Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

1

WYKŁAD

TEORIA PORTFELOWA MARKOWITZA

1. Teoria portfela dwóch spółek

2. Teoria portfela wielu spółek

3. Teoria użyteczności w analizie portfelowej

Harry M. Markowitz

- Portfolio Selection,”Journal Of Finance”, 1952 No. 1

- Portfolio Selection. Efficient Diversification of

Investments, John Wiley & Sons, New York 1959

Nagroda Nobla z Nauk Ekonomicznych–1990 rok

Harry M. Markowitz, Merton M. Miller oraz Williams F.

Sharpe

Za pionierskie prace z teorii ekonomii finansowej

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

2

1. Teoria portfela dwóch spółek

Przykład 1.

Akcje spółki A ( r

A

=10%, s

A

=5%, C

A

=100 zł )

Akcje spółki B ( r

B

=5%, s

B

=2%, C

B

=50 zł )

gdzie: r

A

– oczekiwana stopa zwrotu z akcji A,

s

A

– odchylenie standardowe stopy zwrotu (ryzyko),

C

A

– cena jednej akcji A.

Inwestor dysponuje sumą 2000 zł.

„ Przez portfel papierów wartościowych zawierających

dwie akcje należy rozumieć dowolny zestaw dwóch akcji,

którego wartość wyczerpuje środki inwestora”.

P

1

=( 18 akcji A; 4 akcje B)

P

1

(18

× 100 zł; 4 × 50 zł) = ( 1800 zł, 200 zł)

Oczekiwana stopa zwrotu z portfela akcji – P

1

2000

200

r

1800

r

K

K

K

r

B

A

0

0

1

P

1

⋅

+

⋅

=

−

=

%

5

,

9

%

5

1

,

0

%

10

9

,

0

r

1

,

0

r

9

,

0

r

B

A

P

1

=

⋅

+

⋅

=

+

=

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

3

P

2

(16 akcji A; 8 akcji B)

P

2

( 16

×100 zł; 8×50 zł) = ( 1600 zł; 400zł)

Oczekiwana stopa zwrotu z portfela akcji – P

2

2000

400

r

1600

r

K

K

K

r

B

A

0

0

1

P

2

⋅

+

⋅

=

−

=

%

9

%

5

2

,

0

%

10

8

,

0

r

2

,

0

r

8

,

0

r

B

A

P

2

=

⋅

+

⋅

=

+

=

Oczekiwana stopa zwrotu portfela dwóch akcji

E(R

P

)=E(w

1

R

1

+w

2

R

2

)

E(R

p

)=w

1

E(R

1

)+w

2

E(R

2

)

(1)

r

P

= w

1

r

1

+w

2

r

2

gdzie: r

P

– oczekiwana stopa zwrotu portfela,

w

1

– udział pierwszej spółki w portfelu,

w

2

– udział drugiej spółki w portfelu,

r

1

– oczekiwana stopa zwrotu akcji pierwszej spółki,

r

2

– oczekiwana stopa zwrotu akcji drugiej spółki

w

1

+w

2

=1; 0

≤w

1

≤1; 0≤w

2

≤1

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

4

Efekt portfelowy stopy zwrotu

(2)

min

{r

1

,r

2

} ≤ r

P

≤ max {r

1

, r

2

}

min

{10%, 5%} ≤ r

P

≤ max {10%, 5%}

5%

≤ r

P

≤ 10%

Kowariancja i korelacja zwrotów z inwestycji

Kowariancja stóp zwrotu jest miarą stopnia „wzajemnego ru-

chu w czasie” dwóch stóp zwrotu w stosunku do ich średniej

wartości.

Dodatnia kowariancja oznacza, że stopy zwrotu z dwóch inwe-

stycji zmieniają się w czasie w tym samym kierunku co ich

średnie. Ujemna kowariancja oznacza, że stopy ulegają zmia-

nom w odwrotnym kierunku niż ich średnie.

