mbwyklad11 analiza f id 289928

Zbieżno´

s´

c ci

ag´

ow funkcyjnych

1. Zbieżno´

s´

c punktowa i jednostajna ci

ag´

ow funkcyjnych

Definicja

1.1. Niech E b

edzie ustalonym zbiorem. Ci

ag (f

)

∞

n=1

funkcji

: E

→ R, n ∈ N, nazywamy ci

agiem funkcyjnym. Je´

sli

(x) =

i=1

(x)

dla

∈ E,

(1.1)

to ci

ag funkcyjny (s

)

∞

n=1

nazywamy szeregiem funkcyjnym o wyrazie og´

olnym

i oznaczamy przez

∞

n=1

lub

Definicja

1.2. Niech f

: E

→ R, n ∈ N, oraz f : E → R.

(a) M´

owimy, że ci

ag funkcyjny (f

) jest punktowo zbieżny na zbiorze E

do funkcji f, gdy warunek lim

→∞

(x) = f (x) zachodzi dla każdego

∈ E, tzn. gdy

(

∀ x ∈ E)(∀ ε > 0)(∃ k ∈ N)(∀ n k) |f

(x)

− f(x)| < ε.

(1.2)

Zapisujemy f

→ f. Funkcj

e f nazywamy granic

a punktow

a ci

agu

funkcyjnego (f

(b) M´

owimy, że ci

ag funkcyjny (f

) jest jednostajnie zbieżny na zbiorze

E do funkcji f, gdy

(

∀ ε > 0)(∃ k ∈ N)(∀ n k)(∀ x ∈ E) |f

(x)

− f(x)| < ε.

(1.3)

Zapisujemy f

⇒f. Funkcj

e f nazywamy granic

a jednostajn

a ci

agu

funkcyjnego (f

owimy, że szereg funkcyjny

jest punktowo (odpow. jednostaj-

nie) zbieżny na E, gdy ci

ag funkcyjny (s

)

∞

n=1

dany wzorem (1.1) jest

punktowo (odpow. jednostajnie) zbieżny na E. Granic

e ci

agu (s

)

oznaczamy przez

∞

n=1

i nazywamy sum

a danego szeregu.

Uwaga

1.1.

(a) We wzorach (1.2), (1.3) nier´

owno´

s´

(x)

−f(x)| < ε

można zast

api´

c przez

(x)

−f(x)| ¬ ε i otrzymujemy wtedy warunki

r´

ownoważne.

(b) Z własno´

sci kwantyfikator´

ow (por. tw. 1.1(6), rozdz.I) wnoskujemy,

że (1.3)

⇒(1.2). Zatem ze zbieżno´sci jednostajnej ci

agu f

do f na E

wynika zbieżno´

s´

c punktowa ci

agu f

do f na E.

ecie zbieżno´

sci punktowej i jednostajnej ci

agu (odpow. szeregu)

funkcyjnego można rozszerzy´

c na przypadek, gdy funkcje przyjmuj

warto´

sci w dowolej przestrzeni metrycznej (odpow. unormowanej).

Twierdzenie

1.1. Ci

ag funkcji f

: E

→ R, n ∈ N, jest zbieżny jedno-

stajnie do funkcji f : E

→ R wtedy i tylko wtedy, gdy ci

ag liczbowy (M

)

∞

n=1

ZBIEŻNO´

S ´

C CI

AG ´

OW FUNKCYJNYCH

dany wzorem

= sup

∈E

(x)

− f(x)|,

∈ N,

jest zbieżny do zera.

Dowód. ”

⇒ ” Niech ε > 0. Z założenia mamy

(

∃ k ∈ N)(∀ n k)(∀ x ∈ E) |f

(x)

− f(x)| < ε.

(

∃ k ∈ N)(∀ n k)

sup

(x)

− f(x)| ¬ ε.

Zatem

(

∀ ε > 0)(∃ k ∈ N)(∀ n k) |M

| ¬ ε.

To oznacza, że M

→ 0.

”

⇐ ” Niech ε > 0. Z założenia mamy

(

∃ k ∈ N)(∀ n k)

sup

∈E

(x)

− f(x)| < ε.

(

∀ ε > 0)(∃ k ∈ N)(∀ n k)(∀ x ∈ E) |f

(x)

− f(x)| < ε.

Zatem f

⇒f.

Nast

epuj

acy przykład pokazuje, że ze zbieżno´

sci punktowej ci

agu funk-

cyjnego nie musi wynika´

c jego zbieżno´

s´

c jednostajna.

Przykad

1.1. Niech funkcje f

: [0, 1]

→ R, n ∈ N, b

a dane wzorem

(x) = x

dla x

∈ [0, 1]. W´owczas f

→ f, gdzie

f (x) =

(

dla x

∈ [0, 1)

dla x = 1.

Jednakże dla każdego n

∈ N mamy

= sup

∈[0,1]

(x)

− f(x)| f

√

− f

√

− 0 =

Zatem na mocy twierdzenia 1.1 ci

ag (f

) nie d

aży jednostajnie do f na [0, 1].

Cwiczenie

1.1. Wykaza´

c, że ci

ag funkcji f

(x) = x

− x), x ∈ [0, 1],

∈ N, jest jednostajnie zbieżny do funkcji zerowej na [0, 1].

Cwiczenie

1.2. Niech f

, g

: E

→ R, n ∈ N, oraz f, g : E → R, c ∈ R.

Zał´

ożmy, że f

⇒f oraz g

⇒g na E.

(a) Wykaza´

c, że f

+ g

⇒f + g na E oraz cf

⇒cf na E.

