Analiza numeryczna

Ćwiczenia nr 6

Słowa kluczowe:

Interpolacja, wielomiany Czebyszewa

1. Wykazać NP algorytmu Hornera obliczania wartości wielomianu w punkcie.

2. Niech x

0

, . . . , x

n

węzły parami różne. Wiemy, że ∃! P ∈ Π

n

: P (x

i

) = f

i

, dla i = 0, . . . , n.

Ponieważ {P

k

(x)}

n
k=0

, gdzie P

0

(x) ≡ 1, P

k

(x) =

k−1

Y

i=0

(x − x

i

) jest ciągiem wielomianów liniowo

niezależnych, więc Π

n

= span{P

0

, . . . , P

n

}. Zatem ∃! (α

0

, . . . , α

n

) ∈ R

n+1

taki, że P (x) =

n

X

k=0

α

k

P

k

(x). Pokazać, że

α

n

=

det






1 x

0

· · ·

x

n−1
0

f

0

..

.

..

.

..

.

..

.

1 x

n

· · ·

x

n−1
n

f

n






det






1 x

0

· · ·

x

n
0

..

.

..

.

..

.

1 x

n

· · ·

x

n
n






.

3. Napisać wielomian w postaci Newtona dla węzłów (0, 1), (2, −1), (3, 1), (4, 1), (5, 2).

4. Z jaką dokładnością można obliczyć wartość ln(100.5) przy użyciu wzoru interpolacyjnego,

mając dane wartości ln(100), ln(101), ln(102) oraz ln(103)?

5. Niech T

k

(x) = cos(k arc cos x), |x| ≤ 1. Wykazać, że

T

k

(x) =

1

2

h

(x +

√

x

2

− 1)

k

+ (x −

√

x

2

− 1)

k

i

,

k = 0, 1, . . . ,

x ∈ R.

6. a) Wyznaczyć zera T

k

,

b) Wyznaczyć ekstrema T

k

,

c) Wykazać ortogonalność {T

k

}

∞
k=0

z wagą 1/

√

1 − x

2

,

d) wyznaczyć współczynnik przy najwyższej potędze x.

7. Wykazać następującą formułę trójczłonową dla T

k

.

T

0

(x) ≡ 1, T

1

(x) = x, T

k

(x) = 2xT

k−1

(x) − T

k−2

(x).