Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21-1
Wykład 21
21. Prąd elektryczny i pole magnetyczne
21.1 Prąd elektryczny
Natężenie prądu elektrycznego
t
Q
I
=
(21.1)
Jednostka: 1 amper, 1A.
Gęstość prądu elektrycznego
S
I
j
=
(21.2)
W nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego elektrony poruszają się chaotycz-
nie we wszystkich kierunkach. W zewnętrznym polu E uzyskują wypadkową (stałą z
założenia)
prędkość unoszenia
v
u
.
Jeżeli n jest koncentracją elektronów to ilość ładunku Q jaka przepływa przez przewod-
nik o długości l w czasie t = l/
v
u
wynosi
Q = nSle
Tak więc natężenie prądu wynosi
u
u
nSe
l
nSle
t
Q
I
v
v
=
=
=
(21.3)
a gęstość prądu
u
u
ne
S
I
j
v
v
ρ
=
=
=
(21.4)
gdzie
ρ jest gęstością ładunku.
l
S
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21-2
UMOWA: kierunek prądu = kierunek ruchu ładunków dodatnich.
Przykład 1
Prąd o natężeniu 1A płynie w drucie miedzianym o przekroju 1 mm
2
. Jaka jest średnia
prędkość unoszenia elektronów przewodnictwa ? Masa atomowa miedzi
µ = 63.8 g/mol,
a gęstość
ρ = 8.9 g/cm
3
.
Z równania na natężenie prądu otrzymujemy
nSe
I
u
=
v
Zakładamy, że na jeden atom przypada 1 elektron przewodnictwa (Cu
+1
). Możemy więc
obliczyć koncentrację nośników
µ
ρ
Av
N
n
=
n = 8.4·10
28
atom/m
3
Wstawiając do równania na prędkość otrzymujemy
v
u
= 7.4·10
-5
m/s = 0.074 mm/s
Prądy mogą też płynąć w gazach i cieczach. Lampy jarzeniowe są przykładem wykorzy-
stania przepływu prądu w gazach. W gazach prąd jest wynikiem ruchu nie tylko elektro-
nów ale i jonów dodatnich. Jednak lżejsze elektrony są znacznie szybsze i ich wkład do
prądu jest dominujący. W zderzeniu elektronu z jonem lub atomem gazu energia może
zostać zaabsorbowana przez atom, a następnie wypromieniowana w postaci promienio-
wania elektromagnetycznego w tym również widzialnego.
21.2 Prawo Ohma
Jeżeli do przewodnika przyłożymy różnicę potencjałów V, to przez przewodnik płynie
prąd I. Na początku XIX wieku Ohm zdefiniował
opór przewodnika
jako napięcie po-
dzielone przez natężenie prądu
I
U
I
V
R
=
∆
=
(21.5)
Jest to definicja oporu. Ten stosunek jest stały pod warunkiem, że utrzymuje się stałą
temperaturę.
Jednostką oporu (SI) jest 1 (Ohm) 1
Ω
.
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21-3
21.2.1 Wyprowadzenie prawa Ohma
Bez pola elektrycznego prędkość ruchu chaotycznego u (nie powoduje przepływu
prądu). Prędkość u jest związana ze średnią drogą swobodną
λ i średnim czasem pomię-
dzy zderzeniami
∆
t zależnością: u =
λ/
∆
t.
Jeżeli przyłożymy napięcie to na każdy elektron będzie działała siła F = eE i po czasie
∆
t każdy elektron osiągnie prędkość unoszenia
v
u
=
∆
u daną II zasadą Newtona
eE
t
u
m
=
∆
∆
Stąd
m
t
eE
u
u
∆
=
=
∆
v
Podstawiając
∆
t =
λ/u otrzymujemy
mu
E
e
u
λ
=
v
(21.6)
Prędkość unoszenia ma ten sam kierunek (przeciwny do E) dla wszystkich elektronów.
Przy każdym zderzeniu elektron traci prędkość unoszenia.
Średnia droga swobodna
λ jest tak mała, że v
u
jest zawsze mniejsza od u.
