RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ BELKI

W wyniku działania M

g

zachodzi wzajemny obrót względem osi obojętnej równoległych

uprzednio przekrojów. Odkształcenia te powodują ugięcie prostej osi pręta. W zginaniu
prostym oś ugięta jest krzywą płaską.

W

układzie osi x,y oś ugiętą określa równanie osi ugiętej y=f(x), a jej krzywiznę wyraża wzór:

EJ

M

g







1

(nie uwzględnia on minimalnego wpływu siły T).

Z geometrii różniczkowej wiadomo, że krzywiznę dowolnej krzywej płaskiej y=f(x) przedstawia

równanie

3

2

)

)

'

(

1

(

"

1

y

y









,

porównując oba równania otrzymamy:

3

2

)

)

'

(

1

(

"

y

y

EJ

M

g







-

równanie osi ugiętej w postaci różniczkowej.

Przy założeniu małych odkształceń (słuszne przy zwykle dużych sztywnościach prętów)

y - ugięcie,



-

kąt ugięcia,

1

)

)

'

(

1

(

1

)

'

(

'

3

2

2











y

i

y

tg

y





otrzymamy

EJ

M

dx

y

d

g





2

2

znaki zależą od ustalenia znaku M

g

i orientacji osi

Stosując układ:

równanie różniczkowe osi ugiętej

EJ

M

dx

y

d

g





2

2

przy EJ=const

. różniczkując równanie osi

dwukrotnie i uwzględniając

q

dx

M

d

g





2

2

mamy

q

dx

y

d

EJ



4

4

0

;

0

;

0

2

2







dx

y

d

y

M

g

-

równanie różniczkowe IV-rzędu.



d



ds=dx

R

1

y

R

2

x

P

q

x

y

υ

x

M

g

M

g

y

y’

y

y”

Całkując równanie różniczkowe dwukrotnie otrzymamy wyrażenia na kąt ugięcia i ugięcie:













 



















D

Cx

dx

dx

M

EJ

y

C

dx

M

EJ

dx

dy

g

g

1

1



Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych

1. Granica przedziałów: y

I

(x=a)=y

II

(x=a)

y’

I

(x=a)=y’

II

(x=a)

2. Przegub:

y

I

(x=b)=y

II

(x=b)

y’

I

(x=b)



y’

II

(x=b)

3. Podpora

y

I

(x=0)=0

4. Utwierdzenie

y

III

(x=l)=0

y’

III

(x=l)=0

Przykład. Wyznaczyć przemieszczenia liniowe i kątowe w belce wspornikowej.

Dane: P, l, EJ=const.

EJ

Pl

y

l

x

dla

l

x

EJ

Plx

y

EJ

Pl

l

x

dla

l

x

EJ

Plx

y

D

y

x

C

y

x

brzegowych

warunków

z

D

Cx

x

P

x

Pl

EJy

C

x

P

Plx

EJy

Px

Pl

EJy

M

EJy

x

P

l

P

x

R

M

M

l

P

M

P

R

równowagi

warunków

Z

g

A

g

A

3

3

6

2

2

2

'

0

0

0

0

0

'

0

6

2

2

'

"

"

,

3

2

2

3

2

2















 

















 







































































b

a

P

y

l

I

II

III

P

y

A

B

R

R

M

A

x

l

x

y

B



B

M

g



y



(x)

y(x)

M

g

(x)

Przykład Metodą całkowania równania różniczkowego osi odkształconej wyznaczyć ugięcie

i kąt ugięcia w środku długości belki.

g

B

B

A

A

A

B

M

EJy

Równanie

qa

R

R

qa

R

Y

qa

R

a

qa

a

R

M

równowagi

równań

Z

































"

4

3

0

4

1

0

2

1

2

:

