

r

2

∂

∂r

!

−

1

r

2

sin ϑ

∂

∂ϑ

sin ϑ

∂

∂ϑ

!

−

1

r

2

sin

2

ϑ

∂

2

∂ϕ

2

−

2
r

#

ψ(r, ϑ, ϕ) =

= εψ(r, ϑ, ϕ).

(6.1)

Przedstawiając funkcję falową ψ(r, ϑ, ϕ) w postaci iloczynu χ(r) Θ(ϑ, ϕ) i mnożąc (6.1)

przez

−r

2

χ(r) Θ(ϑ, ϕ)

otrzymujemy układ równań typu {f

1

(ϑ, ϕ) = −C, f

2

(r) = C}. Pierw-

sze z nich jest zagadnieniem własnym operatora kwadratu momentu pędu:

−

"

1

sin ϑ

∂

∂ϑ

sin ϑ

∂

∂ϑ

!

+

1

sin

2

ϑ

∂

2

∂ϕ

2

#

Θ(ϑ, ϕ) = C Θ(ϑ, ϕ).

Jego unormowanymi funkcjami własnymi są harmoniki sferyczne Y

l,m

(ϑ, ϕ) zdefiniowane

wzorem (C.2), gdzie l = 0, 1, 2, . . ., a m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l; wartościami własnymi
są liczby C = l(l + 1).

Drugie równanie — na funkcję radialną χ(r) — po wstawieniu wartości C przyjmie

postać

"

d

2

dr

2

+

2
r

d

dr

+

2
r

−

l(l + 1)

r

2

+ ε

#

χ(r) = 0.

(6.2)

16

Jest to, podobnie jak dla d = 2, szczególny przypadek równania (D.4), więc rozwiązania
poszukujemy w postaci r

d

e

br

F(a; c; λr) (F – funkcja postaci D.3). Porównanie współczyn-

ników oraz żądanie normowalności rozwiązania i jego właściwego zachowania przy r → 0
daje

χ

n,l

(r) ∼ r

l

e

−r/n

F (−n + 1 + l; 2 + 2l; 2r/n)

dla całkowitych n > l (F – konfluentna funkcja hipergeometryczna (D.2)). Korzystając
ze wzorów (E.2) i (E.7) możemy napisać

χ

n,l

(r) ∼ [2r/n]

−

1

/

2

L

2l+1

n−1−l

(2r/n).

Normując funkcję χ

n,l

(r) zgodnie z warunkiem

∞

Z

0

|χ

n,l

(r)|

2

r

2

dr = 1.

otrzymujemy, przy pomocy wzorów (E.9) i (E.10), funkcje falowe bazy dla stanów zwią-
zanych we współrzędnych sferycznych:

ψ

s

n,l,m

(r, ϑ, ϕ) = 2n

−2

[2r/n]

−

1

/

2

L

2l+1

n−1−l

(2r/n) Y

l,m

(ϑ, ϕ) =

=

2

n

2

v

u

u

t

(n − l − 1)!

(n + l)!

[2r/n]

l

e

−r/n

L

2l+1

n−1−l

(2r/n) Y

l,m

(ϑ, ϕ),

(6.3)

gdzie L

a

N

— uogólnione wielomiany Laguerre’a (zgodnie z (E.7)). Funkcją falową stanu

podstawowego jest

ψ

s

1,0,0

(r, ϑ, ϕ) =

q

2/π e

−r

.

Energie kolejnych poziomów mają wartość

ε

n,l,m

= ε

n

= −

1

n

2

,

(6.4)

a krotność degeneracji n-tego poziomu wynosi (bez uwzględnienia spinu) n

2

.

Równanie (2.9) daje się rozseparować dla d = 3 także we współrzędnych parabo-

licznych, również w przypadku E 6= 0. Korzystając z zależności (B.1) i postaci lapla-
sjanu (B.6) otrzymujemy

(

−

1

u

2

+ v

2

"

1
u

∂

∂u

u

∂

∂u

!

+

1
v

∂

∂v

v

∂

∂v

!

+

u

2

+ v

2

u

2

v

2

∂

2

∂ϕ

2

#

+

−

4

u

2

+ v

2

+ (u

2

− v

2

)E

)

ψ(u, v, ϕ) = εψ(u, v, ϕ).

(6.5)

Aby wydzielić część kątową, przedstawiamy funkcję falową ψ(u, v, ϕ) w postaci iloczynu
φ(u, v) Φ(ϕ). Jeżeli wprowadzimy stałą separacji D, po przekształceniach otrzymamy
układ równań typu {f

1

(ϕ) = −D, f

2

(u, v) = D}. Pierwsze z nich to zagadnienie własne

operatora kwadratu z-owej składowej momentu pędu:

−

d

2

dϕ

2

Φ(ϕ) = D Φ(ϕ),

17

a jego rozwiązaniami są Φ

m

(ϕ) = (2π)

−

1

/

2

e

imϕ

dla m = 0, ±1, ±2, . . . oraz D = m

2

.

Wybór kierunku pola E wzdłuż osi OZ pozwala jednak także na rozdzielenie zmien-

nych u i v. Wstawiając wartość D do drugiego równania, zapisując φ(u, v) w postaci
iloczynu ¯

f(u) ¯

g(v) i wprowadzając nową stałą separacji C, otrzymujemy układ dwóch

równań:























"

1
u

d

du

u

d

du

!

+ εu

2

− Eu

4

−

m

2

u

2

+ 2 − C

#

¯

f(u) = 0,

"

1
v

d

dv

v

d

dv

!

+ εv

2

+ Ev

4

−

m

2

v

2

+ 2 + C

#

¯

g(v) = 0.

(6.6)

Jeżeli użyjemy nowych funkcji

f(u) =

√

u ¯

f (u),

g(v) =

√

v ¯

g(v),

(6.7)

to równania (6.6) przybiorą postać zagadnień własnych dla operatora typu −

d

2

dw

2

+ V(w)

(w ∈ h0, ∞) oznacza tu u lub v), analogiczną do jednowymiarowych równań Schr¨odingera:























"

−

d

2

du

2

− εu

2

+ Eu

4

+

m

2

−

1

/

4

u

2

− 2

#

f(u) = −Cf(u),

"

−

d

2

dv

2

− εv

2

− Ev

4

+

m

2

−

1

/

4

v

2

− 2

#

g(v) = Cg(v).

(6.8)

Są to, podobnie jak w przypadku d = 2, równania na wartości własne stałej separacji C,
w których energia jest parametrem określającym kwazipotencjały

V

+

(u) = −εu

2

+ Eu

4

+

m

2

−

1

/

4

u

2

− 2,

V

−

(v) = −εv

2

− Ev

4

+

m

2

−

1

/

4

v

2

− 2.