(b) Pokaza´

c na przykładzie, że warunek f

⇒f g na E nie musi zacho-

dzi´

c, że je´

sli każda z funkcji f

, n

∈ N, jest ograniczona na E, to

funkcja f jest ograniczona na E.

Twierdzenie

1.2 (jednostajny warunek Cauchy’ego). Niech f

: E

→ R,

∈ N. Ci

ag (f

) jest zbieżny jednostajnie na E wtedy i tylko wtedy, gdy speł-

nia on jednostajny warunek Cauchy’ego:

(

∀ ε > 0)(∃ k ∈ N)(∀ m, n k)(∀ x ∈ E) |f

(x)

− f

(x)

| < ε.

(JCY)

1. ZBIEŻNO´

S ´

C PUNKTOWA I JEDNOSTAJNA CI

AG ´

OW FUNKCYJNYCH

Dowód. ”

⇒ ” Zał´ożmy, że f

⇒f na E. Niech ε > 0. Z założenia mamy

(

∃ k ∈ N)(∀ n k)(∀ x ∈ E) |f

(x)

− f(x)| < ε/2.

(1.4)

Stosuj

ac (1.4) dla n

k i dla m k, otrzymujemy

(

∀ x ∈ E) |f

(x)

− f

(x)

| ¬ |f

(x)

− f(x)| + |f(x) − f

(x)

| < ε/2 + ε/2 = ε.

Zatem (JCY) zachodzi.

”

⇐ ” Z (JCY) wynika, że (por. tw. 1.1(6), rozdz.I)

(

∀ x ∈ E)(∀ ε > 0)(∃ k ∈ N)(∀ m, n k) |f

(x)

− f

(x)

| < ε.

Zatem dla każdego punktu x

∈ E ci

ag liczbowy (f

(x))

∞

n=1

spełnia (zwykły)

warunek Cauchy’ego w R, wi

ec jest zbieżny do pewnej granicy f (x) (por. tw.

5.2, rozdz.III). W ten spos´

ob okre´

slili´

smy funkcj

e f : E

→ R. Pokażemy, że

⇒f na E. Rozważmy warunek (JCY). W nier´owno´sci |f

(x)

− f

(x)

| < ε

przejd´

zmy do granicy, gdy m

→ ∞. Mamy

(x)

− f(x)| = |f

(x)

− lim

→∞

(x)

| = lim

→∞

(x)

− f

(x)

| ¬ ε.

(Stosujemy tu ci

agło´

s´

c funkcji x

7→ |x| oraz własno´s´c ci

ag´

ow liczbowych

zbieżnych, por. tw. 1.2, rozdz.III). Zatem

(

∀ ε > 0)(∃ k ∈ N)(∀ n k)(∀ x ∈ E) |f

(x)

− f(x)| ¬ ε.

To oznacza, że f

⇒f na E.

Uwaga

1.2. Jednostajny warunek Cauchy’ego dla szeregu funkcyjnego

(gdzie f

: E

→ R dla n ∈ N) ma posta´c

(

∀ ε > 0)(∃ k ∈ N)(∀ m, n k; m > n)(∀ x ∈ E)

i=n+1

(x)

< ε.

Podamy teraz dwa kryteria jednostajnej zbieżno´

sci szereg´

ow funkcyj-

nych.

Twierdzenie

1.3 (kryterium Weierstrassa). Niech f

: E

→ R, n ∈ N.

Zał´

ożmy, że

(

∀ n ∈ N)(∀ x ∈ E) |f

(x)

| ¬ a

(1.5)

przy czym szereg liczbowy

jest zbieżny. Wtedy szereg funkcyjny

jest jednostajnie zbieżny na E.

Dowód. Skoro szereg

jest zbieżny, to spełnia on warunek Cau-

chy’ego (por. tw. 7.2, rozdz.III)

(

∀ ε > 0)(∃ k ∈ N)(∀ m, n k; m > n)

i=n+1

< ε.

(1.6)

Z (1.5) wynika, że a

0 dla n ∈ N, a zatem

m
i=n+1

Pokażemy, że szereg

spełnia (JCY). Niech ε > 0 i dobierzmy k

∈ N

ZBIEŻNO´

S ´

C CI

AG ´

OW FUNKCYJNYCH

według (1.6). Wtedy

(

∀ m, n k; m > n)(∀ x ∈ E)

i=n+1

(x)

i=n+1

(x)

z (1.5)

i=n+1

z (1.6)

ε.

Teraz na mocy tw. 1.2 dostajemy tez

Twierdzenie

1.4 (kryterium Dirichleta). Niech f

: E

→ R dla n ∈ N.

Zał´

ożmy, że

(1) sumy cz

e´

sciowe s

szeregu

tworz

a ci

ag jednostajnie ograniczony,

tzn. (

∃ M > 0)(∀ n ∈ N)(∀ x ∈ E) |s

(x)

| ¬ M,

(2) b

. . . 0,

(3) lim

→∞

= 0.

W´

owczas szreg

jest jednostajnie zbieżny na E.

Dowód. (Por. dow´

od tw. 8.5, rozdz.III.) Niech ε > 0. Z (2) i (3) wynika

istnienie liczby k

∈ N takiej, że

(

∀ n k) b

< ε/(2M ).

Zatem

(

∀ m, n k; m > n + 1)(∀ x ∈ E)

i=n+1

(x)

= (z lematu 8.2, rozdz.III)

−1

i=n+1

− b

i+1

(x) + b

(x)

− b

n+1

(x)

−1

i=n+1

− b

i+1

)

(x)

| + b

(x)

| + b

n+1

(x)

¬ M





−1

i=n+1

− b

i+1

) + b

+ b

n+1





= M (b

n+1

− b

+ b

n+1

)

= 2M b

n+1

< ε.