Obliczamy teraz natężenie prądu wstawiając wyrażenie na
v
u
do wyrażenia (21.3) na
natężenie I.
mu
SE
ne
nSe
I
u
λ
2
=
=
v
Dla elementu przewodnika o długości l (rysunek) obliczymy opór korzystając z faktu, że
napięcie U = El.
Z prawa Ohma
S
ne
mul
I
El
I
U
R
λ
2
=
=
=
(21.7)
R jest proporcjonalny do długości przewodnika i odwrotnie proporcjonalny do przekro-
ju. Zauważmy, że R pozostaje stały tak długo jak długo u jest stałe, a u zależy tylko od
temperatury (patrz wykład 15).
Równanie (21.7) przepiszmy w postaci
S
l
R
ρ
=
(21.8)
Stałą
ρ nazywamy
oporem właściwym
.
Typowa zależność oporu od temperatury dla przewodników metalicznych jest poka-
zana na rysunku na następnej stronie.
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21-4
Z dobrym przybliżeniem jest to zależność liniowa
ρ ~ T za wyjątkiem temperatur bli-
skich zera bezwzględnego. Wtedy zaczyna odgrywać rolę tzw. opór resztkowy
ρ
0
zależ-
ny w dużym stopniu od czystości metalu. Istnieją jednak metal i stopy, dla których ob-
serwujemy w dostatecznie niskich temperaturach całkowity zanik oporu. Zjawisko to
nosi nazwę
nadprzewodnictwa
. Prądy wzbudzone w stanie nadprzewodzącym utrzymują
się w obwodzie bez zasilania zewnętrznego. Ta możliwość utrzymania stale płynącego
prądu rokuje duże nadzieje na zastosowania techniczne, które znacznie wzrosły po od-
kryciu w 1987 r materiałów przechodzących w stan nadprzewodzący w stosunkowo wy-
sokich temperaturach, około 100 K. Materiały te noszą nazwę wysokotemperaturowych
nadprzewodników a ich odkrywcy Bednorz i Müller zostali wyróżnieni Nagrodą Nobla.
21.3 Straty cieplne
Gdy elektron zderza się z atomem traci nadwyżkę energii, którą uzyskał w polu elek-
trycznym. Ponieważ energia kinetyczna nie wzrasta, cała energia stracona przez elektro-
ny daje
dE
cieplna
= Udq
gdzie dq jest ładunkiem przepływającym(elektronów przewodnictwa).
Dzieląc obie strony przez dt otrzymujemy
UI
t
q
U
t
E
a
ciep
=
=
d
d
d
d
ln
P = UI
(21.8)
przedstawia
straty mocy elektrycznej
.
ρ
0
0
T
ρ
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21-5
21.3.1 Siła elektromotoryczna
Aby utrzymać prąd potrzeba źródła energii elektrycznej. Np. baterie, generatory. Na-
zywamy je źródłami
siły elektromotorycznej SEM
. W takich źródłach jeden rodzaj ener-
gii jest zamieniany na drugi. SEM oznaczamy
ε i definiujemy
q
W
=
ε
(21.9)
gdzie W jest energią elektryczną przekazywaną ładunkowi q, gdy przechodzi on przez
źródło SEM.
21.4 Obwody prądu stałego
Łączenie oporów:
•
szeregowe (ten sam prąd przez oporniki)
R
z
= R
1
+ R
2
+ .....
•
równoległe (to samo napięcie na opornikach)
1/R
z
= 1/R
1
+ 1/R
2
+ .....
21.4.1 Prawa Kirchoffa
•
Twierdzenie o obwodzie zamkniętym:
algebraiczna suma przyrostów napięć
w dowolnym obwodzie zamkniętym
jest równa zeru
. (Spadek napięcia jest
przyrostem ujemnym napięcia).
•
Twierdzenie o punkcie rozgałęzienia:
algebraiczna suma natężeń prądów
przepływających przez punkt rozgałę-
zienia jest równa zeru
.
Twierdzenie o obwodzie zamkniętym jest
wynikiem prawa zachowania energii, a
twierdzenie o punkcie rozgałęzienia wy-
nika z prawa zachowania ładunku.
