ELEMENTY TEORII ZBIORÓW ROZMYTYCH
OPRACOWAŁ: M. KWIESIELEWICZ
POJĘCIA NIEPRECYZYJNE
ODDZIAŁYWANIA CZŁOWIEK-OBIEKT TECHNICZNY
OTOCZENIE (Hoang 1990):
· człowieka na otoczenie, np.: ergonomiczna konstrukcja
otoczenia,
· otoczenia na człowieka, np.: temperatura, skład powietrza,
· człowieka na obiekt, np.: doświadczenie w obsłudze,
· obiektu na człowieka, np.: złożoność obiektu, wyposażenie
techniczne,
· otoczenia na obiekt, np.: warunki klimatyczne,
· obiektu na otoczenie, np.: chałas, emisja substancji
szkodliwych.
KATEGORIE SUBIEKTYWNE
Przykłady zmiennych lingwistycznych:
•
“niska temperatura”, “wysoka temperatura”,
•
“wysoki poziom chałasu”, “niski poziom chałasu”.
Czynnik ludzki
•
ryzyko, zmęczenie, poziom stresu, itd.
Podstawy teoretyczne modelowania człowiek - obiekt techniczny z
zastosowaniem teorii zbiorów rozmytych
Podstawowe pojęcia z zakresu teorii zbiorów rozmytych
Niech X będzie zbiorem obiektów, zwanym przestrzenią rozważań.
Dowolny element ze zbioru X oznaczmy przez x . Załóżmy ponadto
że przynależność elementu x do podzbioru A zbioru X określona jest
za pomocą funkcji przynależności
[ ]
µ
A
X
:
,
→
0 1
. Zbiór rozmyty A
zdefiniowany jest następująco (Zadeh 1965):
( )
(
)
{
}
A
x
x
x
X
A
=
∈
,
,
µ
Notacja:
( )
A
x
x
A
x X
=
∈
∑
µ
/
( )
A
x
x
A
i
i
i
n
=
=
∑
µ
/
1
Przykład:
Zbiór rozmyty “mała liczba naturalna” określony w przestrzeni
rozważań
{
}
X
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
, , , , , , , , ,
:
“mała liczba naturalna”
= 1 / 1 + 0.9 / 2 + 0.8 / 3 + 0.7 / 4 + 0.5 / 5 + 0.1 / 6
Interpretacja graficzna:
0
50
1
(x)
µ
niska
wysoka
Rys.2. Funkcje charakterystyczne
zbiorów "temperatura niska"
w sensie logiki klasycznej.
t [
°C]
temperatura temperatura
i "temperatura wysoka"
0
50
1
(x)
µ
niska
wysoka
Rys.3.Funkcje charakterystyczne
zbiorów "temperatura niska"
w sensie logiki rozmytej.
t [
°C]
temperatura temperatura
i "temperatura wysoka"
Podstawowe operacje na zbiorach rozmytych zdefiniowane są
następująco (Zadeh 1965, Kacprzyk 1986)
· suma zbiorów rozmytych A i B:
( )
( ) ( )
{
}
µ
µ
µ
A B
A
B
x
x
x
∪
=
max
,
,
· przecięcie zbiorów rozmytych A i B:
( )
( ) ( )
{
}
µ
µ
µ
A B
A
B
x
x
x
∩
=
min
,
· negacja zbioru rozmytego A:
( )
( )
µ
µ
¬
= −
A
A
x
x
1
,
· iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych A i B (są one
zdefiniowane na różnych przestrzeniach rozważań):
(
)
( )
(
)
{
}
µ
µ
µ
C A B
A
B
x y
x
y
= ×
=
,
min
,
0
50
1
(x)
µ
niska
wysoka
Rys.4. Interpretacja graficzna
sumy zbiorów rozmytych
"temperatura niska"
t [
°C]
temperatura temperatura
lub "temperatura wysoka"
0
50
1
(x)
µ
niska
wysoka
Rys.5. Interpretacja graficzna
iloczynu zbiorów rozmytych
"temperatura niska"
t [
°C]
temperatura temperatura
i "temperatura wysoka"
Przykład:
A
=
+
+
+
+
+
0 6 1 0 4 2 0 3 3 0 8 4 0 5 5 1 6
. /
. /
. /
. /
. /
/
{
}
X
=
1 2 3 4 5 6
, , , , ,
B
=
+
+
+
+
+
0 8 1 0 3 2 1 3 1 4 0 4 5 0 9 6
. /
. /
/
/
. /
. /
{
}
Y
=
1 2 3 4 5 6
, , , , ,
.
