Analiza numeryczna
Ćwiczenia nr 6
Słowa kluczowe:
Interpolacja, wielomiany Czebyszewa
1. Wykazać NP algorytmu Hornera obliczania wartości wielomianu w punkcie.
2. Niech x
0
, . . . , x
n
węzły parami różne. Wiemy, że ∃! P ∈ Π
n
: P (x
i
) = f
i
, dla i = 0, . . . , n.
Ponieważ {P
k
(x)}
n
k=0
, gdzie P
0
(x) ≡ 1, P
k
(x) =
k−1
Y
i=0
(x − x
i
) jest ciągiem wielomianów liniowo
niezależnych, więc Π
n
= span{P
0
, . . . , P
n
}. Zatem ∃! (α
0
, . . . , α
n
) ∈ R
n+1
taki, że P (x) =
n
X
k=0
α
k
P
k
(x). Pokazać, że
α
n
=
det
1 x
0
· · ·
x
n−1
0
f
0
..
.
..
.
..
.
..
.
1 x
n
· · ·
x
n−1
n
f
n
det
1 x
0
· · ·
x
n
0
..
.
..
.
..
.
1 x
n
· · ·
x
n
n
.
3. Napisać wielomian w postaci Newtona dla węzłów (0, 1), (2, −1), (3, 1), (4, 1), (5, 2).
4. Z jaką dokładnością można obliczyć wartość ln(100.5) przy użyciu wzoru interpolacyjnego,
mając dane wartości ln(100), ln(101), ln(102) oraz ln(103)?
5. Niech T
k
(x) = cos(k arc cos x), |x| ≤ 1. Wykazać, że
T
k
(x) =
1
2
h
(x +
√
x
2
− 1)
k
+ (x −
√
x
2
− 1)
k
i
,
k = 0, 1, . . . ,
x ∈ R.
6. a) Wyznaczyć zera T
k
,
b) Wyznaczyć ekstrema T
k
,
c) Wykazać ortogonalność {T
k
}
∞
k=0
z wagą 1/
√
1 − x
2
,
d) wyznaczyć współczynnik przy najwyższej potędze x.
7. Wykazać następującą formułę trójczłonową dla T
k
.
T
0
(x) ≡ 1, T
1
(x) = x, T
k
(x) = 2xT
k−1
(x) − T
k−2
(x).