EJ

qa

qa

qa

EJ

y

EJ

qa

qa

qa

EJ

y

a

x

dla

x

qa

a

x

q

qax

EJy

x

qa

qax

EJy

qa

a

x

q

qax

EJy

qa

qax

EJy

qa

C

A

aA

qa

a

A

qa

a

qa

x

A

a

x

q

qax

a

x

y

z

A

A

x

A

a

x

q

qax

C

x

C

qax

a

x

y

a

x

y

z

A

C

A

a

x

q

qax

C

qax

a

x

y

a

x

y

z

C

C

x

C

qax

x

y

z

y

y

a

x

y

a

x

y

y

a

x

y

x

brzegowe

Warunki

A

x

A

a

x

q

qax

EJy

C

x

C

qax

EJy

A

a

x

q

qax

EJy

C

qax

EJy

a

x

q

qax

EJy

qax

EJy

a

x

q

qax

a

x

q

x

R

M

qax

x

R

M

a

x

a

II

a

x

I

II

I

II

I

II

II

I

II

I

I

II

I

II

II

I

I

A

gII

A

gI

4

4

4

3

3

3

3

4

3

3

3

3

3

2

'

3

2

'

3

1

1

1

4

1

4

3

1

4

3

2

2

1

4

3

2

1

3

1

1

1

3

2

1

2

'

'

2

2

1

3

'

'

2

1

4

3

2

1

3

1

3

2

1

2

2

2

2

48

5

48

7

24

1

1

48

48

7

8

1

1

'

48

7

)

(

24

1

24

1

48

7

24

1

48

7

)

(

6

1

8

1

48

7

8

1

48

7

0

2

24

7

0

2

24

1

8

24

1

0

)

(

24

1

24

1

0

)

2

(

)

2

(

0

)

(

24

1

24

1

24

1

)

(

)

(

)

3

(

)

(

6

1

8

1

8

1

)

(

)

(

)

4

(

0

0

24

1

0

)

0

(

)

1

(

)

4

0

2

)

2

)

3

0

0

)

1

:

)

(

24

1

24

1

24

1

)

(

6

1

8

1

'

8

1

'

)

(

2

1

4

1

"

4

1

"

)

(

2

1

4

1

2

)

(

4

1

2

.

0

.

































































































































































































































































A

B

x

q

a

a

R

B

R

A

y

I

II

METODA CLEBSCHA CAŁKOWANIA RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO

Dla belek ciągłych (bez przegubów), o stałej sztywności można uzyskać równość stałych
całkowania poprzez następujące postępowanie:

1)

Równanie Mg należy pisać tak, aby w równaniu dla każdego nowego przedziału
występowały wszystkie składniki równania dla przedziałów poprzednich.

2)

W wyrażeniach typu

2

)

(

);

(

2

a

x

q

a

x

P





nie należy rozwijać wyrażeń w nawiasach.

Całkuje się wg schematu:

C

n

a

x

dx

a

x

n

n















1

)

(

)

(

1

3)

W przypadku obciążenia ciągłego należy je tak przedstawić by każde zaczęte obciążenie
ciągłe przebiegało aż do końca belki.

4)

Moment skupiony zapisujemy z potęgą zerową np.

0

)

(

a

x

K

x

R

M

A

g







Przykład Wyznaczyć równanie linii ugięcia metoda Clebscha.

..........

0

0

0

0

:

24

)

(

24

)

(

2

)

(

6

)

(

6

6

)

(

6

)

(

)

(

2

)

(

2

'

2

)

(

2

)

(

)

(

)

(

"

"

2

)

(

2

)

(

)

(

)

(

4

4

4

3

2

2

3

1

3

0

5

3

4

3

3

2

2

1

2

0

5

2

4

2

3

0

2

1

0

5

2

4

2

3

0

2

1

0









































































































C

y

l

x

D

y

x

brzegowych

warunków

Z

d

x

q

c

x

q

b

x

K

a

x

P

x

R

Cx

D

EJy

d

x

q

c

x

q

b

x

K

a

x

P

x

R

C

EJy

d

x

q

c

x

q

b

x

K

a

x

P

x

R

EJy

M

EJy

d

x

q

c

x

q

b

x

K

a

x

P

x

R

M

g

g

1

3

2

q

1

3

2

q

R

A

K

a

1

3

2

q

P

K

4

5

R

l

R

0

0

a

b

c

d

l

Metoda analityczno-wykre

ślna (Mohra lub momentów wtórnych)

całkowania równania różniczkowego osi ugiętej belki

Opiera się ona na podobieństwie zależności:

q

dx

M

d

g





2

2

( II tw. Schwedlera)