Cov

(R

1

,R

2

) = E[(R

1

– E(R

1

))(R

2

–E(R

2

))]

(3)

gdzie:

)

r

)(

r

(

p

)

R

,

Cov

2

−

−

=

∑

r

r

R

(

2

k

2

m

1

k

1

k

1

k

1

=

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

5

k

1

r

– k–ta możliwa do osiągnięcia stopa zwrotu akcji

pierwszej spółki,

k

2

r

– k–ta możliwa do osiągnięcia stopa zwrotu akcji

drugiej spółki

p

k

– prawdopodobieństwo osiągnięcia k–tej możliwej

stopy zwrotu

r

1

– oczekiwana stopa zwrotu pierwszej akcji

r

2

– oczekiwana stopa zwrotu drugiej akcji

cov(R

1

, R

2

) – kowariancja stóp zwrotu akcji spółki pierwszej i

drugiej

Współczynnik korelacji

(4)

2

1

2

1

12

s

s

)

R

,

R

(

Cov

=

ρ

gdzie:

ρ

12

– współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji spółki

pierwszej i drugiej

cov(R

1

, R

2

) – kowariancja stóp zwrotu akcji spółki pierwszej i

drugiej

s

1

– odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji spółki

pierwszej

s

2

– odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji spółki

drugiej

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

6

Współczynnik korelacji przyjmuje wartości z przedziału

<-1,1>

i jest miarą siły związku liniowego między stopami zwrotu.

Gdy

ρ

12

=1 lub

ρ

12

= –1, to między stopami zwrotu zachodzi za-

leżności w postaci funkcji liniowej.

Gdy

ρ

12

=0, stopy zwrotu są nieskorelowane

Przykład 2.

Współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji dwóch spółek

Stan rynku Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu akcji 1 Stopa zwrotu akcji 2

k p

k

k

1

r

k

2

r

1 0,2

25% 10%

2 0,2

15% 8%

3 0,3

10% 5%

4 0,2

5%

4%

5 0,1 –10% 3%

r

1

= 11%

r

2

= 6,2%

s

1

= 9,695%

s

2

= 2,441%

Zgodnie z wzorem (3)

cov (R

1

,R

2

) = 0,2(0,25 – 0,11)(0,1 – 0,062) +

+ 0,2(0,15 – 0,11)(0,08 – 0,062) +

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

7

+ 0,3(0,1 – 0,11)(0,05 – 0,062) +

+ 0,2(0,05 – 0,11)(0,04 – 0,062) +

+ 0,2(–0,1 – 0,11)(0,03 – 0,062) +

=

0,00218

921

,

0

02441

,

0

09695

,

0

00218

,

0

12

=

⋅

=

ρ

Oznacza to bardzo silne dodatnie powiązanie stóp zwrotu akcji spółek.

Współczynnik korelacji na podstawie danych z przeszłości.

∑

∑

∑

=

=

=

−

−

−

−

=

ρ

m

1

k

m

1

k

2

2

k

2

2

1

k

1

2

k

2

m

1

k

1

k

1

12

)

r

r

(

)

r

r

(

)

r

r

)(

r

r

(

(5)

gdzie:

m – liczba okresów z przeszłości, z których wykorzystane

są informacje,

k

1

r

– stopa zwrotu pierwszej spółki w k-tym okresie

k

2

r

– stopa zwrotu drugiej spółki w k-tym okresie

1

r

– oczekiwana stopa zwrotu pierwszej spółki

2

r

– oczekiwana stopa zwrotu drugiej spółki

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

8

Wariancja stopy zwrotu portfela P=( w

1

, w

2

)

)

R

,

R

cov(

w

w

2

)

R

(

D

w

)

R

(

D

w

)

R

w

R

w

(

D

2

1

2

1

2

2

2
2

1

2

2

1

2

2

1

1

2

+

+

=

+

(6)

12

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

P

s

s

w

w

2

s

w

s

w

s

ρ

+

+

=

(7)

12

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

P

cov

w

w

2

s

w

s

w

s

+

+

=

gdzie:

2

P

s

– wariancja stopy zwrotu portfela

s

1

–

odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji pierwszej spółki

s

2

– odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji drugiej spółki

w

1

– udział pierwszej spółki w portfelu

w

2

– udział drugiej spółki w portfelu

ρ

12

–

współczynnik korelacji stóp zwrotu spółki pierwszej i drugiej

cov

12

– kowariancja stóp zwrotu spółki pierwszej i drugiej

Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela

(8)

12

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

P

cov

w

w

2

s

w

s

w

s

+

+

=

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

9

Analiza odchylenia standardowego portfela

1. Jednakowe ryzyko i zwrot, ale różne korelacje

r

1

=0,20 s

1

=0,10

w

1

=0,5

r

2

=0,20 s

2

=0,10

w

2

=0,5

r

P

= 0,5

⋅0,20 +0,5⋅0,20 = 0,20

( stopa zwrotu portfela jest stała)

a)

ρ

12

= 1,00

cov

12

=

ρ

12

⋅s

1

⋅s

2

= 1

⋅0,1⋅0,1= 0,01

b)

ρ

12

= 0,50

cov

12

= 0,5

⋅0,1⋅0,1= 0,005

c)

ρ

12

= 0,00

cov

12

= 0,00

d)

ρ

12

= –0,50

cov

12

= –0,5

⋅0,1⋅0,1= –0,005

e)

ρ

12

= –1,00

cov

12

= –0,01

Po podstawieniu do wzoru (8) otrzymujemy odchylenia stan-

dardowe poszczególnych portfeli.

s

a

= 0,10

s

b

= 0,0866

s

c

= 0,0707

s

d

= 0,05

)

01

,

0

(

5

,

0

5

,

0

2

10

,

0

5

,

0

10

,

0

5

,

0

s

2

2

2

2

e

−

⋅

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

0

)

0050

,

0

(

0050

,

0

s

e

=

−

+

=

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

10

Rys. 2. Relacja ryzyko–zwrot z portfeli o takich samych zwro-

tach i ryzykach, lecz różnych korelacjach

Stopa zwrotu r

e

0,01 0,02 0,03

0,07

0,04

0,05

0,10

0,15

0,20

Ryzyko (odchylenie standardowe)

•

•

•

•

•

a

b

c

d

0,1

0,09

0,08

0,06

0,05

Ryzyko (odchylenie standardowe)

Wniosek 1

Aktywa, które nie są idealnie skorelowane, nie wpływają na

oczekiwaną stopę zwrotu z portfela, lecz redukują jego ryzyko

mierzone odchyleniem standardowym.

Wniosek 2

Dzięki portfelowi z dwoma aktywami mającymi ujemną kore-

lację możemy osiągnąć maksymalne korzyści z dywersyfikacji

(całkowicie eliminujemy ryzyko).

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

11

Przypadek 1 –

ρ

12

=1

⇒ max ryzyko portfela

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

P

s

s

w

w

2

s

w

s

w

s

+

+

=

)

s

s

max(

s

w

s

w

s

)

s

w

s

w

(

s

2

1

2

2

1

1

P

2

2

2

1

1

2

P

≤

+

=

⇒

+

=

Przypadek 2 –

ρ

12

= –1

⇒ min ryzyko portfela

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

P

s

s

w

w

2

s

w

s

w

s

−

+

=

|

s

w

s

w

|

s

)

s

w

s

w

(

s

2

2

1

1

P

2

2

2

1

1

2

P

−

=

⇒

−

=

(9)

|w

1

s

1

–w

2

s

2

|

≤ s

P

≤ max ( s

1

,s

2

)

Efekt portfelowy ryzyka 0

≤s

P

≤0,1

⎢0,5⋅0,1–0,5⋅0,1⎢≤ s

P

≤ max ( 0,1;0,1)

Portfel o zerowym ryzyku

2

1

2

1

s

s

s

w

+

=

2

1

1

2

s

s

s

w

+

=

– optymalne wagi

Portfel o minimalnym ryzyku

w

1

+ w

2

=1 w

2

= 1 – w

1

Wariancję portfela można przedstawić jako funkcję wagi w

1

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

12

12

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

P

s

s

w

w

2

s

w

s

w

s

ρ

+

+

=

(10)