Je´

sli n

k oraz m = n + 1, to także

i=n+1

(x)

n+1

(x)

| = |b

n+1

(x)

− s

(x))

¬ b

n+1

(

n+1

(x)

| + |s

(x)

|) ¬ 2Mb

n+1

< ε.

Zatem szereg

spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego. To na mocy

twierdzenia 1.2 daje tez

Przykad

1.2.

(1) Szereg

(1/n

) sin nx jest w my´

sl kryterium We-

ierstrassa jednostajnie zbieżny na R, bo

(

∀ n ∈ N)(∀ x ∈ R)

(1/n

) sin nx

¬ 1/n

oraz szereg

(1/n

) jest zbieżny.

1. ZBIEŻNO´

S ´

C PUNKTOWA I JEDNOSTAJNA CI

AG ´

OW FUNKCYJNYCH

(2) Rozważmy szereg

(1/n) sin nx, x

∈ R. Korzystaj

ac z kryterium Diri-

chleta, wykażemy, że szereg ten jest jednostajnie zbieżny na dowolnym
przedziale [a, b] rozł

acznym ze zbiorem T =

{2kπ : k ∈ Z}. Stosuj

wz´

(x) =

k=1

sin kx =

sin(nx/2) sin((n + 1)x/2)

sin(x/2)

dla x /

∈ T

(por. ´

cw. 4.1(c), rozdz.I), zauważmy, że

(

∀ n ∈ N)(∀ x ∈ [a, b]) |s

(x)

| ¬ sup

∈[a,b]

| sin(x/2)|

ozn.

= M.

Ponieważ funkcja x

7→ 1/| sin(x/2)| jest ci

agła na zbiorze zwartym

[a, b] wi

ec na mocy tw. Weierstrassa (wn. 3.1, rozdz.V) mamy M

∈

(0, +

∞). Rol

e ci

agu (b

) w twierdzeniu 1.4 pełni oczywi´

scie ci

(1/n). Wszystkie założenia kryterium Dirichleta s

a spełnione. Zatem

istotnie szereg

(1/n) sin nx jest jednostajnie zbieżny na [a, b].

Definicja

1.3. Niech f

: E

→ R, n ∈ N, oraz f : E → R. Zał´ożmy, że

→ f na E. Je´sli ponadto

(

∀ x ∈ E)(∀ n ∈ N) f

(x)

¬ f

n+1

(x)

(odpow. f

(x)

n+1

(x)),

to piszemy f

% f (odpow. f

& f) i m´owimy, że ci

ag (f

) jest zbieżny

do f punktowo i niemalej

aco (odpow. nierosn

aco) na E. Je´

sli f

% f na

E lub f

& f na E, to m´owimy, że ci

ag (f

) jest zbieżny do f punktowo i

monotonicznie na E.

Twierdzenie

1.5 (Diniego).

Niech E b

edzie przestrzeni

a metryczn

zwart

a i niech (f

) b

edzie ci

agiem funkcji ci

agłych f

: E

→ R, n ∈ N, zbież-

nym punktowo i monotonicznie na E do funkcji ci

agłej f : E

→ R. Wtedy

ag (f

) jest jednostajnie zbieżny do f na E.

Dowód. Zał´

ożmy najpierw, że f

& f na E. Poł´ożmy g

(x) = f

(x)

−

f (x) dla x

∈ E, n ∈ N. W´owczas g

, n

∈ N, s

a funkcjami ci

agłymi na E

oraz g

& 0 na E. Wystarczy je´sli wykażemy, że g

⇒0 na E, bo wtedy

= (g

+ f )

⇒(0 + f ) = f (por. ´cw. 1.1(a)). Przypu´s´cmy, że g

⇒0 na E

nie zachodzi. Zatem istnieje liczba ε

> 0 taka, że dla każdej liczby k

∈ N

można wybra´

c liczb

e naturaln

a m

k oraz punkt x

∈ E takie, że

(

∀ k ∈ N) g

)

(1.7)

Na mocy założenia przestrze´

n E jest zwarta, wi

ec istnieje podci

ag x

→

∈ E. Z (1.7) wynika, że

(

∀ k ∈ N) g

)

(1.8)

Ponieważ g

)

→ 0, wi

ec istnieje liczba l

∈ N taka, że

(

∀ n l

)

) < ε

(1.9)

Skoro m

k dla każdego k ∈ N, to m

→ +∞, a zatem istnieje liczba

∈ N taka, że

(

∀ k k

)

ZBIEŻNO´

S ´

C CI

AG ´

OW FUNKCYJNYCH

ad i z monotoniczno´

sci ci

agu (g

) mamy

(

∀ k k

)

z (1.8)

Zatem lim

→∞

)

. Teraz ze zbieżno´

sci x

→ x

i z ci

agło´

sci

funkcji g

w punkcie x

wnioskujemy, że g

)

, wbrew (1.9).

Je´

sli f

% f na E, to −f

& −f na E i z poprzedniej cz

e´

sci dowodu

mamy

−f

⇒ − f na E, sk

ad f

⇒f na E (por. ´cw. 1.2(b)).

Nast

epuj

acy przykład pokazuje, że założenie zwarto´

sci przestrzeni E w

tw. Diniego jest istotne.