( ٭ )

i

EJy” = -M

g

( r. różniczkowe osi ugiętej)

( ٭٭ )

Zapisując je w postaci:

M

*

”= - q

*

i

EJ

M

y





"

M

*

, q

*

-

na razie wielkości fikcyjne, nie określone

Mamy do czynienia z analogia matematyczną, o ile warunki brzegowe obu równań będą
identyczne. Przyjmując równość prawych stron mamy:





*

*

q

EJ

M

q

zredukowany moment rzeczywisty

Wynika stąd równość:

y = M*

oraz

y’ = M*’= T* =



Chcąc wyznaczyć przemieszczenia konkretnej belki postępujemy następująco:

1) Rozw

iązujemy belkę rzeczywistą (pierwotną)

tzn. wyznaczamy reakcje i wykresy momentów.

2)

Budujemy belkę wtórną w taki sposób by były
spełnione warunki brzegowe.

3)

Obciążamy belkę wtórną obciążeniem ciągłym
równym polu momentów gnących belki
pierwotnej pomniejszonych EJ

– krotnie.

4)

Rozwiązujemy belkę wtórną tzn. wyznaczamy
reakcje, moment gnący i siłę tnącą w żądanych
przekrojach.

Przemieszczenie belki pierwotnej:

y = M*



= T*

Interpretacja znaków:

Belka I

Belka II

y=0



0

M*=0 T*



0

y=0



0

M*=0
T*



0

y



0



0

M*



0

T*



0

y



0



0

M*=0 T*=0

y=0



=0

M*



0 T*



0

y

x

M

g

EJy”=-M

g

y



x

x

Przykład W belce o zmiennej skokowo sztywności obliczyć metodą analityczno-wykreślną kąt

obrotu na podporze i ugięcie w środku długości.

Belka I jest symetryczna, a więc

R

A

=R

B

=P

Maksymalny moment gnący:

Mg

max

=R

A

a=Pa

Belka wtórna jest również belką
symetryczną, więc reakcje

A*=B*=½(2



1

+



2

)

gdzie

1

2

1

1

2

2

1

EJ

Pa

EJ

Pa

a







2

2

EJ

Pa

b





































2

1

1

2

1

2

2

2

2

2

1

*

J

J

b

a

EJ

Pa

EJ

Pa

b

EJ

Pa

A

1

3

*

1

2

*

1

2

1

3

*

1

2

2

1

2

1

*

2

1

2

2

1

1

2

1

*

48

31

4

3

*

4

3

*

,

48

31

)

4

(

8

3

4

1

2

1

2

1

3

1

2

2

2

4

2

1

)

2

1

3

1

(

)

2

(

*

EJ

Pa

M

y

EJ

Pa

A

T

EJ

Pa

A

EJ

Pa

M

a

b

i

J

J

dla

b

a

b

J

J

a

EJ

Pa

M

b

EJ

Pa

b

b

a

EJ

Pa

b

a

J

J

b

a

EJ

Pa

b

b

a

b

a

A

M

C

C

A

A

C

C

C



































































 

































Belki statycznie niewyznaczalne

Do wyznaczenia reakcji nie

zbędne jest rozpatrzenie odkształceń. Istnieje wiele metod

rozwiązywania belek statycznie niewyznaczalnych. Pokażemy tu dwie z nich.

1 Metoda superpozycji

Wielkości podporowe:

M

A

, R

A

, R

B

.