(6.9)

Ich wykresy dla przypadków z polem i bez pola oraz dla różnych wartości liczby kwantowej
m przedstawia rys. 5.

Warto tu zauważyć, że przyjęcie współrzędnych parabolicznych w wersji proponowanej

przez Landaua i Lifszica ([12] oraz Dodatek B) prowadzi do układu dwóch standardowych
równań Schr¨odingera. Obliczenia oparte na takim podejściu zawiera praca [1].

Odpychająca część kwazipotencjałów typu

m

2

w

2

jest związana z występowaniem siły

odśrodkowej przy ruchu obrotowym wokół osi OZ (znika dla stanów z rzutem momentu

pędu m = 0), a część przyciągająca −

1

4w

2

pojawia się tylko na skutek transformacji (6.7).

W przypadku, gdy brak zewnętrznego pola, równania układu przyjmują postać

"

d

2

dw

2

+ εw

2

−

m

2

−

1

/

4

w

2

+ 2 ± C

#

f

±

(w) = 0,

(6.10)

gdzie f

−

oznacza funkcję f, a f

+

– funkcję g, która jest rozwiązywalna analitycznie.

Jest to szczególny przypadek równania (D.5), więc rozwiązania poszukujemy w postaci

18

Rys. 5. Kwazipotencjały V

+

(u) i V

−

(v) dla różnych wartości liczby kwan-

towej m. Cieńszą linią jest zaznaczony kwazipotencjał dla E = 0

r

d

e

−

1

/

2

br

2

F(a; c; λr

2

) (F – funkcja postaci (D.3)). Porównując współczynniki i żądając

normowalności funkcji falowej i jej właściwego zachowania dla u, v → 0 otrzymujemy
rozwiązanie postaci

f

±

(w) ∼ w

|m|+

1

/

2

e

−w

2

/2n

F (−n

±

; |m| + 1; w

2

/n) ∼ w

1

/

2

L

|m|

n

±

(w

2

/n),

(6.11)

gdzie n

±

— paraboliczne liczby kwantowe (skorzystaliśmy z (E.2) i (E.7)).

Możemy wprowadzić główną liczbę kwantową n:

1

n

=

1

n

+

+ n

−

+ |m| + 1

,

(6.12)

od której (wyłącznie) zależy energia stanu:

ε

n

= −

1

n

2

.

Na podstawie wzorów (6.7) i (6.11) wyznaczamy unormowane funkcje φ(u, v):

φ

n

+

,n

−

,m

(u, v) = (I

n

+

,n

−

,m

)

−

1

/

2

f

n,n

−

,m

(u) g

n,n

+

,m

(v) = (I

n

+

,n

−

,m

)

−

1

/

2

L

|m|

n

−

(u

2

/n) L

|m|

n

+

(v

2

/n),

19

gdzie czynnik normalizacyjny I

n

+

,n

−

,m

wyraża się (na podstawie (B.7)) przez całkę

I

n

+

,n

−

,m

=

∞

Z

0

∞

Z

0

|f

n,n

−

,m

(u) g

n,n

+

,m

(v)|

2

(u

3

v + uv

3

) du dv.

(6.13)

Ostatecznie dostajemy

I

n

+

,n

−

,m

=

n

3

4

[2(n

+

+ n

−

) + 2|m| + 2] =

n

4

2

,

przy użyciu związków między liczbami kwantowymi (6.12). Ponieważ liczby te nie są
niezależne (jest ich o jedną za dużo), oznaczmy n

−

= j; wtedy n

+

= n−1−|m|−j i mamy

liczby kwantowe n (opisującą energię stanu), m (opisującą składową z-ową momentu pędu)
oraz j.

Unormowanymi funkcjami falowymi bazy dla stanów związanych we współrzędnych

parabolicznych są więc

ψ

p

n,j,m

(u, v, ϕ) = [− sgn m]

m

π

−

1

/

2

n

−2

L

|m|
j

(u

2

/n) L

|m|
n−1−|m|−j

(v

2

/n) e

imϕ

=

=

[− sgn m]

m

n

2

v

u

u

t

j! (n − 1 − |m| − j)!

π(j + |m|)! (n − 1 − j)!

×

×



uv

n



|m|

exp

−

u

2

+ v

2

2n

!

L

|m|
j

(u

2

/n) L

|m|
n−1−|m|−j

(v

2

/n) e

imϕ

. (6.14)

Dodanie czynnika [− sgn m]

m

ma za zadanie uproszczenie macierzy transformacji, które

opisane będą na końcu rozdziału.

Występujące w funkcjach (6.14) liczby kwantowe n i m są identyczne z tymi, które

numerują funkcje ψ

s

n,l,m

(r, ϑ, ϕ), natomiast j przyjmuje wartości 0, 1, . . . , n−1−|m|. Funk-

cja we współrzędnych sferycznych o danych n, l, m wyraża się przez kombinację liniową
funkcji we współrzędnych parabolicznych o tych samych n, l i różnych j. Oznacza to, że
funkcje ψ

p

n,i,m

(u, v, ϕ) nie są stanami własnymi operatora momentu pędu (a tylko jego

składowej z).

W podprzestrzeniach liniowych o określonych wartościach liczb kwantowych n i m

mamy zatem bazy |ψ

p

n,j,m

i i |ψ

s

n,l,m

i. Spełnione są równości

|ψ

s

n,l,m

i =

n−1−|m|

X

j=0

|ψ

p

n,j,m

ihψ

p

n,j,m

|ψ

s

n,l,m

i =

n−1−|m|

X

j=0

T

(n,m)

j,l

|ψ

p

n,j,m

i,

|ψ

p

n,j,m

i =

n−1

X

l=|m|

|ψ

s

n,l,m

ihψ

s

n,l,m

|ψ

p

n,j,m

i =

n−1

X

l=|m|

T

(n,m)

j,l

∗

|ψ

s

n,l,m

i.

(6.15)

Unitarne macierze transformacji T

(n,m)

pomiędzy bazami można wyznaczyć obliczając

iloczyny skalarne występujące we wzorach (6.15). Aby znaleźć wartości definiujących te
iloczyny całek, trzeba sprowadzić funkcje |ψ

p

n,j,m

i i |ψ

s

n,l,m

i do tego samego układu współ-

rzędnych; najdogodniejszy jest w tym przypadku układ sferyczny. Kilka obliczonych ma-

20

cierzy T

(n,m)

jest zestawionych poniżej:

T

(n,±(n−1))

= [ 1 ],

T

(n,±(n−2))

=















√

2

2

√

2

2

√

2

2

−

√

2

2















,

T

(3,0)

=

























√

3

3

√

2

2

√

6

6

√

3

3

0

−

√

6

3

√

3

3

−

√

2

2

√

6

6

























,

T

(4,±1)

=

























√

30

10

√

2

2

√

5

5

√

10

5

0

−

√

15

5

√

30

10

−

√

2

2

√

5

5

























,

T

(4,0)

=



































1
2

3

√

5

10

1
2

√

5

10

1
2

√

5

10

−

1
2

−

3

√

5

10

1
2

−

√

5

10

−

1
2

3

√

5

10

1
2

−

3

√

5

10

1
2

−

√

5

10



































.

