Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
1
WYKŁAD
TEORIA PORTFELOWA MARKOWITZA
1. Teoria portfela dwóch spółek
2. Teoria portfela wielu spółek
3. Teoria użyteczności w analizie portfelowej
Harry M. Markowitz
- Portfolio Selection,”Journal Of Finance”, 1952 No. 1
- Portfolio Selection. Efficient Diversification of
Investments, John Wiley & Sons, New York 1959
Nagroda Nobla z Nauk Ekonomicznych–1990 rok
Harry M. Markowitz, Merton M. Miller oraz Williams F.
Sharpe
Za pionierskie prace z teorii ekonomii finansowej
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
2
1. Teoria portfela dwóch spółek
Przykład 1.
Akcje spółki A ( r
A
=10%, s
A
=5%, C
A
=100 zł )
Akcje spółki B ( r
B
=5%, s
B
=2%, C
B
=50 zł )
gdzie: r
A
– oczekiwana stopa zwrotu z akcji A,
s
A
– odchylenie standardowe stopy zwrotu (ryzyko),
C
A
– cena jednej akcji A.
Inwestor dysponuje sumą 2000 zł.
„ Przez portfel papierów wartościowych zawierających
dwie akcje należy rozumieć dowolny zestaw dwóch akcji,
którego wartość wyczerpuje środki inwestora”.
P
1
=( 18 akcji A; 4 akcje B)
P
1
(18
× 100 zł; 4 × 50 zł) = ( 1800 zł, 200 zł)
Oczekiwana stopa zwrotu z portfela akcji – P
1
2000
200
r
1800
r
K
K
K
r
B
A
0
0
1
P
1
⋅
+
⋅
=
−
=
%
5
,
9
%
5
1
,
0
%
10
9
,
0
r
1
,
0
r
9
,
0
r
B
A
P
1
=
⋅
+
⋅
=
+
=
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
3
P
2
(16 akcji A; 8 akcji B)
P
2
( 16
×100 zł; 8×50 zł) = ( 1600 zł; 400zł)
Oczekiwana stopa zwrotu z portfela akcji – P
2
2000
400
r
1600
r
K
K
K
r
B
A
0
0
1
P
2
⋅
+
⋅
=
−
=
%
9
%
5
2
,
0
%
10
8
,
0
r
2
,
0
r
8
,
0
r
B
A
P
2
=
⋅
+
⋅
=
+
=
Oczekiwana stopa zwrotu portfela dwóch akcji
E(R
P
)=E(w
1
R
1
+w
2
R
2
)
E(R
p
)=w
1
E(R
1
)+w
2
E(R
2
)
(1)
r
P
= w
1
r
1
+w
2
r
2
gdzie: r
P
– oczekiwana stopa zwrotu portfela,
w
1
– udział pierwszej spółki w portfelu,
w
2
– udział drugiej spółki w portfelu,
r
1
– oczekiwana stopa zwrotu akcji pierwszej spółki,
r
2
– oczekiwana stopa zwrotu akcji drugiej spółki
w
1
+w
2
=1; 0
≤w
1
≤1; 0≤w
2
≤1
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
4
Efekt portfelowy stopy zwrotu
(2)
min
{r
1
,r
2
} ≤ r
P
≤ max {r
1
, r
2
}
min
{10%, 5%} ≤ r
P
≤ max {10%, 5%}
5%
≤ r
P
≤ 10%
Kowariancja i korelacja zwrotów z inwestycji
Kowariancja stóp zwrotu jest miarą stopnia „wzajemnego ru-
chu w czasie” dwóch stóp zwrotu w stosunku do ich średniej
wartości.
Dodatnia kowariancja oznacza, że stopy zwrotu z dwóch inwe-
stycji zmieniają się w czasie w tym samym kierunku co ich
średnie. Ujemna kowariancja oznacza, że stopy ulegają zmia-
nom w odwrotnym kierunku niż ich średnie.