Przykad

1.3. Niech f

(x) =

nx+1

, x

∈ (0, 1), n ∈ N. Funkcje f

, n

∈ N,

a ci

agłe na (0, 1) oraz f

& 0 na (0, 1). Jednakże ci

ag (f

) nie jest jedno-

stajnie zbieżny na (0, 1), bo (por. tw. 1.1)

sup

∈(0,1)

(x)

− 0| f

6→ 0.

2. Jednostajna zbieżno´

s´

c ci

ag´

ow funkcji ci

agłych

Przykład 1.1, w kt´

orym rozważali´

smy ci

ag funkcji f

(x) = x

, x

∈ [0, 1],

∈ N, pokazuje także, że granica punktowo zbieżnego ci

agu funkcji ci

agłych

nie musi by´

c funkcj

a ci

agł

a. Wynika st

ad, że nie wolno swobodnie zamienia´

kolejno´

sci przej´

s´

c granicznych, gdyż w omawianym przykładzie r´

owno´

s´

lim

→∞

lim

→1

−

= lim

→1

−

lim

→∞

jest fałszywa. Taka zamiana przej´

s´

c granicznych jest jednak możliwa przy

odpowiednich założeniach.

Twierdzenie

2.1 (o zamianie kolejno´

sci granic). Niech E

⊂ X, gdzie

hX, ρi jest przestrzeni

a metryczn

a, oraz niech x

∈ X b

edzie punktem sku-

pienia zbioru E. Zał´

ożmy, że ci

ag funkcji f

: E

→ R, n ∈ N, jest jednostaj-

nie zbieżny na E do funkcji f : E

→ R oraz że dla każdego n ∈ N istnieje

sko´

nczona granica lim

→x

(x) = a

. Wtedy istniej

a sko´

nczone granice

lim

→x

f (x), lim

→∞

i zachodzi r´

owno´

s´

lim

→x

f (x) = lim

→∞

(2.1)

(R´

owno´

s´

c (2.1) można zapisa´

c w postaci

lim

→x

lim

→∞

= lim

→∞

lim

→x

(x). )

Dowód. Aby wykaza´

c zbieżno´

s´

c ci

agu (a

), wystarczy udowodni´

c, że

spełnia on warunek Cauchy’ego. Niech ε > 0. Skoro f

⇒f na E, to spełnio-

ny jest jednostajny warunek Cauchy’ego (por. tw. 1.2). Zatem istnieje liczba
k

∈ N taka, że

(

∀ m, n k)(∀ x ∈ E) |f

(x)

− f

(x)

| < ε.

(2.2)

(

∀ m, n k) |a

− a

| =

lim

→x

(x)

− lim

→x

(x)

= lim

→x

(x)

−f

(x)

| ¬ ε.

To oznacza, że ci

ag (a

) spełnia warunek Cauchy’ego w R, a wi

ec istnieje

sko´

nczona granica lim

→∞

= a.

2. JEDNOSTAJNA ZBIEŻNO´

S ´

C CI

AG ´

OW FUNKCJI CI

AGŁYCH

Wykażemy teraz, że lim

→x

f (x) = a, co zako´

nczy dow´

od. Niech ε > 0.

Dla dowolnych x

∈ E i n ∈ N zachodzi nier´owno´s´c

|f(x) − a| ¬ |f(x) − f

(x)

| + |f

(x)

− a

| + |a

− a|.

(2.3)

Ponieważ f

⇒f na E, wi

ec istnieje liczba n

∈ N taka, że

(

∀ n n

)(

∀ x ∈ E) |f(x) − f

(x)

| < ε/3.

(2.4)

Ponieważ a

→ a, wi

ec istnieje liczba m

∈ N taka, że

(

∀ n m

)

− a| < ε/3.

(2.5)

Niech k

= max

, m

}. Ponieważ lim

→x

(x) = a

, wi

ec wi

ec istnieje

liczba δ > 0 taka, że

(

∀ x ∈ E) 0 < ρ(x, x

) < δ

⇒ |f

(x)

− a

| < ε/3.

(2.6)

Niech x

∈ E oraz 0 < ρ(x, x

) < δ. Zastosujmy (2.3) dla n = k

. Sza-

cuj

ac praw

a stron

e nier´

owno´

sci (2.3) według (2.4), (2.5), (2.6), otrzymujemy

|f(x) − a| < ε. Tym samym wykazali´smy, że

(

∀ ε > 0)(∃ δ > 0)(∀ x ∈ E) 0 < ρ(x, x

) < δ

⇒ |f(x) − a| < ε,

tzn. lim

→x

f (x) = a.

Wniosek

2.1. Niech E b

edzie przestrzeni

a metryczn

a. Funkcja f : E

→

aca granic

a jednostajnie zbieżnego na E ci

agu funkcji f

: E

→ R,

∈ N, ci

agłych w punkcie x

(na zbiorze E) jest funkcj

a ci

agł

a w punkcie

(na zbiorze E).

Dowód. Wykażemy ci

agło´

s´

c f w punkcie x

∈ E. Jest ona oczywista

w przypadku, gdy x

∈ E

. Niech wi

ec x

∈ E

. Wtedy ci

agło´

s´

c f

w x

oznacza, że lim

→x

(x) = f

). Zatem na mocy twierdzenia 2.1 mamy

lim

→x

f (x) = lim

→∞

) = f (x

To daje ci

agło´

s´

c funkcji f w x

Rozważmy ustalony przedział[a, b]. Przez C[a, b] oznaczamy przestrze´

unormowan

a wszystkich funkcji rzeczywistych ci

agłych na [a, b], z norm

kfk = sup

∈[a,b]

|f(x)|, f ∈ C[a, b]

(por. przykł. 1.1(3), rozdz.VII).

