MIARA LEBESGUE’A

Oznaczenia i de…nicje.

k

lub

- miara zewn ¾

etrzna Lebesgue’a w R

k

,

k

lub

- miara Lebesgue’a w R

k

,

S

k

- rodzina ( -cia÷

o) zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a w R

k

,

N

k

=

fA 2 S

k

:

k

(A) = 0

g - rodzina zbiorów miary Lebesgue’a zero w R

k

.

Niech A

R

k

. Mówimy, ·

ze zbiór L jest mierzaln ¾

a otoczk ¾

a

zbioru A je·

zeli A

L

,

L

2 S

k

oraz dowolny mierzalny podzbiór zbioru L n A jest miary zero. Zbiór K nazywamy

mierzalnym j ¾

adrem

zbioru A je·

zeli K

A

, K 2 S

k

oraz dowolny mierzalny podzbiór

zbioru A n K jest miary zero.

Zadanie 3.1.

Udowodni´c, ·

ze dowolnego zbioru A

R

k

:

(1)

k

(A) = inf

f

P

1
n=1

vol P

n

: (P

n

)

- ci ¾

ag przedzia÷

ów otwartych taki, ·

ze A

S

1
n=1

P

n

g.

(2)

k

(A) = inf

f

P

1
n=1

vol P

n

: (P

n

)

- ci ¾

ag przedzia÷

ów taki, ·

ze A

S

1
n=1

P

n

g.

Uwaga : Dla uproszczenie rachunków mo·

zna ograniczy´c si ¾

e do rozwi ¾

azania w przypadku

k = 1

lub k = 2.

Zadanie 3.2.

Udowodni´c, ·

ze je·

zeli A

R

k

i jAj

@

0

, to A 2 S

k

oraz

k

(A) = 0

(dowolny

zbiór przeliczalny jest miary Lebesgue’a zero).

Zadanie 3.3.

Udowodni´c, ·

ze rodzina N

k

zbiorów miary Lebesgue’a zero jest

-idea÷

em,

tzn.

a) je·

zeli A

1

; A

2

; : : :

2 N

k

, to

S

1
n=1

A

n

2 N

k

,

b) je·

zeli A 2 N

k

i B

A

, to B 2 N

k

.

Zadanie 3.4.

Obliczy´c

1

(A)

gdy

(1) A = N.
(2) A = Q.
(3) A = [0; 1] \ Q.
(4) A = R n Q.
(5) A = [0; 1] n Q.

Zadanie 3.5.

Pokaza´c, ·

ze

2

(A) = 0

(nie korzystaj ¾

ac z Zasady Cavalieriego i Twierdzenia

Fubiniego), gdy

(1) A = Q

Q.

(2) A = [0; 2]

f0g.

(3) A = R

f0g.

(4) A = R

Q.

(5) A = f(x; x) : x 2 [0; 2]g.
(6) A = f(x; ax + b) : x 2 [0; 2]g ; gdzie a; b 2 R.

1

MIARA LEBESGUE’A

2

(7) A = f(x; x) : x 2 Rg.
(8) A = f(x; ax + b) : x 2 Rg gdzie a; b 2 R.
(9) A = f(x; x

2

) : x

2 Rg.

Zadanie 3.6.

Obliczy´c

2

(A)

dla A = f(x; y) : x

0; y

0; x + y

0

g (nie korzystaj ¾

ac z

Zasady Cavalieriego i Twierdzenia Fubiniego).

Zadanie 3.7.

Niech A

R

k

. Udowodni´c, ·

ze nast ¾

epuj ¾

ace warunki s ¾

a równowa·

zne:

(1) A 2 S

k

,

(2) 8

">0

9

F 2F

9

G2G

(F

A

G

^ (G n F ) < "),

(3) 9

H2F

9

K2G

(H

A

K

^ (K n H) = 0).

Zadanie 3.8.

Udowodni´c, ·

ze dla dowolnego A 2 S

k

:

(1)

(A) = inf

f (G) : A

G

^ G - otwartyg.