Przykład 2
Regulator napięcia (rysunek na na-
stępnej stronie). Opornik R
1
ma napięcie
określone przez
ε
1
a prąd pobiera z
ε
2
.
W każdej gałęzi obwodu trzeba z osobna przyjąć kierunek prądu i jego natężenie. Praw-
dziwy kierunek rozpoznamy po znaku obliczonego natężenia. Spadek napięcia pojawia
się przy przejściu przez każdy opornik w kierunku zgodnym z prądem. Przyrost napięcia
pojawia się przy przejściu przez źródło od "-" do "+".
Zastosowanie I prawa Kirhoffa do "dużej" pętli daje
ε
2
– I
2
R
2
– I
3
R
1
= 0
a dla "małej" pętli
ε
1
– I
3
R
1
= 0
I
2
R
2
ε
2
ε
1
R
1
I
1
I
3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21-6
Po odjęciu stronami otrzymamy
ε
2
–
ε
1
– I
2
R
2
= 0
2
1
2
2
R
I
ε
ε
−
=
Dla węzła
I
1
+ I
2
– I
3
= 0
skąd
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
3
1
1
1
R
R
R
R
R
I
I
I
ε
ε
ε
ε
ε
−
+
=
−
−
=
−
=
Zauważmy, że gdy dobrać warunki tak aby
2
2
2
1
1
1
1
R
R
R
ε
ε
=
+
to I
1
= 0 i
ε
1
nie daje żadnego prądu. Taki układ ma ważne zastosowanie praktyczne.
Napięcie
ε
1
może być niskoprądowym ogniwem wzorcowym, mimo że R
1
może pobie-
rać duży prąd (głównie z
ε
2
).
21.5 Pole magnetyczne
Doświadczalnie stwierdzamy, że występuje oddziaływanie:
•
magnesów naturalnych (Fe
3
O
4
)
•
oddziaływanie przewodników z prądem na ładunki w ruchu (kineskop)
•
oddziaływanie przewodników z prądem na siebie
•
Magnesem jest sama Ziemia. Jej działanie na igłę kompasu jest znane od Starożytno-
ści.
Te oddziaływania opisujemy wprowadzając pojęcie
pola magnetycznego
.
21.5.1 Siła magnetyczna
Pole grawitacyjne (natężenie)
m
F
g
graw
=
Pole elektryczne (natężenie)
q
F
E
elekt
=
Pole magnetyczne (indukcja)
v
q
F
B
magn
=
(Siła działa na ładunki w ruchu i jest proporcjonalna do qv).
Jednostką B jest tesla; 1T = N/(Am)
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21-7
Powyższy wzór jest prawdziwy dla ruchu ładunku prostopadle do B ale siła F
magn
(
siła Lorentza
) zależy od kierunku
v. Ta zależność od kierunku jest zapisana poprzez
równanie wektorowe
B
F
×
=
v
q
magn
(21.10)
gdzie kierunek definiuje się z reguły śruby prawoskrętnej (iloczyn wektorowy).
Zauważmy, że
F
magn
jest zawsze prostopadłe do
v
. Zatem, zgodnie z twierdzeniem
o pracy i energii F
magn
nie może zmienić energii kinetycznej poruszającego się ładunku
i ładunek krąży po okręgu. Stąd
B
q
R
m
v
v
=
2
qB
m
R
v
=
jest promieniem okręgu.
Siła działa na ładunki w ruchu więc działa na cały przewodnik z prądem.
F = ev
u
B
B
nSe
I
e
F
=
W przewodniku o długości l znajduje się nSl elektronów, więc całkowita siła
lB
I
B
nS
I
l
nS
F
=
=
Równanie w ogólnym przypadku ma postać
B
l
F
×
=
I
(21.11)
21.5.2 Działanie pola magnetycznego na obwód z prądem
Rozważymy teraz działanie pola magnetycznego na za-
mknięty obwód z prądem.
Prostokątną ramkę o bokach a i b umieszczamy w jednorod-
nym polu magnetycznym o indukcji B. Przez ramkę płynie
prąd o natężeniu I, a normalna do płaszczyzny ramki tworzy
kąt
θ z polem B (rysunek).