Twierdzenie

2.2. Zbieżno´

s´

c ci

ag´

ow w C[a, b] jest r´

ownoważna zbież-

no´

sci jednostajnej. Przestrze´

n C[a, b] jest przestrzeni

a Banacha.

Dowód. Pierwsza cz

e´

s´

c tezy wynika bezpo´

srednio z twierdzenia 1.1, bo

dla ci

agu (f

) element´

ow przestrzeni C[a, b] i dla f

∈ C[a, b] mamy

⇒f ⇔ sup

∈[a,b]

(x)

− f(x)| → 0 ⇔ kf

− fk → 0.

Dla dowodu drugiej cz

e´

sci należy wykaza´

c zupełno´

s´

c przestrzeni C[a, b].

Niech wi

ec (f

) b

edzie ci

agiem Cauchy’ego w C[a, b]. Zatem

(

∀ ε > 0)(∃ k ∈ N)(∀ m, n k) kf

− f

k < ε,

ad na mocy definicji normy w C[a, b] otrzymujemy

(

∀ ε > 0)(∃ k ∈ N)(∀ m, n k)(∀ x ∈ [a, b]) |f

(x)

− f

(x)

| < ε.

ZBIEŻNO´

S ´

C CI

AG ´

OW FUNKCYJNYCH

Jest to jednostajny warunek Cauchy’ego dla ci

agu (f

). Z twierdzenia 1.2

wnioskujemy, że f

⇒f na [a, b] dla pewnej funkcji f : [a, b] → R. Z wniosku

2.1 wynika, że funkcja f jest ci

agła na [a, b], tzn. f

∈ C[a, b]. Z pierwszej

e´

sci tezy mamy ponadto

− fk → 0. Zatem ci

ag (f

) jest zbieżny do f

w C[a, b].

Wykażemy teraz, że zbi´

or funkcji wielomianowych obci

etych do [a, b] jest

esty w C[a, b]. Jest to jedna z r´

ownoważnych wersji twierdzenia aproksy-

macyjnego Weierstrassa (tw. 2.4) o tym, że każda funkcja ci

agła na [a, b] jest

granic

a jednostajnie zbieżnego ci

agu wielomian´

ow. Istnieje wiele dowod´

tw. Weierstrassa. My podamy klasyczny dow´

od wykorzystuj

acy wielomiany

Bernsteina.

Definicja

2.1. Niech f : [0, 1]

→ R. Wielomian

(x) =

k=0

− x)

−k

, x

∈ R,

nazywamy n-tym wielomianem Bernsteina funkcji f.

Lemat

2.1. Dla dowolnej liczby x

∈ [0, 1] zachodz

a wzory:

1 =

k=0

− x)

−k

, n = 0, 1, 2, . . . ,

(2.7)

x =

k=0

− x)

−k

, n = 1, 2, . . . ,

(2.8)

nx(1

− x) =

k=0

(nx

− k)

− x)

−k

, n = 2, 3, . . . .

(2.9)

Dowód. Wz´

or (2.7) wynika natychmiast ze wzoru na dwumian Newtona

(´

cw. 4.1(b), rozdz.I) oraz r´

owno´

sci 1

= (x + (1

− x))

Dla dowodu (2.8) we wzorze (2.7) przyjmujemy n

− 1 zamiast n i otrzy-

man

a r´

owno´

s´

c pomnożymy obustronnie przez x. Mamy wtedy

x =

−1

k=0

− 1

k+1

− x)

−1−k

−1

k=0

k + 1

k+1

− x)

−(k+1)

k=1

− x)

−k

ad wynika (2.8) (dla k = 0 odpowiedni składnik po prawej stronie (2.8)

e zeruje).

2. JEDNOSTAJNA ZBIEŻNO´

S ´

C CI

AG ´

OW FUNKCJI CI

AGŁYCH

Dla dowodu (2.9) we wzorze (2.8) przyjmijmy n

− 1 zamiast n i otrzy-

man

a r´

owno´

s´

c pomn´

ożmy obustronnie przez x. Mamy wtedy

− 1

−1

k=0

− 1

k+1

− x)

−1−k

− 1

−1

k=0

k(k + 1)

k + 1

k+1

− x)

−(k+1)

− 1

k=0

− 1)k

− x)

−k

n(n

− 1)x

k=0

k(k

− 1)

− x)

−k

k=0

− x)

−k

−

k=0

− x)

−k

z (2.8)

k=0

− x)

−k

− nx.

i w konsekwencji

n(n

− 1)x

+ nx =

k=0

− x)

−k

(2.10)

Mamy teraz

k=0

(nx

− k)

− x)

−k

= n

k=0

− x)

−k

− 2nx

k=0

− x)

−k

k=0

− x)

−k

z (2.7), (2.8), (2.10)

−2n

+ n(n

−1)x

+ nx =

−nx

+ nx = nx(1

−x).

To ko´

nczy dow´

od wzoru (2.8).

Uwaga

2.1. Wzory (2.7) i (2.8) oznaczaj

a, że wielomiany Bernsteina

dla funkcji f (x) = 1 oraz f (x) = x na [0, 1] s

a odpowiednio r´

owne tym

funkcjom na [0, 1].

Dow´

od twierdzenia Weierstrassa dla funkcji ci

agłych na [0, 1] wynika

wprost z nast

epuj

acej własno´

sci wielomian´

ow Bernsteina:

Twierdzenie

2.3. Dla dowolnej funkcji ci

agłej f : [0, 1]

→ R ci

ag wie-

lomian´

ow Bernsteina (B

)

∞

n=1

jest jednostajnie zbieżny do f na [0, 1].