Iloczyn kartezjański:
Y
A B
X
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
0 6 0 3 0 6 0 6 0 4
0 6
0 4 0 3 0 4 0 4 0 4
0 4
0 3 0 3 0 3 0 3 0 3
0 3
0 8 0 3 0 8 0 8 0 4
0 8
0 5 0 3 0 5 0 5 0 4 0 5
0 8 0 3
1
1
0 4
0 9
× =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
/
.
.
.
.
Definicja.
α
- przekrojem zbioru rozmytego A
⊂
~
X, oznaczonym A
α
,
nazywamy następujący zbiór nierozmyty:
A
α
= { x
∈
X :
µ
A
( x )
≥
α
},
∀α
∈
[0, 1]
Interpretacja graficzna
α
- przekroju została przedstawiona na rysunku
4:
Rys.6. Interpretacja graficzna
α
- przekroju
Twierdzenie o dekompozycji Każdy zbiór rozmyty A
⊂
~
X, można
przedstawić w postaci:
A =
α ∈
∑
[ , ]
0 1
α
A
α
,
przy czym
α
A
α
oznacza zbiór rozmyty, którego elementom przypisano
następujące stopnie przynależności:
µ
α
α
A
(x) =
α
α
α
dla x
A
dla x
A
∈
∉
0
Definicja Nośnikiem zbioru rozmytego A
⊂
~
X, oznaczanym
S
A
nazywamy następujący zbiór nierozmyty:
S
A
= { x
∈
X :
µ
A
( x ) > 0 }
Rozmyty system ekspertowy
Uogólnioną rozmytą regułę wnioskowania modus ponens, można
przedstawić przy pomocy następującego schematu (Dubois and Prade
1988, Kacprzyk 1986):
(
)
I P
Q
P P
W P
P
Q
:
:
:
′ ⇒
− − − − − − − − −
′ ⇒
!
,
gdzie: "
!
" jest złożeniem typu max-min, I jest implikacją
lingwistyczną, P przesłanką lingwistyczną, W wnioskiem z
rozumowania rozmytego. Implikacja rozmyta może być zdefiniowana
na różne sposoby (Kacprzyk 1986, Mizumoto 1988). W niniejszej
pracy przyjęto iloczyn kartezjański (7) (metoda Zadeha i Mamdaniego
(Zadeh 1973,1992)).
Rozmyty
System
Ekspercki
u
1
u
2
y
Rys.7. Schemat blokowy systemu eksperckiego.
W trakcie syntezy systemu eksperckiego występują następujące
zadania do wykonania:
•
wybór wielkości wejściowych i wyjściowych systemu,
•
dyskretyzacja przestrzeni rozważań dla wielkości wejściowych i
wyjściowych,
•
ustalenie reguł wnioskowania,
•
wybór odpowiedniej metody wnioskowania,
•
zastosowanie odpowiedniej metody wyostrzania w przypadku,
kiedy oczekujemy zmiennej decyzyjnej rzeczywistej,
•
realizacja systemu eksperckiego w wybranym środowisku
programowym.
REGUŁY
1. If is
and is
then is
2. If is
and is
then is
If is
and is
then is
If is
and is
then is
u
low
u
low
y
low
u
low
u
high
y
low
u
high
u
low
y
high
u
high
u
high
y
high
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
.
.