Cov
(R
1
,R
2
) = E[(R
1
– E(R
1
))(R
2
–E(R
2
))]
(3)
gdzie:
)
r
)(
r
(
p
)
R
,
Cov
2
−
−
=
∑
r
r
R
(
2
k
2
m
1
k
1
k
1
k
1
=
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
5
k
1
r
– k–ta możliwa do osiągnięcia stopa zwrotu akcji
pierwszej spółki,
k
2
r
– k–ta możliwa do osiągnięcia stopa zwrotu akcji
drugiej spółki
p
k
– prawdopodobieństwo osiągnięcia k–tej możliwej
stopy zwrotu
r
1
– oczekiwana stopa zwrotu pierwszej akcji
r
2
– oczekiwana stopa zwrotu drugiej akcji
cov(R
1
, R
2
) – kowariancja stóp zwrotu akcji spółki pierwszej i
drugiej
Współczynnik korelacji
(4)
2
1
2
1
12
s
s
)
R
,
R
(
Cov
=
ρ
gdzie:
ρ
12
– współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji spółki
pierwszej i drugiej
cov(R
1
, R
2
) – kowariancja stóp zwrotu akcji spółki pierwszej i
drugiej
s
1
– odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji spółki
pierwszej
s
2
– odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji spółki
drugiej
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
6
Współczynnik korelacji przyjmuje wartości z przedziału
<-1,1>
i jest miarą siły związku liniowego między stopami zwrotu.
Gdy
ρ
12
=1 lub
ρ
12
= –1, to między stopami zwrotu zachodzi za-
leżności w postaci funkcji liniowej.
Gdy
ρ
12
=0, stopy zwrotu są nieskorelowane
Przykład 2.
Współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji dwóch spółek
Stan rynku Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu akcji 1 Stopa zwrotu akcji 2
k p
k
k
1
r
k
2
r
1 0,2
25% 10%
2 0,2
15% 8%
3 0,3
10% 5%
4 0,2
5%
4%
5 0,1 –10% 3%
r
1
= 11%
r
2
= 6,2%
s
1
= 9,695%
s
2
= 2,441%
Zgodnie z wzorem (3)
cov (R
1
,R
2
) = 0,2(0,25 – 0,11)(0,1 – 0,062) +
+ 0,2(0,15 – 0,11)(0,08 – 0,062) +
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
7
+ 0,3(0,1 – 0,11)(0,05 – 0,062) +
+ 0,2(0,05 – 0,11)(0,04 – 0,062) +
+ 0,2(–0,1 – 0,11)(0,03 – 0,062) +
=
0,00218
921
,
0
02441
,
0
09695
,
0
00218
,
0
12
=
⋅
=
ρ
Oznacza to bardzo silne dodatnie powiązanie stóp zwrotu akcji spółek.
Współczynnik korelacji na podstawie danych z przeszłości.
∑
∑
∑
=
=
=
−
−
−
−
=
ρ
m
1
k
m
1
k
2
2
k
2
2
1
k
1
2
k
2
m
1
k
1
k
1
12
)
r
r
(
)
r
r
(
)
r
r
)(
r
r
(
(5)
gdzie:
m – liczba okresów z przeszłości, z których wykorzystane
są informacje,
k
1
r
– stopa zwrotu pierwszej spółki w k-tym okresie
k
2
r
– stopa zwrotu drugiej spółki w k-tym okresie
1
r
– oczekiwana stopa zwrotu pierwszej spółki
2
r
– oczekiwana stopa zwrotu drugiej spółki
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
8
Wariancja stopy zwrotu portfela P=( w
1
, w
2
)
)
R
,
R
cov(
w
w
2
)
R
(
D
w
)
R
(
D
w
)
R
w
R
w
(
D
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
+
+
=
+
(6)
12
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
P
s
s
w
w
2
s
w
s
w