Dowód. Niech ε > 0. Funkcja f jest jednostajnie ci

agła na [0, 1] (por.

tw. 3.2, rozdz.V), zatem

(

∃ δ > 0)(∀ x, x

∈ [0, 1]) |x − x

| < δ ⇒ |f(x) − f(x

)

| < ε/2.

(2.11)

Ponadto funkcja f jest ograniczona na [0, 1] (por. wn. 3.1, rozdz.V), wi

(

∃ M > 0)(∀ x ∈ [0, 1]) |f(x)| ¬ M.

ZBIEŻNO´

S ´

C CI

AG ´

OW FUNKCYJNYCH

Ustalmy dowoln

a liczb

e n

∈ N. Niech x ∈ [0, 1]. Wtedy

|f(x) − B

(x)

z (2.7)

k=0

f (x)

− x)

−k

−

k=0

− x)

−k

k=0

f (x)

− f

− x)

−k

k=0

f (x)

− f

− x)

−k

(2.12)

Niech k

∈ {0, 1, . . . , n}. Mog

a zaj´

s´

c dwa przypadki:

◦

|x − k/n| < δ, wtedy na mocy (2.11) mamy |f(x) − f(k/n)| < ε/2;

◦

|x − k/n| δ, wtedy

− k

δ,

(nx

− k)

1, wi

f (x)

− f

¬ |f(x)| +

¬ 2M ¬

2M (nx

− k)

Z 1

◦

i 2

◦

wynika, że

(

∀ x ∈ [0, 1])(∀ k ∈ {0, . . . , n})

f (x)

− f

2M (nx

− k)

(2.13)

Zatem

(

∀ x ∈ [0, 1])

f (x)

− B

(x)

z (2.12)

k=0

f (x)

− f

− x)

−k

z (2.13)

k=0

− x)

−k

k=0

(nx

− k)

− x)

−k

z (2.7), (2.9)

x(1

− x) <

(2.14)

Niech n

+ 1. Wtedy n

implikuje n >

, czyli

2M
δ

ε
2

. St

i z (2.14) otrzymujemy

(

∀ n n

)(

∀ x ∈ [0, 1])

f (x)

− B

(x)

= ε.

To oznacza, że B

⇒f na [0, 1].

Cwiczenie

2.1. Niech f

: E

→ R, n ∈ N, oraz f : E → R. Zał´ożmy, że

g : A

→ E. Wykaza´c, że je´sli f

⇒f na E, to (f

◦ g)⇒(f ◦ g) na A.

Twierdzenie

2.4 (aproksymacyjne Weierstrassa). Dla każdej funkcji ci

ag-

łej f : [a, b]

→ R istnieje ci

ag wielomian´

ow (W

)

∞

n=1

zbieżny jednostajnie do

f na [a, b].

3. CAŁKOWANIE I R ´

OŻNICZKOWANIE FUNKCJI GRANICZNYCH

Dowód. Niech f : [a, b]

→ R b

edzie funkcj

a ci

agł

a. Zauważmy, że funkcja

l(x) = a + x(b

− a), x ∈ [0, 1], przekształca [0, 1] na [a, b]. Funkcja g = f ◦ l :

[0, 1]

→ R jest oczywi´scie ci

agła. Z twierdzenia 2.3 wynika, że

⇒g

[0, 1].

ad (por. ´

cw. 2.1) wynika, że

◦ l

−1

)

⇒(g ◦ l

−1

) = f

[a, b].

Wystarczy przyj

a´

c W

= B

◦ l

−1

, n

∈ N, i zauważy´c, że W

jest wielomia-

nem.

Cwiczenie

2.2. Wykaza´

c, że zbi´

or funkcji ci

agłych na [a, b], kt´

orych

wykresami s

a łamane, jest g

esty w przestrzeni C[a, b].

3. Całkowanie i r´

ożniczkowanie funkcji granicznych

Nast

epuj

acy przykład pokazuje, że je´

sli granica f punktowo zbieżnego

na przedziale ci

agu (f

) funkcji całkowalnych jest całkowalna, to jej całka nie

musi by´

c r´

owna granicy ci

agu całek funkcji f

. Nie wolno zatem swobodnie

zamienia´

c kolejno´

sci operacji granicy i całki.

Przykad

3.1. Niech f

(x) = n

x(1

− x

)

oraz f (x) = 0 dla x

∈ [0, 1],

∈ N. Rozważaj

ac przypadki x = 0 oraz x

6= 0, wnioskujemy, że f

→ f na

[0, 1]. Oczywi´

scie

f = 0. Podstawiaj

ac t = 1

− x

, łatwo wyliczamy

2n + 2

→ +∞.

Zatem lim

→∞

lim

→∞

Ponadto granica punktowo zbieżnego ci

agu funkcji całkowalnych na prze-

dziale nie musi by´

c funkcj

a całkowaln

a, co pokazuje poniższe ´

cwiczenie.

Cwiczenie

3.1. Niech (w

)

∞

n=1

edzie ci

agiem wszystkich liczb wymier-

nych przedziału [0, 1]. Wykaza´

c, że je´

sli funkcje f

: [0, 1]

→ R, n ∈ N, s

dane wzorem:

(x) =

(

gdy x

∈ {w

, . . . , w

}

gdy x /

∈ {w

, . . . , w

to f

→ f na [0, 1], gdzie f jest funkcj

a Dirichleta (por. przykł. 4.2(e),

rozdz.IV). Udowodni´

c, że f

∈ R na [0, 1] oraz

= 0 dla każdego n

∈ N.

