I ELEKTROTECHNIKA,LISTA 1

1. Wyznaczy´c punkt, w kt´orym styczna do paraboli f (x) = x

2

jest

a) r´ownolegÃla do prostej y = 4x − 5,

b) prostopadÃla do prostej 2x − 6y + 5 = 0.

2. Funkcja f (x) =

5−x

2

x

4

przyjmuje na ko´ncach przedziaÃlu [-1,1] takie same warto´sci

(sprawdzi´c). Wyznaczy´c punkty, w kt´orych f

0

(x) = 0 i odpowiedzie´c na pytanie,

dlaczego teza twierdzenia Rolla nie jest speÃlniona.

3. Napisa´c wz´or Taylora dla funkcji:

y =

3

√

x, x

0

= −1, n = 4;

y = tan x, x

0

=

π

4

, n = 3.

4. Napisa´c wz´or Maclaurina n-tego rz

,

edu dla funkcji:

(a) y = e

x

,

(b) y = cos x, (wsk. (cos x)

(n)

= cos(x +

nπ

2

)),

(c) y = ln(1 + x), (wsk. (ln(1 + x))

(n)

= (−1)

n−1

(n − 1)!

1

(1+x)

n

).

a nast

,

epnie obliczy´c z dokÃladno´sci

,

a do 0,001:

cos 1/2,

√

e,

ln 1, 05.

5. Wyznaczy´c ekstrema i przedziaÃly monotoniczno´sci danych funkcji:

a) f (x) =

1 − x + x

2

1 + x + x

2

,

b) f (x) =

x

ln x

,

c) f (x) = 2x

2

− ln x,

d) f (x) = ln(x +

√

1 + x

2

),

e) f (x) = −x

2

√

x

2

+ 2, f ) f (x) = x − ln(1 + x

2

).

6. Wyznaczy´c punkty przegi

,

ecia, oraz zbada´c wkl

,

esÃlo´s´c i wypukÃlo´s´c wykres´ow funk-

cji:

a) f (x) =

x

3

1 + x

2

,

b) f (x) = ln(1 + x

2

),

c) f (x) = e

sin x

.

7. Stosuj

,

ac reguÃl

,

e de l’Hospitala obliczy´c granice funkcji:

lim

x→0

ln cos x

x

,

lim

x→0

e

x

− 1

sin x

,

lim

x→0

x − arctan x

x

3

,

lim

x→+∞

x

m

e

x

, m > 0

lim

x→+∞

x sin

a
x

,

lim

x→∞

x(e

1
x

− 1),

lim

x→0

x

2

e

1

x2

,

lim

x→1

µ

x

x − 1

−

1

ln x

¶

,

lim

x→0

+

µ

1

x

¶

tan x

,

lim

x→0

+

x

sin x

,

lim

x→0

+

x

6

1+2 ln x

.

1

8. Zbada´c przebieg zmienno´sci funkcji:

f (x) =

x

3

3 − x

2

,

f (x) = x − 2 arctan x,

f (x) = x

3

e

−x

,

f (x) = x − ln(x + 1),

f (x) =

2
3

x

2

3

√

6x − 7,

f (x) = (x + 1)

3

√

x − 1,

f (x) =

3

q

(x + 1)

2

−

3

q

(x − 1)

2

.

9. Wyznaczy´c warto´s´c najwi

,

eksz

,

a i najmniejsz

,

a funkcji:

(a) f (x) = 2 sin x + sin 2x, x ∈ [0,

3
2

π],

(b) f (x) = x

2

ln x, x ∈ [1, e].

2