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21-8
Rozpatrujemy siłę działającą na każdy z boków. Siły F
b
działające na odcinki b zno-
szą się wzajemnie. Siły F
a
działające na odcinki a też się znoszą ale tworzą parę sił da-
jącą wypadkowy moment siły
θ
θ
θ
τ
sin
sin
sin
b
F
b
F
b
F
a
a
a
=
+
=
2
2
lub wektorowo (na podstawie definicji iloczynu wektorowego)
b
F
τ
×
=
a
Siła F
a
wynosi
IaB
F
a
=
więc
θ
θ
τ
sin
sin
ISB
IabB
=
=
(21.12)
gdzie S = ab jest powierzchnią ramki. Równanie (21.12) możemy zapisać w postaci
wektorowej
B
S
τ
×
=
I
(21.13)
gdzie S jest wektorem powierzchni.
Wielkość
S
μ I
=
(21.14)
nazywamy
magnetycznym momentem dipolowym
. Pole magnetyczne działa więc na
ramkę z prądem (dipol magnetyczny) momentem skręcającym obracając ją. Położenie
równowagi ramki (dipola magnetycznego) występuje dla
θ = 0 tj. gdy ramka jest usta-
wiona prostopadle do pola B. Przykładem dipola magnetycznego jest igła kompasu, któ-
ra umieszczona w polu magnetycznym obraca się ustawiając zgodnie z polem.
Taką "kołową ramką z prądem" jest również elektron krążący po orbicie w atomie.
Moment dipolowy elektronu krążącego po orbicie o promieniu r wynosi
)
(
2
r
I
e
π
µ
=
Natężenie prądu wytwarzanego przez elektron o ładunku e przebiegający orbitę w czasie
T (okres obiegu) wynosi
r
e
T
e
t
q
I
π
2
v
=
=
=
gdzie
v jest prędkością elektronu. Stąd
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21-9
L
m
e
r
m
m
e
r
e
r
r
e
e
2
)
(
2
2
)
(
2
2
=
=
=
=
v
v
v π
π
µ
gdzie L = mvr jest momentem pędu elektronu.
Elektron, krążący po orbicie jest więc elementar-
nym dipolem magnetycznym. Własności magne-
tyczne ciał są właśnie określone przez zachowanie
się tych elementarnych dipoli w polu magnetycz-
nym. Własności te omówimy na dalszych wykła-
dach.
Z momentem siły działającym na dipol związa-
na jest tzw.
energia magnetyczna
dipola Można
również pokazać, że ta energia wyraża się wzorem
E
m
= -
µB = - µBcosθ
(21.15)
Zauważmy, że minimum energii odpowiada ustawieniu dipola w kierunku równoległym
do pola magnetycznego B (
θ = 0).
21.5.3 Efekt Halla
Jeżeli płytkę metalu (lub półprzewodnika) umieścimy w polu magnetycznym,
prostopadłym do kierunku przepływu prądu, to na ładunki będzie działała siła odchyla-
jąca powodująca zakrzywienie torów ładunków w kierunku jednej ze ścianek bocznych
płytki. Niezależnie czy prąd jest związany z ruchem ładunków dodatnich czy ujemnych
mamy do czynienia z odchylaniem ładunków w kierunku jednej krawędzi. Przesunięcie
ładunków powoduje powstanie poprzecznego pola elektrycznego Halla E
H
. To pole
przeciwdziała dalszemu przesuwaniu ładunków. Pole Halla jest dane wzorem
d
U
E
xy
H
=
W stanie równowagi odchylające pole magnetyczne jest równoważone przez pole elek-
tryczne
qE
H
+ q(v
u
×
B) = 0
Stąd
E
H
= – v
u
×
B
Wynika stąd, że jeżeli zmierzymy E
H
i B to możemy znaleźć v
u
.
Gdy v
u
i B są prostopadłe to
E
H
= v
u
B
Ponieważ:
v
u
= j/ne
I
y
x
B
v
u
v
u
F
F
d
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21-10
więc
E
H
= (jB)/(ne)
lub
n = (jB)/(eE
H
)
Możemy wyznaczyć n.
Można też wykorzystać ten efekt do pomiaru pola magnetycznego.