Równości T

(n,±(n−1))

= [ +1 ] oraz T

(n,m)

= T

(n,−m)

zachodzą dzięki dodaniu w funk-

cjach (6.14) czynnika [− sgn m]

m

.

Dokładniejsze wyprowadzenia zawartych w tym rozdziale formuł znajdują się w ra-

porcie [15].

7.

Rozpad ekscytonu na skutek tunelowania

Jak zostało to już powiedziane w rozdziale 2., zagadnienie ekscytonu w zewnętrznym

(dowolnie słabym) polu elektrycznym jest niestacjonarne. Rozpatrując problem w sposób
kwazistacjonarny można w przybliżeniu określić zmianę widma energetycznego ekscytonu
oraz znaleźć wartość pola E

i

, dla której stan podstawowy przestaje istnieć. Rozpad (jo-

nizacja) ekscytonu może jednak nastąpić dla |E| < E

i

, a ściślej dla dowolnego E 6= 0.

Jest to skutkiem kwantowego efektu tunelowania, który pozwala na przejście ekscytonu
poprzez barierę potencjału ze stanu związanego ze zlokalizowaną funkcją falową do stanu
z funkcją falową rozciągłą.

Tunelowanie przez dwuwymiarową barierę jest bardzo złożonym zagadnieniem, dla-

tego ograniczmy się do przybliżenia jednowymiarowego. Rozpatrzmy przekrój potencjału
U(x, y) wzdłuż osi OX (rys. 6).

Dla cząstki o energii ε bariera rozciąga się pomiędzy punktami x

1

i x

2

:

x

1

=

ε +

√

ε

2

− 16E

4E

,

x

2

=

ε −

√

ε

2

− 16E

4E

.

Jeżeli funkcję falową cząstki w punkcie x

1

przedstawimy w postaci kombinacji fali pada-

jącej i fali odbitej Ψ

1

+ Ψ

2

, a w punkcie x

2

w postaci fali przechodzącej Ψ

3

, możemy w

21

Rys. 6. Tunelowanie przez jednowymiarową barierę potencjału

przybliżeniu WKB [13] wyznaczyć prawdopodobieństwo przejścia przez barierę (współ-
czynnik tunelowania)

T ≈ exp





−2

x

2

Z

x

1

|k(x)| dx





,

gdzie |k| — moduł wektora falowego (w barierze jest on liczbą urojoną). W jednostkach
atomowych (2.7) powyższy wzór ma postać

T ≈ exp





−2

x

2

Z

x

1

q

U(x) − ε dx





.

(7.1)

Wielkość ta związana jest z czasem życia ekscytonu, jednak ze względu na przyjęte

uproszczenia nie można tego związku podać explicite.

8.

Wyniki obliczeń numerycznych

Rozwiązywanie układu równań (5.3) równoważne jest poszukiwaniu miejsca zerowego

funkcji

h

E

(ε) = C

+

0

(E, ε) + C

−

0

(E, ε),

gdzie C

±

0

oznacza najniższą wartość własną stałej separacji C otrzymaną odpowiednio z

pierwszego i drugiego równania układu (5.3). Wystarczy znaleźć tylko najniższe wartości
własne, gdyż to one odpowiadają stanowi podstawowemu ekscytonu.

Wartości własne zagadnień (5.3) wyznaczane były numerycznie przy pomocy macie-

rzowych metod siatkowych: trójpunktowej i Lindberga, opisanych w Dodatku G. W ten

22

sposób problem sprowadził się do znajdowania najniższej wartości własnej macierzy trój-
diagonalnych za pomocą metody bisekcji. Metoda ta jest prosta, szybka i dokładna, co
zostało potwierdzone licznymi testami.

Specyficzną cechą zastosowanych metod jest rozpatrywanie równania Schr¨odingera na

ograniczonym przedziale, na brzegach którego zakłada się znikanie funkcji falowej. Jest to
równoważne postawieniu na końcach przedziału nieskończonych barier potencjału.

W przypadku kwazipotencjału V

+

(u) nałożenie takiego warunku brzegowego nie powo-

duje istotnego błędu (o ile rozpatrywany przedział jest dostatecznie szeroki), gdyż funkcja
f(u) w barierze szybko zanika. Jest to skutkiem kształtu kwazipotencjału (rys. 4).

Dla potencjału V

−

(v) natomiast funkcja g(v) nie zanika dla |v| → ∞ i trzeba tak

dobrać szerokość rozpatrywanego przedziału, aby nałożenie sztucznych warunków brzego-
wych powodowało możliwie mały błąd. Okazuje się, że wybór przedziału h−v

1

, v

1

i (rys. 7,

grubsza linia przerywana), gdzie v

1

=

q

1

/

2

|ε/E|, prowadzi do błędnych wyników (energia

ekscytonu w silnym polu rośnie). Wybór przedziału h−v

2

, v

2

i z potencjałem stałym na

odcinkach h−v

2

, −v

1

i i hv

1

, v

2

i (cieńsza linia przerywana rys. 7) powoduje natomiast, że

energia ε przy wzroście pola maleje, a wyniki ustalają się przy wzroście odległości |v

2

−v

1

|.

Rys. 7. Wybór warunków brzegowych dla potencjału V

−

Obie metody (trójpunktowa i Lindberga) dają jednakowe wyniki. Większa dokładność

metody Lindberga przejawia się tylko przy bardzo słabych polach: poprawki do energii
stanu podstawowego obliczone dla różnych wartości E wykazują w niej mniejszy rozrzut
wokół krzywej opisanej równaniem (8.1).

Rys. 8 przedstawia obliczone wartości energii wiązania stanu podstawowego dwuwy-

miarowego ekscytonu ε

0

(E) (linia ciągła). Linia kropkowana przedstawia wartość poten-

cjału w jego maksimum na osi OX (por. rys. 6) U

b

(E) = −4

√

E, a linia przerywana

23

różnicę ε

0

− U

b

. Rozpad ekscytonu interpretowany jest jako spadek tej różnicy do 0 (dla

E ≈ 1.1).

Rys. 8. Zależność energii wiązania i wysokości bariery od natężenia pola

(opis w tekście)

Rys. 9. Zależność przesunięcia energii stanu podstawowego ∆ε

0

od na-

tężenia pola (opis w tekście)

Na rys. 9 przedstawiona jest poprawka do energii stanu podstawowego ∆ε

0

(E) =

= ε

0

(E)−ε

0

(0) wyznaczona numerycznie (linia ciągła) oraz obliczona za pomocą drugiego

24

rzędu rachunku zaburzeń ze wzoru (według [8])

∆ε

0

(E) = −

21

128

E

2

≈ −0.164E

2

.