Jednakże f /

∈ R na [0, 1] (por. przykł. 3.2, rozdz.IX).

Je´

sli ci

ag funkcyjny jest jednostajnie zbieżny, to niedogodno´

sci opisane

w przykładzie 3.1 i ´

cwiczeniu 3.1 zostaj

a usuni

ete.

Twierdzenie

3.1. Zał´

ożmy, że funkcje f

: [a, b]

→ R, n ∈ N, s

a cał-

kowalne w sensie Riemanna na [a, b] oraz ci

ag (f

) jest jednostajnie zbieżny

na [a, b] do funkcji f : [a, b]

→ R. Wtedy funkcja f jest całkowalna w sensie

Riemanna na [a, b], ci

∞

n=1

jest zbieżny oraz

f = lim

→∞

(3.1)

ZBIEŻNO´

S ´

C CI

AG ´

OW FUNKCYJNYCH

Dowód. Niech ε > 0. Skoro f

⇒f na [a, b], to istnieje liczba k ∈ N taka,

że

(

∀ n k)(∀ x ∈ [a, b]) |f

(x)

− f(x)| <

3(b

− a)

(3.2)

Ponieważ f

∈ R na [a, b], wi

ec (por. tw. 1.4, rozdz.IX) istnieje podział

P =

, . . . , x

} przedziału [a, b] taki, że

U (f

, P )

− L(f

, P ) <

(3.3)

Z (3.2) (dla n = k) wynika, że f (x) < f

(x) + ε/(3(b

− a)) dla każdego

∈ [a, b]. St

(

∀ i ∈ {1, . . . , m})

sup

∈[x

−1

]

f (x)

sup

∈[x

−1

]

(x) +

3(b

− a)

Po pomnożeniu przez ∆x

= x

− x

−1

i dodaniu stronami powyższych

nier´

owno´

sci mamy

U (f, P ) =

i=1

sup

∈[x

−1

]

f (x)

∆x

i=1

sup

∈[x

−1

]

(x) +

3(b

− a)

∆x

i=1

sup

∈[x

−1

]

(x)

∆x

= U (f

, P ) +

(3.4)

Podobnie otrzymujemy

L(f, P )

L(f

, P )

−

(3.5)

Mamy wi

U (f, P )

− L(f, P )

z (3.4) i (3.5)

U (f

, P )

− L(f

, P ) +

z (3.3)

ε.

Zatem f

∈ R na [a, b] na mocy twierdzenia 1.4, rozdz.IX.

Dla dowodu (3.1) zauważmy, że

(

∀ n k) |

−

| = |

− f)| ¬

− f|

z (3.2)

3(b

− a)

− a) =

< ε.

Zatem lim

→∞

Wniosek

3.1. Je´

sli f

∈ R na [a, b], n ∈ N, oraz

f (x) =

∞

n=1

(x), x

∈ [a, b],

przy czym szereg

jest jednostajnie zbieżny na [a, b], to f

∈ R na [a, b],

szereg

P R

jest zbieżny oraz

f =

∞

n=1

3. CAŁKOWANIE I R ´

OŻNICZKOWANIE FUNKCJI GRANICZNYCH

Dowód. Niech s

(x) =

n
i=1

(x), x

∈ [a, b]. Wtedy z założenia mamy

⇒f na [a, b]. Oczywi´scie s

∈ R na [a, b] dla n ∈ N. Zatem z tw. 3.1

wynika, że f

∈ R na [a, b] oraz

f =

lim

→∞

z (3.1)

lim

→∞

= lim

→∞

i=1

= lim

→∞

i=1

∞

i=1

Nast

epuj

ace ´

cwiczenie pokazuje, że pochodna f

granicy f ci

agu (f

)

funkcji r´

ożniczkowalnych na przedziale nie musi by´

c r´

owna granicy ci

agu

pochodnych (f

), nawet je´

sli założy´

c, że f

⇒f. Kolejne twierdzenie podaje

warunki, przy kt´

orych tak

a zamian

e operacji granicy i pochodnej wolno

stosowa´

Cwiczenie

3.2. Niech f

(x) = (sin nx)/

√

n oraz f (x) = 0 dla x

∈ R,

∈ N.

(a) Wykaza´

c, że f

⇒f na R.

(b) Zauważy´

c, że f

(0) =

√

→ +∞ 6= 0 = f

(0).

Wida´

c wi

ec, że f

⇒f nie implikuje f

→ f

Twierdzenie

3.2. Niech (f

) b

edzie ci

agiem funkcji rzeczywistych r´

oż-

niczkowalnych na (a, b). Zał´

ożmy, że

◦

ag liczbowy (f

))

∞

n=1

jest zbieżny dla pewnego punktu x

∈ (a, b),

◦

ag funkcyjny (f

) jest jednostajnie zbieżny na (a, b).

Wtedy ci

ag (f

) jest jednostajnie zbieżny na (a, b) do pewnej funkcji

f : (a, b)

→ R, kt´ora jest r´ożniczkowalna na (a, b) i spełnia r´owno´s´c

(x) = lim

→∞

(x), x

∈ (a, b).

Dowód. Aby udowodni´

c, że ci

ag (f

) jest jednostajnie zbieżny, wyka-

żemy, że spełnia on jednostajny warunek Cauchy’ego. Niech ε > 0. Z 1

◦

wynika, że ci

ag (f

))

∞

n=1

spełnia (zwykły) warunek Cauchy’ego, a wi

istnieje liczba k

∈ N taka, że

(

∀ m, n k

)

− f

)

| < ε/2.