,
DYSKRETYZACJA
low
high
0
10
u
1
1
µ
u
1
( )
low
high
0
10
u
2
1
µ
u
2
( )
low
high
0
10
1
µ
)
(y
y
Rys.8. Dyskretyzacja przestrzeni rozważań dla zmiennych
wejściowych i zmiennej wyjściowej.
low
0
10
u
1
1
µ
u
1
( )
low
0
10
u
2
1
µ
u
2
( )
y
0.7
0.5
3
5
low
0
10
1
µ
)
(y
0.5
0.5=min(0.7,0.5)
Rys.9. Rozmyte wnioskowanie dla reguły 1.
low
0
10
u
1
1
µ
u
1
( )
high
0
10
u
2
1
µ
u
2
( )
low
0
10
1
µ
)
(y
y
0.7
3
0.5
5
0.5
0.5=min(0.7,0.5)
Rys.10. Rozmyte wnioskowanie dla reguły 2.
low
0
10
u
1
1
µ
u
1
( )
high
0
10
u
2
1
µ
u
2
( )
0
10
1
µ
)
(y
y
0.3
3
0.5
5
0.3
0.3=min(0.3,0.5)
high
Rys.11. Rozmyte wnioskowanie dla reguły 3.
high
0
10
u
1
1
µ
u
1
( )
high
0
10
u
2
1
µ
u
2
( )
0.3
3
0.5
5
high
0
10
1
µ
)
(y
y
0.3
0.3=min(0.3,0.5)
Rys.12. Rozmyte wnioskowanie dla reguły 4.
0
10
1
µ
)
(y
y
0.3
0.5
y
w
max
Rys.13. Składanie wyniku.
Operacje na liczbach rozmytych
Wprowadźmy definicję liczby rozmytej (Zadeh 1965).
Definicja. Liczbą rozmytą A nazywamy zbiór rozmyty określony na
zbiorze liczb rzeczywistych R co zapisujemy:
A
⊂
~
R.,
µ
A
: R
→
[0,1]
Podstawowe operacje na liczbach rozmytych można zdefiniować
stosując zasadę rozszerzania (Zadeh 1965):
Definicja. Niech dana będzie pewna operacja dwuargumentowa na
liczbach rzeczywistych:
*: R
×
R
→
R
Ponadto, niech A i B będą liczbami rozmytymi A, B
⊂
~
R, wtedy
operację ‘*‘ można rozszerzyć na argumenty rozmyte A i B w
następujący sposób:
( )
( ) ( )
{
}
=
min
µ
µ
µ
C
A
B
z
x
y
x y
z
sup
,
*
=
Dla operacji jednoargumentowych zasada rozszerzania sprowadza
się do postaci:
( )
( )
( )
µ
µ
C
A
z
x
z
f x
=
=
max
Dodawanie:
( )
( ) ( )
{
}
=
min
µ
µ
µ
C
A
B
z
x
y
x
y
z
sup
,
+ =
( ) (
)
{
}
=
−
sup
,
.
min
µ
µ
A
B
x
z x
x
Jest to szczególny przypadek splotu.
LICZBY ROZMYTE W REPREZENTACJI LR
Spłaszczona liczba rozmyta (ogólnienie przedziału rozmytego)
(
)
M
m m
LR
=
, , ,
α β
,
gdzie m i m są odpowiednio dolną i górną wartością modalną liczby
rozmytej M, natomiast
α
β
są odpowiednio jej dolnym i górnym
rozrzutem.
Funkcja przynależności zdefiniowana jest następująco:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
µ
α
α
β
β
M
x
L m x
dla x
m
dla m x
m
R x m
dla x
m
=
−
≤
>
< <
−
≥
>
,
,
0
1
0
0
w pozostałych przypadkach
Przypadki szczególne:
•
liczba rzeczywistą m jeśli
(
)
M
m m
LR
=
, , ,
0 0
,
•
przedział liczbowy [a,b] jeśli
(
)
M
a b
LR
=
, , ,
0 0
,
•
liczbę rozmytą
(
)
M
m m
LR
=
, , ,
α β
,
•
formę trapezoidalną i trójkątną liczbę rozmytą jeśli zastosujemy
następującą funkcję
( )
( )
(
)
L u
R u
u
=
=
−
max ,
0 1
odpowiednio dla
przedziału rozmytego M i dla liczby rozmytej M.