(8.1)

Wyniki otrzymane obiema metodami niewiele się różnią (poprawka wyznaczona nu-

merycznie jest większa co do wartości bezwzględnej o mniej niż 1% dla E < 0.05 i o około
10% dla E ∼ 1). Wynika stąd, że ekscyton dwuwymiarowy, jako stosunkowo silnie zwią-
zany, jest słabo polaryzowalny i rachunek zaburzeń daje dlań zaskakująco dobre wyniki.
Obserwacja ta zgadza się z poczynioną w pracy [8]. Jest to sytuacja odmienna niż w
przypadku ekscytonu trójwymiarowego [1, 8].

Rys. 10 przedstawia obliczony według wzoru (7.1) współczynnik tunelowania w skali

liniowej i logarytmicznej. Współczynnik T osiąga stosunkowo dużą wartość (rzędu 0.1)
dla E ∼ 0.7.

Rys. 10. Zależność współczynnika tunelowania T od natężenia pola

25

Wybór liczby 0.1 jest tu zupełnie arbitralny, ponieważ zastosowane przybliżenie nie

umożliwia wyznaczenia czasu życia ekscytonu.

9.

Podsumowanie

Najważniejsze wyniki pracy można krótko przedstawić w następujący sposób:

1. Znaleziono układ współrzędnych, w którym równanie Schr¨odingera opisujące dwu-

wymiarowy ekscyton w zewnętrznym polu elektrycznym separuje się na dwa rów-
nania jednowymiarowe.

2. Zastosowana transformacja układu współrzędnych powoduje regularyzację hamilto-

nianu. Pozwala to na zastosowanie prostych i dokładnych metod numerycznych.
Otrzymane równania jednowymiarowe są podobne do zagadnienia własnego dla
oscylatora anharmonicznego.

3. Podobny opis można zastosować do ekscytonu trójwymiarowego, co pozwala na

rozpatrywanie obu przypadków w ramach jednolitego podejścia.

4. Zagadnienie jest niestacjonarne, co powoduje, że dla silnego zewnętrznego pola za-

stosowany opis kwazistacjonarny ma charakter przybliżony.

5. Wyniki obliczeń numerycznych wskazują, że stan podstawowy dwuwymiarowego

ekscytonu przestaje istnieć w polu elektrycznym o natężeniu około 1.1 (w jednost-
kach bezwymiarowych). Jonizacja ekscytonu może wystąpić przy dowolnie słabych
polach, a jej prawdopodobieństwo szybko rośnie przy wzroście E.

6. Wyznaczone przesunięcie energii stanu podstawowego pod wpływem pola elektrycz-

nego niewiele odbiega od wyznaczonego przy pomocy rachunku zaburzeń. Oznacza
to, że ekscyton dwuwymiarowy jest słabiej polaryzowalny niż trójwymiarowy.

W dalszych badaniach istotne byłoby rozwiązanie (przynajmniej przybliżone) równa-

nia Schr¨odingera z czasem i wyznaczenie czasu życia ekscytonu. Ponadto warte uwagi jest
zbadanie ekscytonu dwuwymiarowego z potencjałem kulombowskim typu ln r.

Dodatek

A.

Współrzędne paraboliczne płaskie

Na płaszczyźnie możemy zdefiniować ortogonalny układ współrzędnych parabolicznych

(u, v) związanych ze współrzędnymi kartezjańskimi (x, y) wzorami [16]

x =

u

2

− v

2

2

,

u =

√

r + x,

y = uv,

v =

√

r − x,

(A.1)

26

gdzie r — długość promienia wodzącego:

r =

q

x

2

+ y

2

=

u

2

+ v

2

2

.

(A.2)

Aby pokryć całą płaszczyznę, jedna ze współrzędnych (np. v) musi przybierać dowolne
wartości rzeczywiste, a druga (u) — tylko nieujemne. Linie u = const i |v| = const są
parabolami o ogniskach w początku układu i wierzchołkach skierowanych odpowiednio
w prawo i w lewo, przy czym sgn v = sgn y. Ich osią symetrii jest oś x (patrz rys. 11).

Rys. 11. Siatka współrzędnych w układzie parabolicznym

Z często używanymi współrzędnymi biegunowymi (r, ϕ) wiążą współrzędne parabo-

liczne zależności

r =

s

u

2

+ v

2

2

,

u =

q

2r (1 + cos ϕ) =

√

2r cos

ϕ

2

,

ϕ = arc tg

2uv

u

2

− v

2

,

v =

q

2r (1 − cos ϕ) =

√

2r sin

ϕ

2

,

(A.3)

przy czym ϕ przyjmujemy z przedziału (−π, +πi.

Równania (A.1) i (A.3) upraszczają się po zapisaniu ich przy pomocy liczb zespolo-

nych. Zdefiniujemy w tym celu liczby

e

r = x + iy = re

iϕ

,

e

s = u + iv,

(A.4)

27

przy czym re

e

s ­ 0. Możemy teraz napisać

ϕ = arg

e

r = 2 arg

e

s,

e

r =

e

s

2

2

,

e

s =

√

2

e

r =

√

2r e

1

/

2

iϕ

,

(A.5)

czyli przyporządkowanie

e

s ↔

e

ρ można opisać funkcją analityczną — jest to odwzorowanie

konforemne (poza punktem 0). Ze względu na własności funkcji

√

e

r przyporządkowanie

to nie jest jednoznaczne — płaszczyzna

e

r przechodzi, z cięciem wzdłuż ujemnej półosi

rzeczywistej, na dwie równoważne półpłaszczyzny: re

e

s > 0 i re

e

s < 0. W ten sposób

funkcja f(

e

r) przechodzi na funkcję f(

e

s) o własności symetrii f(

e

s) = f(−

e

s).

Inaczej mówiąc, zamiast arbitralnie wybierać u ­ 0, możemy rozpatrywać funkcje

na całej płaszczyźnie (u, v) przy nałożeniu warunku parzystości f(−u, −v) = f(u, v), co
może być w pewnych przypadkach bardzo wygodne.

Laplasjan w płaskich współrzędnych parabolicznych ma postać

∇

2

=

1

u

2

+ v

2

∂

2

∂u

2

+

∂

2

∂v

2

!

.

(A.6)

Elementem powierzchni jest

dS =

∂(x, y)
∂(u, v)

du dv = (u

2

+ v

2

) du dv,

więc iloczyn skalarny ma postać

hψ|ψ

′

i =

∞

Z

−∞

∞

Z

0

ψ

∗

(u, v) ψ

′

(u, v) (u

2

+ v

2

) du dv.