(2)

(A) = sup

f (F ) : F

A

^ F - domkni¾

etyg.

(3)

(A) = sup

f (F ) : F

A

^ F - zwartyg.

Zadanie 3.9.

Udowodni´c, ·

ze S

k

=

B R

k

[ N

k

:

Zadanie 3.10.

Niech A

R

k

b ¾

edzie zbiorem ograniczonym. Udowodni´c, ·

ze nast ¾

epuj ¾

ace

warunki s ¾

a równowa·

zne:

(1) A 2 S

k

;

(2) 8

">0

9

G2G

(A

G

^ (G) <

(A) + ") ;

(3) 9

K2G

(A

K

^

(A) =

(K)) ;

(4) 8

">0

9

F 2F

(F

A

^

(A) <

(F ) + ") ;

(5) 9

H2F

(H

A

^

(A) =

(H)) ;

(6) 8

">0

9

F 2F

9

G2G

(F

A

G

^ (G) < (F ) + ") ;

(7) 9

H2F

9

K2G

(H

A

K

^ (H) = (K)) :

Zadanie 3.11.

Udowodni´c, ·

ze dla dowolnego zbioru A

R

k

:

(1)

(A) = inf

f (E) : A

E

^ E 2 S

k

g.

(2)

(A) = inf

f (G) : A

G

^ G 2 Gg.

Zadanie 3.12.

Udowodni´c, ·

ze miara zewn ¾

etrzna Lebesgue’a w R (R

k

) nie jest addytywna

(a wi ¾

ec nie jest miar ¾

a).

Zadanie 3.13.

Dla dowolnego zbioru A

R

k

przyjmijmy

(A) = sup

f (E) : E

A

^ E 2 S

k

g :

Funkcj ¾

e

nazywamy miar ¾

a wewn ¾

etrzn ¾

a Lebesgue’a

(w R

k

). Udowodni´c, ·

ze dla dowol-

nych zbiorów A; B; A

n

R

k

(n 2 N):

(1) Je·

zeli A

B

, to

(A)

(B)

.

(2) Je·

zeli (A

n

)

n2N

jest ci ¾

agiem zbiorów parami roz÷¾

acznych i A =

S

1
n=1

A

n

, to

(A)

P

1
n=1

(A

n

)

.

(3)

(A) = sup

f (F ) : F

A

^ F - domkni¾

etyg.

MIARA LEBESGUE’A

3

(4)

(A)

(A)

.

(5) Je·

zeli A 2 S

k

, to

(A) =

(A) =

(A)

.

(6) Je·

zeli A

B

i B 2 S

k

, to

(A) +

(B

n A) = (B).

(7) Zbiór ograniczony A jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy

(A) =

(A)

.

Zadanie 3.14.

Niech A; B; C

R

k

. Udowodni´c, ·

ze:

(1) Je·

zeli A \ B = ;, A =

2 S

k

i B 2 S

k

, to A [ B =

2 S

k

.

(2) Je·

zeli A

B

, A =

2 S

k

i B 2 S

k

, to B n A =

2 S

k

.

(3) Je·

zeli A

B

, A =

2 S

k

, B 2 S

k

i B \ C = ;, to A [ C =

2 S

k

.

(4) Je·

zeli A =

2 S

k

, B 2 S

k

i

(B) = 0

, to A [ B =

2 S

k

i A n B =

2 S

k

.

(5) Rozstrzygn ¾

a´c czy suma roz÷¾

acznych zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue’a musi

(mo·

ze) by´c zbiorem niemierzalnym.

Zadanie 3.15.

Niech V

[0; 1]

b ¾

edzie zbiorem niemierzalnym w sensie Lebesgue’a (np.

V

- zbiór Vitaliego). Rozstrzygn ¾

a´c, czy nast ¾

epuj ¾

ace zbiory musz ¾

a by´c niemierzalne:

(1) [0; 1] n V .
(2) V [ [1; 2].
(3) V [ A, gdzie A

[0; 1]

.

