Pytania z matematyki na egzamin licencjacki

 

Na egzaminie student (studentka) z czterdziestu pytań losuje trzy. Z wylosowanych pytań

odrzuca jedno i wybiera dwa, z których jest egzaminowany (egzaminowana).

 Każda odpowiedz powinna zawierać: definicje podstawowych pojęć, najważniejsze

twierdzenia, przykłady (kontrprzykłady) i zastosowania.

1. Liczby naturalne i zasada indukcji matematycznej.

2. Relacja równoliczności i moc zbioru. Przeliczalność i nieprzeliczalność.

3. Relacje równoważności i klasy abstrakcji.

4. Podstawowe pojęcia dotyczące funkcji (obraz, przeciwobraz, funkcja odwrotna,

różnowartościowa, rosnąca, złożenie funkcji).

5. Kres dolny i górny podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych.

6. Granica ciągu liczbowego. Ciągi monotoniczne. Zbieżność ciągów monotonicznych. Liczba e.

7. Granica ciągu liczbowego. Własności ciągów zbieżnych. Twierdzenie o trzech ciągach.

8. Granica dolna i górna ciągu liczbowego.

9. Definicja granicy funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej w punkcie.

10. Ciągłość funkcji w punkcie i na zbiorze. Warunki równoważne ciągłości funkcji.

11. Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych.

12. Definicja pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie i przykład jej interpretacji.

13. Podstawowe własności funkcji różniczkowalnych. Warunek konieczny różniczkowalności

funkcji.

14. Pochodna funkcji odwrotnej i złożonej.

15. Definicja ekstremum lokalnego funkcji w punkcie. Warunek konieczny i warunki

wystarczające istnienia ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej.

16. Twierdzenie de l’Hospitala i jego zastosowania.

17. Wzór Taylora i jego zastosowania.

18. Definicja całki Riemanna i jej interpretacja geometryczna. Klasy funkcji całkowalnych w

sensie Riemanna.

19. Twierdzenie o całkowaniu przez części. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie.

20. Całka niewłaściwa po przedziale nieograniczonym. Całka niewłaściwa z funkcji

nieograniczonej.

21. Definicja szeregu liczbowego. Zbieżność szeregów liczbowych - kryteria zbieżności.

22. Określenie ciągu funkcyjnego. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcyjnego.

23. Definicja szeregu funkcyjnego. Zbieżność punktowa i jednostajna na zbiorze.

24. Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych.

1 / 2

Pytania z matematyki na egzamin licencjacki

25. Szeregi potęgowe i ich zbieżność. Własności sumy szeregu potęgowego.

26. Definicja przestrzeni metrycznej. Zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej.

27. Zupełność przestrzeni metrycznych.

28. Definicja grupy i podgrupy.

29. Definicja macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności.

30. Rząd macierzy i jego własności. Macierz odwrotna.

31. Przestrzenie liniowe. Liniowa zależność i niezależność układu wektorów. Baza i wymiar

przestrzeni liniowej.

32. Definicja przekształcenia liniowego. Jadro, obraz i rząd odwzorowania liniowego.

33. Twierdzenia Cramera i Kroneckera-Capelliego.

34. Ciało liczb zespolonych. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej. Postać

trygonometryczna liczby zespolonej. Twierdzenia o potęgowaniu i pierwiastkowaniu liczb

zespolonych.

35. Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo

całkowite.

36. Definicja zmiennej losowej. Zmienna losowa i jej rozkład. Charakterystyki liczbowe zmiennej

losowej.

37. Niezależność zdarzeń i zmiennych losowych.

38. Izomertria figur, grupa izometrii. Przykłady izometrii płaszczyzny.

39. Klasyfikacja krzywych algebraicznych stopnia drugiego i ich postacie kanoniczne.

40. Rzut prostopadły punktu na hiperpłaszczyzne, własności.

2 / 2