Podstawowe operacje algebraiczne dotyczące przedziałów rozmytych
opisane są w pracach (Dubois and Prade 1979a, 1979b, 1980, 1988):
Dodawanie
(
)
(
)
(
)
a b
c d
a c b d
LR
LR
LR
, , ,
, , ,
,
,
,
α β
γ δ
α γ β δ
⊕
=
+
+
+
+
.
Odejmowanie
(
)
a b
LR
, , ,
α β
(
)
(
)
c d
a d b c
RL
LR
, , ,
,
,
,
γ δ
α δ β γ
=
−
−
+
+
.
Mnożenie (dla dodatnich przedziałów rozmytych)
(
)
(
)
(
)
a b
c d
ac bd c
a d
b
LR
LR
LR
, , ,
, , ,
,
,
,
α β
γ δ
α
γ β
δ
⊗
=
+
+
.
Laarhoven and Pedrycz (1983) proponują inną notację dla trójkątnej
liczby rozmytej. Z powodzeniem można ją zastosować dla formy
trapezoidalnej:
(
)
M
l m m u
=
, , ,
gdzie m i m są odpowiednio dolną i górną wartośćią modalną formy
trapezoidalnej M, natomiast l oraz u są odpowiednio jej dolną i górną
wartością. Funkcja przynależności zdefiniowana jest następująco:
( )
µ
M
x
m l
x
l
m l
dla l
x
m
dla m x
m
m u
x
u
m u
dla m x u
=
−
−
−
≤ ≤
< <
−
−
−
≤ ≤
1
1
1
0
w pozostałych przypadkach
,
Podstawowe opearcje algebraiczne będą zdefiniowane następująco:
Dodawanie
(
) (
) (
)
l m m u
l m m u
l
l m
m m
m u
u
a
a
a
a
b
b
b
b
a
b
a
b
a
b
a
b
,
,
,
,
,
,
,
,
,
⊕
=
+
+
+
+
.
Odejmowanie
(
)
l m m u
a
a
a
a
,
,
,
(
) (
)
l m m u
l
u m
m m
m u
l
a
a
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
,
,
,
,
,
,
=
−
−
−
−
.
Mnożenie (dla dodatnich form trapezoidalnych)
(
) (
) (
)
l m m u
l m m u
l l m m m m u u
a
a
a
a
b
b
b
b
a b
a
b
a
b
a b
,
,
,
,
,
,
,
,
,
⊗
=
Podstawowe operacje algebraiczne dla przedziałów liczbowych
zdefiniowane są następująco (Moore 1966):
Dodawanie
[
] [
] [
]
l u
l u
l
l u
u
a
a
b
b
a
b
a
b
,
,
,
⊕
=
+
+
.
Odejmowanie
[
]
l u
a
a
,
[
] [
]
l u
l
u u
l
a
a
a
b
a
b
,
,
=
−
−
.
Mnożenie (dla dodatnich przedziałów liczbowych)
[
] [
] [
]
l u
l u
l l u u
a
a
b
b
a b
a b
,
,
,
⊗
=
Nguyen (1978) udowodnił, że dla podstawowych operacji
algebraicznych na liczbach rozmytych tzn. dla dodawania,
odejmowania, mnożenia i dzielenia równoważnym z zasadą
rozszerzania jest następujący algorytm:
•
rozłożyć dane liczby rozmyte na skończoną liczbę
α
- przekrojów w
wyniku dla każdej liczby rozmytej otrzymamy taką samą skończoną
liczbę przedziałow liczbowych,
•
wykonać operacje algebraiczne dla każdego
α
- przekroju oddzielnie
korzystając z arytmetyki przedziałowej
•
złożyć wynik.
Twierdzenie Jeśli funkcja
f :R R
R
× →
jest ciągła, funkcje
charakterystyczne liczb rozmytych A i B są kawałkami ciągłe oraz ich
nośniki są zwarte, wówczas:
( )
[
]
(
)
f A B
f A B
,
,
α
α
α
=
.