(4) V [ A, gdzie A

[1; 2]

.

Zadanie 3.16.

Niech A

R

k

. Udowodni´c, ·

ze:

(1) Je·

zeli A 2 S

k

, to A jest swoj ¾

a mierzaln ¾

a otoczk ¾

a.

(2) Je·

zeli L jest mierzaln ¾

a otoczk ¾

a zbioru A i N 2 N

k

, to L [ N jest mierzaln ¾

a otoczk ¾

a

A

. Wywnioskowa´c st ¾

ad, ·

ze nie istnieje najwi ¾

eksza (w sensie zawierania) mierzalna

otoczka zbioru A.

(3) Je·

zeli A =

2 S

k

, to nie istnieje najmniejsza (w sensie zawierania) mierzalna otoczka

zbioru A.

(4) Je·

zeli L

1

; L

2

s ¾

a mierzalnymi otoczkami zbioru A, to L

1

[L

2

i L

1

\L

2

te·

z s ¾

a mierzalnymi

otoczkami A.

(5) Je·

zeli L jest mierzaln ¾

a otoczk ¾

a zbioru A, to

(L) =

(A)

.

Zadanie 3.17.

Niech A

R

k

. Udowodni´c, ·

ze:

(1) Je·

zeli A 2 S

k

, to A jest swoim mierzalnym j ¾

adrem.

(2) Je·

zeli K jest mierzalnym j ¾

adrem zbioru A i N 2 N

k

, to K n N jest mierzalnym j ¾

adrem

A

. Wywnioskowa´c st ¾

ad, ·

ze nie istnieje najmniejsze (w sensie zawierania) mierzalne

j ¾

adro zbioru A.

(3) Je·

zeli A =

2 S

k

, to nie istnieje najwi ¾

eksze (w sensie zawierania) mierzalne j ¾

adro zbioru

A

.

(4) Je·

zeli K

1

; K

2

s ¾

a mierzalnymi j ¾

adrami zbioru A, to K

1

[K

2

i K

1

\K

2

te·

z s ¾

a mierzalnymi

j ¾

adrami A.

(5) Je·

zeli K jest mierzalnym j ¾

adrem zbioru A, to

(K) =

(A)

.

MIARA LEBESGUE’A

4

Zadanie 3.18.

Niech A

R

k

oraz K b ¾

edzie mierzalnym j ¾

adrem, a L mierzaln ¾

a otoczk ¾

a

zbioru A. Udowodni´c, ·

ze zbiór A jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy

(L

n K) = 0.

Zadanie 3.19.

Niech A

R

k

. Udowodni´c, ·

ze zbiór L jest mierzaln ¾

a otoczk ¾

a A wtedy i

tylko wtedy, gdy R

k

n L jest mierzalnym j ¾

adrem R

k

n A.

Zadanie 3.20.

Niech A b ¾

edzie rodzin ¾

a parami roz÷¾

acznych zbiorów mierzalnych w sensie

Lebesgue’a, miary dodatniej (tzn. A

S

k

n L

k

). Udowodni´c, ·

ze jAj

@

0

.

Wskazówka

. Za÷

o·

zy´c nie wprost, ·

ze jAj > @

0

. Wywnioskowa´c st ¾

ad, ·

ze rodzina A zawiera

nieprzeliczaln ¾

a podrodzin ¾

e z÷

o·

zon ¾

a ze zbiorów zawartych w przedziale postaci [n; n + 1], a ta

zawiera nieprzeliczalnie wiele zbiorów miary wi ¾

ekszej ni·

z pewna liczba dodatnia ". Uzyska´c

sprzeczno´s´c z przeliczaln ¾

a addytywno´sci ¾

a miary.

Zadanie 3.21.

Udowodni´c, ·

ze dowolny zbiór A

R

k

posiada mierzalne j ¾

adro.