12

2

1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

P

s

s

)

w

1

(

w

2

s

)

w

1

(

s

w

s

ρ

−

+

−

+

=

Funkcja kwadratowa zmiennej w

1

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

13

Rys. 3. Wariancja portfela papierów wartościowych jako funk-

cja udziału w

1

akcji w portfelu

Wariancja
portfela

2

P

s

2

A

s

(11)

(12)

12

2

1

2

2

2

1

12

1

2

1

1

opt

s

s

2

s

s

)

s

s

(

s

w

ρ

−

+

ρ

−

=

2

B

s

•

•

1

s

P

-

opt

w

1

-opt

w

1

(udział akcji pierwszej

w portfelu

optymalny udział akcji A

A (pierwsza akcja)

•

B (druga akcja)

minimalna
wariancja portfela

12

2

1

2

2

2

1

2

12

2

2

)

(

s

s

ρ

=

2

1

2

opt

s

s

2

s

s

1

s

ρ

−

+

−

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

14

Przykład 4 ( portfel dwóch akcji o minimalnym ryzyku)

Na podstawie danych tygodniowych od stycznia 2000roku do

marca 2002 roku

PEKAO

r

1

= 0,0064

s

1

= 0,0447

TP S.A.

r

2

= 0,0032

s

2

= 0,0666

współczynnik korelacji

ρ

12

=0,46

Portfel o nominalnym ryzyku dla tych dwóch spółek:

83

,

0

46

,

0

0666

,

0

0447

,

0

2

)

0666

,

0

(

)

0447

,

0

(

)

46

,

0

0447

,

0

0666

,

0

(

0666

,

0

w

2

2

1

≅

⋅

⋅

⋅

−

+

⋅

−

=

w

2

= 1 – 0,83 = 0,17

Oczekiwana stopa zwrotu portfela

r

p

= 0,83

⋅ 0,0064 + 0,17⋅ 0,0032 = 0,005856

Wariancja portfela

0019

,

0

46

,

0

0666

,

0

0447

,

0

2

0666

,

0

0447

,

0

)

46

,

0

1

(

0666

,

0

0447

,

0

s

2

2

2

2

2

2

P

≅

⋅

⋅

⋅

−

+

−

⋅

=

0436

,

0

0019

,

0

s

P

=

=

(4,36%)

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

15

Analiza odchylenia standardowego portfela

Stała korelacja i zmienne wagi

Inwestycje

E(R

i

) s

i

1. Obligacje

0,10

0,07

2. Akcje

0,20

0,10

Współczynnik korelacji r

12

= 0

Portfel w

1

w

2

E(R

p

) s

p

f 0,00

1,00

0,20

0,1000

g 0,20

0,80

0,18

0,0812

h 0,40

0,60

0,16

0,0662

i 0,50

0,50

0,15

0,0610

j 0,60

0,40

0,14

0,0580

k 0,80

0,20

,012

0,0595

l 1,00

0,00

0,10

0,0700

Portfel – f

E(R

p

) = 0,00

⋅0,10 + 1,00⋅0,20 = 0,00

10

,

0

s

s

s

s

1

p

2

1

2
p

=

=

⇒

=

Portfel – g

E(R

p

) = 0,20

⋅0,10 + 0,80⋅0,20 = 0,18

00

,

0

80

,

0

20

,

0

2

10

,

0

80

.

0

07

,

0

20

,

0

s

2

2

2

2

2
p

⋅

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

Prof. Piotr Chrzan

RYNKI FINANSOWE

16

006596

,

0

0

01

,

0

64

.

0

0049

,

0

04

,

0

s

2
p

=

+

⋅

+

⋅

=

0812

,

0

006596

,

0

s

p

=

=

Rys.4 Relacja ryzyko–zwrot portfeli o różnych wagach

r

ij

= 1,00; 0,50; 0,00; –0,50; –1,00

Wniosek 3

Przez dobór odpowiednich proporcji między wagami aktywów

w portfelu możemy zredukować ryzyko portfela mierzone od-

chyleniem standardowym.