Warunki równowagi:



Y=-R

A

+ql-R

B

=0



M

B

=M

A

-R

A

l+ql

2

/2=0

Układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.

b

a

EJ

1

P

a

P

EJ

1

EJ

2

B

x

R

B

A

R

A

y

C

Pa

a

a

b

y

A*

B*

x

I

II



2



1



1

Pa
EJ

1

Pa
EJ

2

l

R

B

x

R

A

M

A

y

q

Warunki geometryczne narzucone przez podparcie układu:

y

A

=0, y

B

=0,



A

=0

Jako równanie dodatkowe obierzemy np. warunek y

B

=0

Reakcja R

B

jest reakcją hiperstatyczną (nadliczbową).

Układ podstawowy (usunięta r. Hiperstatyczna)

Układ obciążony tylko reakcją hiperstatyczną)

Obliczamy (lub znajdujemy z tablic) interesujące nas ugięcia – czyli f

0

i f

1

:

EJ

l

R

f

EJ

ql

f

B

3

8

3

1

4

0







Równanie dodatkowe:

y

B

= f

0

+ f

1

= 0

ql

R

EJ

l

R

EJ

ql

B

B

8

3

0

3

8

3

4









Z

równań równowagi wyznaczamy:

R

A

=

⅝

ql

i

M

A

=

⅛

ql

2

,

oraz budujemy wypadkowe wykresy M

g

i T:

Tok postępowania przy rozwiązywaniu belek statycznie niewyznaczalnych

1.

Zakładamy stosownie do konstrukcji podpór wielkości podporowe.

2.

Wypisujemy ogólne warunki równowagi.

3.

Obieramy wielkości statycznie niewyznaczalne.

4.

Rozkładamy układ statycznie niewyznaczalny na układy statycznie wyznaczalne:
a) obciążony obciążeniem zewnętrznym,
b) obciążony wyłącznie siłami przyjętymi za reakcje hiperstatyczne.

5. Ustalamy warunki geometryczne

– równanie dodatkowe.

6.

Wyznaczamy wielkości przemieszczeń.

7.

Wyznaczamy z równań dodatkowych wielkości hiperstatyczne.

8.

Z równań równowagi wyznaczamy pozostałe reakcje.

f

0

R

Ao

M

Ao

y

q

R

B

f

1

R

A1

M

A1

y

M

g

T

M

g

T

M

g

T

2.

Metoda całkowania równania różniczkowego

Wyznaczyć reakcje, narysować wykresy M

g

, T.

Układ 1-krotnie statycznie niewyznaczalny.

Wybieramy reakcję hiperstatyczną – R

B

.

Piszemy równania równowagi, wyrażając reakcje
przez obciążenie czynne i reakcję hiperstatyczną:

B

A

B

A

B

A

B

A

A

R

ql

R

R

ql

R

Y

l

R

ql

M

l

q

l

R

M

M



































0

2

0

2

2

2

D

Cx

x

l

q

x

ql

x

q

x

l

R

x

R

EJy

C

x

l

q

x

ql

x

q

lx

R

x

R

EJy

l

q

qlx

x

q

l

R

x

R

M

EJy

x

q

x

R

qlx

l

q

l

R

x

q

x

R

M

M

B

B

B

B

B

B

g

B

B

A

A

g



























































2

2

6

24

2

6

2

2

6

2

'

2

2

"

2

2

2

2

2

3

4

2

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

z warunków brzegowych:

4

0

128

9

)

8

5

(

8

5

0

8

1

8

5

8

3

0

4

6

24

2

6

0

)

3

0

0

'

0

0

)

2

),

1

2

0

max

0

0

2

4

4

4

3

3

l

x

dla

M

ql

l

x

M

l

q

R

x

qx

R

T

ql

M

ql

R

równowagi

warunków

z

ql

R

l

q

l

q

l

q

l

R

l

R

R

y

l

x

D

C

y

i

y

x

g

g

A

A

A

A

B

B

B

B

























































Uwaga !

Wykres M

g

belek statycznie niewyznaczalnych zawsze

przecina oś zerowa.

l

R

B

x

R

A

M

A

y

q

x

T

M

g

⅛ ql

2

⅝ ql

⅜ ql

⅝ l

¼l

2

128

9

ql