(A.7)

Współrzędne paraboliczne na płaszczyźnie można też zdefiniować nieco inaczej:

x =

u − v

2

,

u = r + x,

y =

√

uv,

v = r − x.

(A.8)

Przyporządkowanie

e

s ↔

e

ρ nie jest wtedy opisane funkcją analityczną, a wzór definiu-

jący laplasjan ma postać znacznie bardziej skomplikowaną niż (A.6).

B.

Współrzędne obrotowo-paraboliczne

Jednym z trójwymiarowych ortogonalnych układów współrzędnych jest układ obro-

towo-paraboliczny [16]. Współrzędne (u, v, ϕ) w tym układzie są związane ze współrzęd-
nymi kartezjańskimi (x, y, z) następującymi wzorami:

x = uv cos ϕ,

u =

√

r + z,

y = uv sin ϕ,

v =

√

r − z,

z =

u

2

− v

2

2

,

ϕ = arc tg(y/x),

(B.1)

28

gdzie r — długość promienia wodzącego:

r =

q

x

2

+ y

2

+ z

2

=

u

2

+ v

2

2

.

(B.2)

Współrzędne u, v są nieujemne, a ϕ przyjmujemy z przedziału (−π, +πi. Powierzchnie
u = const i v = const są paraboloidami obrotowymi o ogniskach w początku układu,
skierowanymi odpowiednio wierzchołkami w górę i w dół. Ich osią symetrii jest oś OZ,
będąca też wspólną krawędzią półpłaszczyzn ϕ = const (patrz rys. 12).

Rys. 12. Obrotowo-paraboliczny układ współrzędnych

Związki współrzędnych parabolicznych z często używanymi współrzędnymi sferycz-

nymi (r, ϑ, ϕ) są następujące:

r =

s

u

2

+ v

2

2

,

u =

q

2r (1 + cos ϑ) =

√

2r cos

ϑ

2

,

ϑ = arc cos

u

2

− v

2

u

2

+ v

2

,

v =

q

2r (1 − cos ϑ) =

√

2r sin

ϑ

2

,

(B.3)

a współrzędna ϕ jest w obu układach taka sama; kąt ϑ przyjmuje wartości z przedziału
h0, πi.

Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym (Dodatek A), równania (B.1) i (B.3)

upraszczają się, jeżeli zapiszemy je przy pomocy liczb zespolonych. Zdefiniujemy w tym
celu liczby

e

ρ = x + iy = ρe

iϕ

,

e

r = z + iρ = re

iϑ

,

e

s = u + iv,

(B.4)

29

przy czym im

e

ρ ­ 0 oraz arg

e

s ∈ h0,

1

/

2

πi. Możemy teraz napisać

ϕ = arg

e

ρ,

ϑ = arg

e

r = 2 arg

e

s,

e

r =

e

s

2

2

,

e

s =

√

2

e

r =

√

2r e

1

/

2

iϑ

,

(B.5)

czyli przyporządkowanie

e

s ↔

e

ρ można opisać funkcją analityczną.

Laplasjan ma we współrzędnych obrotowo-parabolicznych postać

∇

2

=

1

u

2

+ v

2

"

1

u

∂

∂u

u

∂

∂u

!

+

1
v

∂

∂v

v

∂

∂v

!

+

u

2

+ v

2

u

2

v

2

∂

2

∂ϕ

2

#

,

(B.6)

a elementem objętości jest

dV =

∂(x, y, z)

∂(u, v, ϕ)

du dv dϕ = uv (u

2

+ v

2

) du dv dϕ.

Otrzymujemy stąd postać iloczynu skalarnego

hψ|ψ

′

i =

π

Z

−π

+∞

Z

0

+∞

Z

0

ψ

∗

(u, v, ϕ) ψ

′

(u, v, ϕ) uv (u

2

+ v

2

) du dv dϕ.

(B.7)

Współrzędne obrotowo-paraboliczne definiuje się też często nieco inaczej (np. w [12]):

x =

√

uv cos ϕ,

u = r + z,

y =

√

uv sin ϕ,

v = r − z,

z =

u − v

2

,

ϕ = arc tg(y/x).

(B.8)

Zmieniają się oczywiście wtedy postaci laplasjanu i iloczynu skalarnego (stają się nawet
nieco prostsze). Przyporządkowanie

e

s ↔

e

ρ nie jest jednak wtedy opisane przez funkcję

analityczną.

C.

Wielomiany i stowarzyszone funkcje Legendre’a.
Harmoniki sferyczne

Wielomiany Legendre’a

P

l

(z) definiujemy wzorem

P

l

(z) =

1

2

l

l!

d

l

dz

l

(z

2

− 1)

l

.

Przy ich pomocy określa się stowarzyszone funkcje Legendre’a P

m

l

(z):

P

m

l

(z) = (−1)

m

(1 − z

2

)

1

/

2

m

d

m

dz

m

P

l

(z) =

=

(−1)

m

(1 − z

2

)

1

/

2

m

2

l

⌊

1

/

2

(l−m)⌋

X

k=0

(−1)

k

(2l − 2k)!

k!(l − k)!

z

l−2k−m

(l − 2k − m)!

.

(C.1)

30

dla m = 0, 1, . . . , l. Funkcje te stanowią układ ortogonalny na przedziale h−1, 1i:

1

Z

−1

P

m

l

(x) P

m

l

′

(x) dx =

2

2l + 1

(l − m)!
(l + m)!

δ

l,l

′

.

Harmoniki sferyczne

Y

l,m

(ϑ, ϕ) definiuje się wzorem

Y

l,m

(ϑ, ϕ) = (sgn m)

m

v

u

u

t

2l + 1

4π

(l − m)!
(l + m)!

P

|m|

l

(cos ϑ) e

imϕ

.

(C.2)

Stanowią one układ ortonormalny na sferze:

π

Z

−π

0

Z

π

Y

∗

l,m

(ϑ, ϕ) Y

l

′

,m

′

(ϑ, ϕ) d cos ϑ dϕ = δ

l,l

′

δ

m,m

′

.

Harmoniki sferyczne są funkcjami własnymi operatora momentu pędu we współrzęd-

nych sferycznych.

D.

Konfluentna funkcja hipergeometryczna

Rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego Kummera

"

z

d

2

dz

2

+ (c − z)

d

dz

− a

#

f(z) = 0

(D.1)

jest [16, 17]

f

1

(z) = F (a; c; z)

– konfluentna (albo zdegenerowana) funkcja hipergeometryczna, zwana też funkcją Kum-
mera

. Można ją przedstawić w postaci szeregu potęgowego

F (a; c; z) =

Γ (c)

Γ (a)

∞

X

k=0

Γ (a + k)

Γ (c + k)

z

k

k!