Wskazówka

. Przy pomocy indukcji pozasko´nczonej zde…niujmy ci ¾

ag (K )

<!

1

. Przyjmi-

jmy K

0

=

;. Niech

< !

. Za÷

ó·

zmy, ·

ze zde…niowali´smy ju·

z parami roz÷¾

aczne zbiory mierzalne

K

dla wszystkich

<

. Je·

zeli zbiór A n

S

<

K

zawiera pewien zbiór mierzalny miary

dodatniej, to za K

przyjmujemy którykolwiek zbiór o tej w÷

asno´sci, w przeciwnym razie

k÷

adziemy K = ;. Pokaza´c, ·

ze

(1) Ci ¾

ag (K )

<!

1

sk÷

ada si ¾

e z parami roz÷¾

acznych zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a.

(2) Istnieje liczba porz ¾

adkowa

0

< !

1

taka, ·

ze K = ; gdy

0

< !

1

.

(3) Zbiór K =

S

<

0

K

jest mierzalnym j ¾

adrem zbioru A.

Zadanie 3.22.

Pokaza´c, ·

ze ka·

zdy zbiór A

R

k

posiada mierzaln ¾

a otoczk¾

e.

Zadanie 3.23.

Udowodni´c, ·

ze miara zewn ¾

etrzna Lebesgue’a

i miara wewn ¾

etrzna

Lebesgue’a

s ¾

a niezmiennicze ze wzgl ¾

edu na translacje, tzn. dla dowolnego A

R

k

i

dowolnego x 2 R

k

(x + A) =

(A)

i

(x + A) =

(A)

.

Uwaga

: Pierwsza równo´s´c zosta÷

a pokazana w dowodzie twierdzenia o niezmienniczo´sci miary

Lebesgue’a wzgl ¾

edem translacji.

Zadanie 3.24.

[trudne] Rozwa·

zmy przestrze´n liniow ¾

a (wektorow ¾

a) R nad cia÷em Q liczb

wymiernych. Ka·

zd ¾

a baz ¾

e tej przestrzeni nazywamy baz ¾

a Hamela

. Z twierdzenia o uzu-

pe÷

nianiu uk÷

adu liniowo niezale·

znego do bazy wynika, ·

ze istnieje baza Hamela B taka, ·

ze

1

2 B. Oznaczmy A = B n f1g i przyjmijmy W = lin A (tzn. W jest podprzestrzeni ¾

a liniow ¾

a

rozpi ¾

et ¾

a na zbiorze A). Udowodni´c, ·

ze zbiór W jest niemierzalny w sensie Lebesgue’a oraz ;

jest jego mierzalnym j ¾

adrem, za´s R mierzaln ¾

a otoczk ¾

a.

Zadanie 3.25.

Odejmimy od przedzia÷

u [0; 1] koncentryczny z nim przedzia÷otwarty o

d÷

ugo´sci

1
3

, czyli przedzia÷

1
3

;

2
3

. Otrzymali´smy w ten sposób zbiór 0;

1
3

[

2
3

; 1

b ¾

ed ¾

acy

sum ¾

a dwóch przedzia÷

ów domkni ¾

etych. Oznaczmy te przedzia÷

y I

0

=

0;

1
3

, I

1

=

2
3

; 1

oraz zde…niujmy koncentryczne z nimi trzy razy krótsze przedzia÷

y otwarte P

0

=

1
9

;

2
9

,

P

1

=

7
9

;

8
9

. Ka·

zdy ze zbiorów I

0

n P

0

i I

1

n P

1

jest sum ¾

a dwóch przedzia÷

ów domkni ¾

etych

I

00

= 0;

1
9

, I

01

=

2
9

;

1
3

oraz I

10

=

2
3

;