(3.6)

Z 2

◦

wynika, że ci

ag (f

) spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, a wi

(

∃ k

∈ N)(∀ m, n k

)(

∀ t ∈ (a, b)) |f

(t)

− f

(t)

| < ε

∗

(3.7)

gdzie ε

∗

= min

{ε, ε/(2(b − a))}.

Niech m, n

oraz ustalmy punkty t, x

∈ (a, b), t 6= x. Stosuj

twierdzenie Lagrange’a o warto´

sci ´

sredniej do funkcji f

− f

na przedziale

domkni

etym o ko´

ncach t, x, znajdziemy punkt ξ w przedziale otwartym o

ko´

ncach t, x, taki, że

|(f

− f

)(t)

− (f

− f

)(x)

| = |(f

− f

)

(ξ)

· (t − x)|

(ξ)

− f

(ξ)

| |t − x|

z (3.7)

∗

|t − x|.

ZBIEŻNO´

S ´

C CI

AG ´

OW FUNKCYJNYCH

Zatem

(

∀ m, n k

)(

∀ t, x ∈ (a, b)) |(f

− f

)(t)

− (f

− f

)(x)

| ¬ ε

∗

|t − x|

(3.8)

(dla t = x ostatnia nier´

owno´

s´

c jest oczywista).

Niech k = max

, k

}. Mamy teraz

(

∀ m, n k)(∀ x ∈ (a, b)) |f

(x)

− f

(x)

¬ |(f

− f

)(x)

− (f

− f

)(x

)

| + |(f

− f

)(x

)

z (3.6) i (3.8)

∗

|x − x

| +

2(b

− a)

|x − x

| +

¬ +

= ε.

To oznacza, że ci

ag (f

) spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego. Istnieje

ec funkcja f : (a, b)

→ R taka, że f

⇒f na (a, b).

Ustalmy punkt x

∈ (a, b). Wykażemy, że istnieje pochodna f

(x). Dla

∈ (a, b) \ {x} okre´slmy

(t) =

(t)

− f

(x)

− x

ϕ(t) =

f (t)

− f(x)

− x

Ponieważ f

(x) istnieje, wi

lim

→x

(t) = f

(x), n

∈ N.

(3.9)

Ponadto

lim

→∞

(t) = lim

→∞

(t)

− f

(x)

− x

f (t)

− f(x)

− x

= ϕ(t).

(3.10)

Zauważmy, że ci

ag (ϕ

) jest jednostajnie zbieżny na (a, b)

\{x}, gdyż spełnia

on tam jednostajny warunek Cauchy’ego:

(

∀ m, n k

)(

∀ t ∈ (a, b) \ {x}) |ϕ

(t)

− ϕ

(t)

|(f

− f

)(t)

− (f

− f

)(x)

|t − x|

z (3.8)

∗

¬ ε.

ad i z (3.10) mamy ϕ

⇒ϕ na (a, b)\{x}. To oraz warunek (3.9) pozwalaj

stosowa´

c twierdzenie 2.1 do ci

agu (ϕ

) na (a, b)

\ {x}. Na mocy tego twier-

dzenia wnioskujemy, że istniej

a sko´

nczone granice lim

→x

ϕ(t), lim

→∞

(x)

oraz s

a one r´

owne. Zatem

(x) = lim

→∞

(x).

Wniosek

3.2. Niech dany b

edzie szereg funkcyjny

, gdzie funkcje

: (a, b)

→ R s

a r´

ożniczkowalne na (a, b). Zał´

ożmy, że:

◦

szereg liczbowy

) jest zbieżny dla pewnego punktu x

∈ (a, b),

◦

szereg funkcyjny

jest jednostajnie zbieżny na (a, b).

Wtedy szereg

jest jednostajnie zbieżny na (a, b) oraz

∞

n=1

(x)

∞

n=1

(x), x

∈ (a, b).

3. CAŁKOWANIE I R ´

OŻNICZKOWANIE FUNKCJI GRANICZNYCH

Dowód. Stosuj

ac twierdzenie 3.2 dla ci

agu funkcyjnego s

n
i=1

∈ N, wnioskujemy, że s

⇒s na (a, b) dla pewnej funkcji s : (a, b) → R.

Zatem s(x) =

∞

n=1

(x) dla x

∈ (a, b). Ponadto z twierdzenia 3.2 wynika,

że

∞

n=1

(x)

= s

(x) = lim

→∞

(x) = lim

→∞

i=1

(x) =

∞

n=1

(x)

dla x

∈ (a, b).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
analizy 2 id 62051 Nieznany
analiza 6 1 id 584986 Nieznany (2)
mbwyklad6 Analiza a
analiza 3 id 59700 Nieznany (2)
analizatory id 62011 Nieznany (2)
analizaf 5 id 61957 Nieznany (2)
Administracja podatkowa w Polsc analiza id 51832
Polityka regionalna analiza id Nieznany
mbwyklad13 analiza h
analizaf 3 id 61954 Nieznany (2)
mbwyklad7 Analiza b
analiza2 id 61920 Nieznany (2)
Projekt zaliczeniowy ANALIZA id Nieznany
analizaf 1 id 61953 Nieznany (2)
AnalizaSciezek id 61987 Nieznany (2)
AnalizaSWOT id 61991 Nieznany (2)
mbwyklad9 Analiza d
analizaf 6 id 61959 Nieznany (2)
mbwyklad8 Analiza c

więcej podobnych podstron