= 1 +

a

c

z +

a(a + 1)

c(c + 1)

z

2

2

+ . . . ,

(D.2)

zbieżnego dla |z| < ∞ i c 6= 0, −1, −2, . . ..

Drugim (niezależnym liniowo) rozwiązaniem (D.1) jest funkcja [16]

f

2

(z) =

(

z

1−c

F (a + 1 − c; 2 − c; z)

F (a; c; z) ln z + (szereg potęgowy)

dla niecałkowitych c,
dla całkowitych c.

Jako drugi element fundamentalnego układu rozwiązań przyjmuje się też często funkcję
Tricomiego

G(a, c; z), będącą pewną kombinacją liniową f

1

(z) i f

2

(z). Nie będziemy się

tu nią zajmować.

Ogólnym rozwiązanie równania (D.1) jest zatem

F(a; c; z) = C

1

f

1

(z) + C

2

f

2

(z),

C

1

, C

2

– stałe.

(D.3)

31

Jeżeli a = −n (n = 0, 1, 2, . . .), to szereg (D.2) urywa się i funkcja F (−n, c, z) staje

się wielomianem n–tego stopnia. W ogólnym wypadku zachodzi wzór asymptotyczny [17]

F (a; c; x) ∼

x→∞

Γ (c)

Γ (c − a)

e

iπa

x

−a

+

Γ (c)

Γ (a)

e

iπ(a−c)

x

a−c

e

x

,

czyli dla a 6= −n funkcja F (a; c; z) zachowuje się asymptotycznie w przybliżeniu jak e

x

.

Funkcje postaci g(x) = x

d

e

bx

F(a; c; λx) spełniają równanie

"

d

2

dx

2

+

λ + 2b −

c − 2d

x

!

d

dx

+

+

b(b + λ) +

λ(a − d) + b(c − 2d)

x

+

d(1 + d − c)

x

2

!#

g(x) = 0,

(D.4)

natomiast funkcje postaci g(x) = x

d

e

−

1

/

2

bx

2

F(a; c; λx

2

) – równanie

"

d

2

dx

2

+

2(b − λ)x +

2(c − d) − 1

x

!

d

dx

+

+

b(b − 2λ)x

2

+ 2(b − λ)(c − d) + 2λ(c − 2a) +

d(2 + d − 2c)

x

2

!#

g(x) = 0

(D.5)

(na podstawie [16]). Równania (D.4) i (D.5) sprowadzają się, po zamianie zmiennych, do
równania (D.1).

E.

Wielomiany i funkcje Laguerre’a

Uogólnione wielomiany Laguerre’a

L

a

n

(z) definiujemy za [17] dla n = 0, 1, 2, . . . i re a >

−1 jako

L

a

n

(z) =

e

z

n! z

a

d

n

dz

n

[z

n+a

e

−z

] =

n

X

k=0

n + a
n − k

!

(−z)

k

k!

(E.1)

Są one szczególnym przypadkiem konfluentnej funkcji hipergeometrycznej

L

a

n

(z) =

(a + 1)

n

n!

F (−n; a + 1; z),

(E.2)

gdzie (a)

n

= a(a + 1) · . . . · (a + n − 1) =

Γ (a + 1 + n)

Γ (a + 1)

— symbol Pochhammera.

Należy tu zwrócić uwagę na to, że uogólnionymi wielomianami Laguerre’a nazywa się

czasem wielomiany n! · L

a

n

(z) (i oznacza się je tak samo). Ponadto symbol L

k

n

(z) często,

zwłaszcza w literaturze fizycznej, oznacza stowarzyszone wielomiany Laguerre’a; jeżeli tu,
dla odróżnienia, zapiszemy je jako l

k

n

(z), to mamy

l

k

n

(z) =

d

k

dz

k

L

0

n

(z) ≡

d

k

dz

k

L

n

(z) = (−1)

k

n! L

k

n−k

(z).

32

Uogólnione wielomiany Laguerre’a L

a

n

(x) stanowię układ ortogonalny na przedziale

h0, ∞) z wagą x

a

e

−x

:

∞

Z

0

x

a

e

−x

L

a

n

(x) L

a

n

′

(x) dx =

Γ (n + 1 + a)

n!

δ

n,n

′

.

(E.3)

Dla wielomianów tych istnieją liczne wzory rekurencyjne, m. in.

(n + 1)L

a

n+1

(z) = [(2n + 1 + a) − z]L

a

n

(z) − (n + a)L

a

n−1

(z),

(E.4)

L

a−1

n

(z) = L

a

n

(z) − L

a

n−1

(z).

(E.5)

Ponadto spełniona jest równość

n

X

k=0

L

a

k

(x)L

b

n−k

(y) = L

a+b+1

n

(x + y).

(E.6)

Zdefiniujmy

1

za [18] funkcje Laguerre’a L

a

n

(z):

L

a

n

(z) =

s

n!

Γ (n + 1 + a)

z

a

/

2

e

−

1

/

2

z

L

a

n

(z).

(E.7)

Zgodnie z (E.3) otrzymujemy dla nich zwięzek ortogonalności

∞

Z

0

L

a

n

(βx) L

a

n

′

(βx) dx =

δ

n,n

′

β

.

(E.8)

Funkcje Laguerre’a stanowią zupełny układ ortonormalny na dodatniej półosi rzeczywi-
stej.

Mnożąc (E.4) przez

q

n!/Γ (n + 1 + a) z

a

/

2

e

−

1

/

2

z

otrzymujemy związek rekurencyjny

βzL

a

n

(βz) = (2n + 1 + a)L

a

n

(βz) +

−

q

n(n + a) L

a

n−1

(βz) −

q

(n + 1)(n + 1 + a) L

a

n+1

(βz).

(E.9)

Korzystając z niego i z (E.9) możemy obliczyć jeszcze jedną całkę:

∞

Z

0

[L

a

n

(βx)]

2

x dx = (2n + 1 + a)

∞

Z

0

[L

a

n

(βx)]

2

dx =

2n + 1 + a

β

2

.

(E.10)

F.

Wielomiany i funkcje Hermite’a

Wielomiany Hermite’a

definiuje się (np. [17]) dla n = 0, 1, 2, . . . jako

H

n

(z) = (−1)

n

e

z

2

d

n

dz

n

e

−z

2

= N!

⌊n/2⌋

X

k=0

(−1)

k

(2z)

n−2k

k! (n − 2k)!

.

(F.1)

1

Czasami funkcjami Laguerre’a nazywa się wielomiany Laguerre’a uogólnione na przypadek niecałko-

witych n za pomocą wzoru (E.2)

33

Związane są one z konfluentną funkcją hipergeometryczną wzorem

H

2n+σ

(z) = (−1)

n

(2n + σ)!

n!