7
9

, I

11

=

8
9

; 1

. Koncentryczne z tymi przedzia÷

ami,

MIARA LEBESGUE’A

5

trzy razy krótsze przedzia÷

y otwarte oznaczmy P

00

, P

01

, P

10

, P

11

. Konstrukcj ¾

e kontynuujemy

indukcyjnie, tzn. je´sli dla liczby naturalnej n i n-elementowego ci ¾

agu zer i jedynek (t

1

; : : : ; t

n

)

zde…niowali´smy ju·

z przedzia÷domkni ¾

ety I

t

1

:::t

n

oraz koncentryczny z nim trzy razy krótszy

przedzia÷otwarty P

t

1

:::t

n

to jako I

t

1

:::t

n

0

i I

t

1

:::t

n

1

przyjmujemy, odpowiednio "lew ¾

a" i "praw ¾

a"

sk÷

adow ¾

a zbioru I

t

1

:::t

n

n P

t

1

:::t

n

, za´s jako P

t

1

:::t

n

0

i P

t

1

:::t

n

1

koncentryczne, trzy razy krótsze

przedzia÷

y otwarte. Z twierdzenia o de…niowaniu przez indukcj ¾

e wynika, ·

ze zde…niowali´smy w

ten sposób przedzia÷

y I

t

1

:::t

n

i P

t

1

:::t

n

dla dowolnego sko´nczonego ci ¾

agu zer i jedynek (t

1

; : : : ; t

n

)

.

Oznaczmy przez C

n

sum ¾

e przedzia÷

ów domkni ¾

etych otrzymanych w n-tym kroku: C

1

=

I

0

[ I

1

= 0;

1
3

[

2
3

; 1

, C

2

= I

00

[ I

01

[ I

10

[ I

11

= 0;

1
9

[

2
9

;

1
3

[

2
3

;

7
9

[

8
9

; 1

i ogólnie

C

n

=

S

(t

1

;:::;t

n

)2f0;1g

n

I

t

1

:::t

n

oraz przyjmijmy

C =

1

\

n=1

C

n

:

Zbiór C nazywamy zbiorem Cantora. Udowodni´c, ·

ze

(1) Ci ¾

ag (C

n

)

jest zst ¾

epuj ¾

acy, zbiory C

n

s ¾

a domkni ¾

ete oraz

(C

n

) =

2
3

n

.

(2) Zbiór Cantora jest niepustym zbiorem domkni ¾

etym i brzegowym (a wi ¾

ec nigdzieg ¾

estym).

(3)

(C) = 0

.

(4) Dla dowolnego x 2 [0; 1] i dowolnego zero-jedynkowego ci ¾

agu niesko´nczonego (t

n

)

n2N

,

x =

P

1
n=1

2t

n

3

n

wtedy i tylko wtedy, gdy x 2 I

t

1

:::t

n

dla n 2 N. Wywnioskowa´c st ¾

ad, ·

ze

C =

(

x

2 [0; 1] : 9

(t

n

)2f0;1g

N

x =

1

X

n=1

2t

n

3

n

)

,

czyli zbiór Cantora sk÷

ada si ¾

e z punktów, które posiadaj ¾

a rozwini ¾

ecie trójkowe z÷

o·

zone

tylko z zer i dwójek.

Uwaga: Niektóre liczby z przedzia÷

u [0; 1] maj ¾

a dwa ró·

zne rozwini ¾

ecia trójkowe, np.

1
3

= 0; 1000 : : : = 0; 0222 : : :

.

(5) Zbiór Cantora ma moc continuum (jCj = c = 2

@

0

).

Zadanie 3.26.

Udowodni´c, ·

ze jS

1

j = 2 > c oraz jB (R)j = c. Wywnioskowa´c st ¾

ad, ·

ze

istnieje mierzalny w sensie Lebesgue’a podzbiór prostej, który nie jest borelowski. Uogólni´c
w÷

asno´s´c na przestrze´n R

k

, tzn. pokaza´c, ·

ze jS

k

j = 2 > c oraz B R

k

=

c dla k 2 N.

Wskazówka

. Rozwa·

zy´c wszystkie podzbiory zbioru Cantora oraz skorzysta´c z zada´n 1.7.6 i

1.8.