s
ρ
+
+
=
(7)
12
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
P
cov
w
w
2
s
w
s
w
s
+
+
=
gdzie:
2
P
s
– wariancja stopy zwrotu portfela
s
1
–
odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji pierwszej spółki
s
2
– odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji drugiej spółki
w
1
– udział pierwszej spółki w portfelu
w
2
– udział drugiej spółki w portfelu
ρ
12
–
współczynnik korelacji stóp zwrotu spółki pierwszej i drugiej
cov
12
– kowariancja stóp zwrotu spółki pierwszej i drugiej
Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela
(8)
12
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
P
cov
w
w
2
s
w
s
w
s
+
+
=
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
9
Analiza odchylenia standardowego portfela
1. Jednakowe ryzyko i zwrot, ale różne korelacje
r
1
=0,20 s
1
=0,10
w
1
=0,5
r
2
=0,20 s
2
=0,10
w
2
=0,5
r
P
= 0,5
⋅0,20 +0,5⋅0,20 = 0,20
( stopa zwrotu portfela jest stała)
a)
ρ
12
= 1,00
cov
12
=
ρ
12
⋅s
1
⋅s
2
= 1
⋅0,1⋅0,1= 0,01
b)
ρ
12
= 0,50
cov
12
= 0,5
⋅0,1⋅0,1= 0,005
c)
ρ
12
= 0,00
cov
12
= 0,00
d)
ρ
12
= –0,50
cov
12
= –0,5
⋅0,1⋅0,1= –0,005
e)
ρ
12
= –1,00
cov
12
= –0,01
Po podstawieniu do wzoru (8) otrzymujemy odchylenia stan-
dardowe poszczególnych portfeli.
s
a
= 0,10
s
b
= 0,0866
s
c
= 0,0707
s
d
= 0,05
)
01
,
0
(
5
,
0
5
,
0
2
10
,
0
5
,
0
10
,
0
5
,
0
s
2
2
2
2
e
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
0
)
0050
,
0
(
0050
,
0
s
e
=
−
+
=
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
10
Rys. 2. Relacja ryzyko–zwrot z portfeli o takich samych zwro-
tach i ryzykach, lecz różnych korelacjach
Stopa zwrotu r
e
0,01 0,02 0,03
0,07
0,04
0,05
0,10
0,15
0,20
Ryzyko (odchylenie standardowe)
•
•
•
•
•
a
b
c
d
0,1
0,09
0,08
0,06
0,05
Ryzyko (odchylenie standardowe)
Wniosek 1
Aktywa, które nie są idealnie skorelowane, nie wpływają na
oczekiwaną stopę zwrotu z portfela, lecz redukują jego ryzyko
mierzone odchyleniem standardowym.
Wniosek 2
Dzięki portfelowi z dwoma aktywami mającymi ujemną kore-
lację możemy osiągnąć maksymalne korzyści z dywersyfikacji
(całkowicie eliminujemy ryzyko).
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
11
Przypadek 1 –
ρ
12
=1
⇒ max ryzyko portfela
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
P
s
s
w
w
2
s
w
s
w
s
+
+
=
)
s
s
max(
s
w
s
w
s
)
s
w
s
w
(
s
2
1
2
2
1
1
P
2
2
2
1
1
2
P
≤
+
=
⇒
+
=
Przypadek 2 –
ρ
12
= –1
⇒ min ryzyko portfela
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
P
s
s
w
w
2
s
w
s
w
s
−
+
=
|
s
w
s
w
|
s
)
s
w
s
w
(
s
2
2
1
1
P
2
2
2
1
1
2
P
−
=
⇒
−
=
(9)
|w
1
s
1
–w
2
s
2
|
≤ s
P
≤ max ( s
1
,s
2
)
Efekt portfelowy ryzyka 0
≤s
P
≤0,1
⎢0,5⋅0,1–0,5⋅0,1⎢≤ s
P
≤ max ( 0,1;0,1)
Portfel o zerowym ryzyku
2
1
2
1
s
s
s
w
+
=
2
1
1
2
s
s
s
w