(2z)

σ

F (−n;

1

/

2

+ σ; z

2

),

σ = 0 lub 1.

(F.2)

Wielomiany Hermite’a H

n

(x) stanowią układ ortogonalny na przedziale (−∞, ∞)

z wagą e

−x

2

:

+∞

Z

−∞

e

−x

2

H

n

(x) H

n

′

(x) dx = 2

n

n!

√

π δ

n,n

′

.

(F.3)

Słuszny jest wzór rekurencyjny

βzH

n

(βz) =

1

/

2

H

n+1

(βz) + nH

n−1

(βz).

(F.4)

Z równości (E.2) i (F.2) wynikają związki między wielomianami Hermite’a i Laguerre’a:

H

2n

(z) = (−4)

n

n! L

−

1

/

2

n

(z

2

),

H

2n+1

(z) = (−4)

n

n! 2z L

1

/

2

n

(z

2

).

(F.5)

Funkcje Hermite’a H

n

(z) definiuje się (np. [18]) jako

H

n

(z) =

e

−

1

/

2

z

2

H

n

(z)

q

2

n

n!

√

π

.

(F.6)

Stanowią one układ ortonormalny zupełny na całej osi rzeczywistej. Zgodnie z (F.3) mamy

+∞

Z

−∞

H

n

(βx) H

n

′

(βx) dx =

δ

n,n

′

β

.

(F.7)

Funkcje Hermite’a H

n

(βz) są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego zagad-

nienia własnego kwantowego oscylatora harmonicznego

"

d

2

dz

2

− β

2

z

2

+ (2n + 1)β

#

f(z) = 0.

(F.8)

Mnożąc (F.4) przez (2

n

n!

√

π)

−

1

/

2

e

−

1

/

2

z

2

otrzymujemy związek rekurencyjny

βzH

N

(βz) =

s

n + 1

2

H

n+1

(βz) +

r

n

2

H

n−1

(βz).

(F.9)

Korzystając z niego oraz z ortogonalności funkcji Hermite’a, obliczymy jeszcze jedną całkę:

+∞

Z

−∞

[xH

n

(βx)]

2

dx =

1

2β

2





(n + 1)

+∞

Z

−∞

[H

n+1

(βx)]

2

dx + n

+∞

Z

−∞

[H

n−1

(βx)]

2

dx





=

1

/

2

β

−2

[(n + 1)/β + n/β] = (n +

1

/

2

) β

−3

.

(F.10)

34

Skorzystamy teraz ze wzorów (E.6) i (F.5). Otrzymamy

L

0

n

(x

2

+ y

2

) = L

−

1

/

2

−

1

/

2

+1

n

(x

2

+ y

2

) =

n

X

k=0

L

−

1

/

2

k

(x

2

) L

−

1

/

2

n−k

(y

2

) =

=

n

X

k=0

(−1)

k

H

2k

(x) (−1)

n−k

H

2n−2k

(y)

k! 4

k

(n − k)! 4

n−k

=

1

n! (−4)

n

n

X

k=0

n
k

!

H

2k

(x) H

2n−2k

(y).

Jeżeli pomnożymy tę równość obustronnie przez e

−

1

/

2

(x

2

+y

2

)

, to, zgodnie z definicjami (E.7)

i (F.6), otrzymujemy

L

0

n

(x

2

+ y

2

) =

√

π

(−2)

n

n

X

k=0

q

(2k)! (2n − 2k)!

k! (n − k)!

H

2k

(x) H

2n−2k

(y).

(F.11)

G.

Metody macierzowe rozwiązywania jednowymia-
rowego równania Schr¨

odingera

Metody macierzowe rozwiązywania równania Schr¨odingera polegają na jego dyskrety-

zacji i sprowadzeniu do algebraicznego zagadnienia własnego.

Funkcję falową ψ(z) rozważamy na przedziale ha, bi. Nakładamy warunki brzegowe

ψ(a) = ψ(b) = 0,

(G.1)

które odpowiadają postawieniu nieskończonych barier potencjału w punktach a i b. W
tej sytuacji mamy wyłącznie stany związane. Przedział ha, bi dzielimy na N + 1 równych
podprzedziałów o długości

s =

b − a

N + 1

.

Funkcję falową ψ reprezentujemy za pomocą wektora

ψ = [ψ

1

, ψ

2

, . . . , ψ

N

]

T

,

którego składowymi są wartości funkcji ψ w kolejnych punktach siatki:

ψ

i

= ψ(z

i

), gdzie z

i

= a + is.

Zgodnie z warunkami (G.1),

ψ

0

= ψ

N +1

= 0.

(G.2)

Podobnie określamy na siatce potencjał: U

i

= U(z

i

).

Występujące w równaniu Schr¨odingera operatory różniczkowe przybliżamy za pomocą

różnic skończonych, a powstały układ równań po zapisaniu go w postaci macierzowej
stanowi zagadnienie na wartości i wektory własne pewnej macierzy H:

H

ψ =

e

εψ,

odpowiadające równaniu Schr¨odingera z hamiltonianem H:

Hψ = εψ.

35

Najniższe wartości własne

e

ε są związane z energiami kolejnych stanów związanych ε, a

odpowiadające im wektory ψ opisują funkcje falowe ψ tych stanów.

Weźmy równanie Schr¨odingera zapisane w postaci bezwymiarowej

"

−

d

2

dz

2

+ U(z)

#

ψ(z) = εψ(z).

(G.3)

Jeżeli przybliżymy występującą w równaniu (G.3) drugą pochodną trójpunktowym wzo-
rem różnicowym (jest to metoda trójpunktowa):

d

2

ψ

dz

2

!

z

i

=

ψ

i−1

− 2ψ

i

+ ψ

i+1

s

2

+ O(s

2

),

(G.4)

to otrzymamy układ N równań (i = 1, 2, . . . , N) odpowiadających punktom z

1

, z

2

, . . . , z

N

:

− ψ

i−1

+ (2 +

e

U

i

)ψ

i

− ψ

i+1

=

e

εψ

i

.

(G.5)

Wielkości

e

U

i

i

e

ε są związane z potencjałem i energią wzorami

e

U

i

= s

2

U

i

,

e

ε = s

2

ε.

Zapisując układ równań (G.5) w postaci macierzowej i uwzględniając warunki brze-

gowe (G.2), otrzymujemy Hψ =

e

εψ z macierzą postaci

H

=



















2 +

e

U

1

−1

0

· · ·

0

−1

2 +

e

U

2

−1

· · ·

0

0

−1

2 +

e

U

3

· · ·

0

...

. ..

...

0

· · ·

0

−1 2 +

e

U

N



















= trid(−1, 2 + U

i

, −1).

Jest to macierz symetryczna trójdiagonalna N ×N o niezerowych wszystkich wyrazach

pozadiagonalnych. Wiadomo, że macierz taka ma N różnych wartości własnych (wiadomo
także [12], iż wartości własne hamiltonianu w przypadku jednowymiarowym odpowiada-
jące stanom związanym są niezdegenerowane). Najniższe spośród wartości własnych H
odpowiadają energiom kolejnych stanów związanych.

Ponieważ nie interesują nas wszystkie wartości własne macierzy H, a wyznaczenie

wszystkich (zwykle N = 10

3

–10

4

) byłoby zbyt czasochłonne, wygodnie jest zastosować

metodę bisekcji pozwalającą na poszukiwanie tylko wartości własnych należących do za-
danego przedziału, a przy tym bardzo dokładną i stabilną numerycznie. Opiera się ona na
twierdzeniu Martina-Deana [19], które jest w uproszczonej formie przytoczone poniżej.

Niech H będzie macierzą rozmiaru N × N postaci

H

=



















a

1

b

2

0

· · ·

0

b

2

a

2

b

3

· · ·

0

0

b

3

a

3

· · ·

0

...

. .. ...

0

· · · 0 b

N

a

N



















.

(G.6)

36

Wówczas liczba wartości własnych macierzy (G.6) mniejszych od x jest równa
liczbie ujemnych wyrazów ciągu

u

1

= a

1

− x,

u

i

= a

i

− x −

b

2

i

u

i−1

dla i = 2, 3, . . . , N.

(G.7)

W przypadku metody Lindberga [20] posługujemy się przybliżeniem operatora drugiej

pochodnej za pomocą aproksymanty Pad´e:

d

2

ψ

dz

2

!

z

i

=

1

s

2

δ

2

1 + δ

2

/12

ψ

!

i

+ O(s

4

),

gdzie (δ

2

ψ)

i

= ψ

i−1

− 2ψ

i

+ ψ

i+1

. Otrzymujemy stąd układ N równań odpowiadających

punktom z

1

, z

2

, . . . , z

N

, który możemy zapisać w postaci uogólnionego macierzowego za-

gadnienia własnego

A

ψ

+

e

ε Mψ = 0,

(G.8)

gdzie A oraz M są macierzami trójdiagonalnymi:

A

= trid(1 −

s

2

12

U

i−1

, −2 −

10s

2

12

U

i−1

, 1 −

s

2

12

U

i+1

) = trid(b

i−1

, a

i

, b

i+1

)

M

= trid(1, 10, 1) = trid(β, α, β).

Liczba wartości własnych zagadnienia (G.8) mniejszych od x jest równa liczbie dodat-

nich wyrazów ciągu

d

1

= a

1

+ αx,

d

i

= a

i

+ αx −

(b

i

+ βx)(b

i−1

+ βx)

d

i−1

dla i = 2, 3, . . . , N.

(G.9)

Korzystając z ciągów (G.7) i (G.9) można łatwo wyznaczać wartości własne zdyskre-

tyzowanego równania Schr¨odingera przy użyciu metody bisekcji.

Sposoby wyznaczania wektorów własnych równania Schr¨odingera przedstawione są

m. in. w pracy [14].

Literatura

[1] W. Salejda, K. Ryczko, J. Misiewicz: Wpływ zewnętrznego pola elektrycznego na

widmo ekscytonowe w GaAs

, Raport PRE–163/96, Instytut Fizyki Politechniki Wro-

cławskiej, 1996.

[2] M. Shinada, S. Sugano: Interband Optical Transitions in Extremely Anisotropic Se-

miconductors. Bound and Unbound Exciton Absorption

, J. Phys. Soc. Japan 21, 1936

(1966).

[3] C. B. Duke, M. E. Alferieff: Solvable Model of Hydrogenic System in a Strong Electric

Field: Application to Optical Absorption in Semiconductors

, Phys. Rev. 145, 583

(1966).

37

[4] J. D. Dow, D. Redfield: Electroabsorption in Semiconductors: The Excitonic Absorp-

tion Edge

, Phys. Rev. B 1, 3358 (1970).

[5] D. F. Blossey: Wannier Exciton in an Electric Field. I. Optical Absorption by Bound

and Continuum States

, Phys. Rev. B 2, 3976 (1970).

[6] D. F. Blossey: Wannier Exciton in an Electric Field. II. Electroabsorption in Direct-

-Band-Gap Solids

, Phys. Rev. B 3, 1382 (1971).

[7] E. I. Raszba, M. D. Sturge: Eksitony, Nauka, Moskwa 1985.

[8] F. L. Lederman, J. D. Dow: Theory of electroabsorption by anisotropic and layered

semiconductors. I. Two-dimensional exciton in a uniform electric field

, Phys. Rev.

B 13

, 1633 (1976).

[9] G. Bastard: Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures, Les Edi-

tions de Physique, Les Ulis Cedex 1988.

[10] R. P. Leavitt, J. W. Little: Simple method for calculating exciton binding energy in

quantum-confined semiconductor structures

, Phys. Rev. B 42, 11774 (1990).

[11] W. L. Boncz-Brujewicz, S. G. Kałasznikow: Fizyka półprzewodników, PWN, War-

szawa 1985.

[12] L. D. Landau, E. M. Lifszic: Mechanika kwantowa. Teoria nierelatywistyczna, PWN,

Warszawa 1958.

[13] I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kamiński: Teoria kwantów. Mechanika falowa,

PWN, Warszawa 1991.

[14] M. Tyc, J. Andrzejewski, W. Salejda, M. Kubisa, K. Ryczko, M. Just: Ma-

cierzowe metody numerycznego rozwiązywania równania masy efektywnej

, Raport

SPR–331/98, Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej, 1998.

[15] W. Salejda, M. Tyc: Dwu- i trójwymiarowy ekscyton w zewnętrznym stałym polu

elektrycznym. I. Wyprowadzenie podstawowych formuł

, Raport SPR–312/97, Instytut

Fizyki Politechniki Wrocławskiej, 1997.

[16] E. Madelung: Matiematiczeskij apparat fiziki, FIZMATGIZ, Moskwa 1961.

[17] M. Abramowitz, I. A. Stegun: Sprawocznik po specialnym funkcijam s formułami,

grafikami i matiematiczeskimi tablicami

, Nauka, Moskwa 1979.

[18] W. I. Smirnow: Matematyka wyższa, t. III, PWN, Warszawa 1965.

[19] P. Dean: The vibrational spectra of disordered systems. Numerical results, Rev. Mod.

Phys. 44, 127 (1972).

[20] B. Lindberg: A new efficient method for calculation of energy eigenvalues and eigen-

states of the one-dimensional Schr¨

odinger equation

J. Chem. Phys. 88, 3805 (1988).

38