+
=
– optymalne wagi
Portfel o minimalnym ryzyku
w
1
+ w
2
=1 w
2
= 1 – w
1
Wariancję portfela można przedstawić jako funkcję wagi w
1
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
12
12
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
P
s
s
w
w
2
s
w
s
w
s
ρ
+
+
=
(10)
12
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
P
s
s
)
w
1
(
w
2
s
)
w
1
(
s
w
s
ρ
−
+
−
+
=
Funkcja kwadratowa zmiennej w
1
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
13
Rys. 3. Wariancja portfela papierów wartościowych jako funk-
cja udziału w
1
akcji w portfelu
Wariancja
portfela
2
P
s
2
A
s
(11)
(12)
12
2
1
2
2
2
1
12
1
2
1
1
opt
s
s
2
s
s
)
s
s
(
s
w
ρ
−
+
ρ
−
=
2
B
s
•
•
1
s
P
-
opt
w
1
-opt
w
1
(udział akcji pierwszej
w portfelu
optymalny udział akcji A
A (pierwsza akcja)
•
B (druga akcja)
minimalna
wariancja portfela
12
2
1
2
2
2
1
2
12
2
2
)
(
s
s
ρ
=
2
1
2
opt
s
s
2
s
s
1
s
ρ
−
+
−
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
14
Przykład 4 ( portfel dwóch akcji o minimalnym ryzyku)
Na podstawie danych tygodniowych od stycznia 2000roku do
marca 2002 roku
PEKAO
r
1
= 0,0064
s
1
= 0,0447
TP S.A.
r
2
= 0,0032
s
2
= 0,0666
współczynnik korelacji
ρ
12
=0,46
Portfel o nominalnym ryzyku dla tych dwóch spółek:
83
,
0
46
,
0
0666
,
0
0447
,
0
2
)
0666
,
0
(
)
0447
,
0
(
)
46
,
0
0447
,
0
0666
,
0
(
0666
,
0
w
2
2
1
≅
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
−
=
w
2
= 1 – 0,83 = 0,17
Oczekiwana stopa zwrotu portfela
r
p
= 0,83
⋅ 0,0064 + 0,17⋅ 0,0032 = 0,005856
Wariancja portfela
0019
,
0
46
,
0
0666
,
0
0447
,
0
2
0666
,
0
0447
,
0
)
46
,
0
1
(
0666
,
0
0447
,
0
s
2
2
2
2
2
2
P
≅
⋅
⋅
⋅
−
+
−
⋅
=
0436
,
0
0019
,
0
s
P
=
=
(4,36%)
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
15
Analiza odchylenia standardowego portfela
Stała korelacja i zmienne wagi
Inwestycje
E(R
i
) s
i
1. Obligacje
0,10
0,07
2. Akcje
0,20
0,10
Współczynnik korelacji r
12
= 0
Portfel w
1
w
2
E(R
p
) s
p
f 0,00
1,00
0,20
0,1000
g 0,20
0,80
0,18
0,0812
h 0,40
0,60
0,16
0,0662
i 0,50
0,50
0,15
0,0610
j 0,60
0,40
0,14
0,0580
k 0,80
0,20
,012
0,0595
l 1,00
0,00
0,10
0,0700
Portfel – f
E(R
p
) = 0,00
⋅0,10 + 1,00⋅0,20 = 0,00
10
,
0
s
s
s
s
1
p
2
1
2
p
=
=
⇒
=
Portfel – g
E(R
p
) = 0,20
⋅0,10 + 0,80⋅0,20 = 0,18
00
,
0
80
,
0
20
,
0
2
10
,
0
80
.
0
07
,
0
20
,
0
s
2
2
2
2
2
p
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
Prof. Piotr Chrzan
RYNKI FINANSOWE
16
006596
,
0
0
01
,
0
64
.
0
0049
,
0
04
,
0
s
2
p
=
+
⋅
+
⋅
=
0812
,
0
006596
,
0
s
p
=
=
Rys.4 Relacja ryzyko–zwrot portfeli o różnych wagach
r
ij
= 1,00; 0,50; 0,00; –0,50; –1,00
Wniosek 3
Przez dobór odpowiednich proporcji między wagami aktywów
w portfelu możemy zredukować ryzyko portfela mierzone od-
chyleniem standardowym.