5.5. Zastosowania całek oznaczonych

Całka oznaczona, jako pole trapezu krzywoliniowego

Definicja

Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] oraz przyjmuje wartości nieujemne w tym

przedziale. Trapezem krzywoliniowym nazywamy zbiór punktów, których współrzędne

(x, y) spełniają warunki: a

≤

x

≤

b, 0

≤

y

≤

f(x) (na rysunku figura D).

Zgodnie z określeniem całki oznaczonej mamy:

Twierdzenie

Jeżeli f jest funkcją ciągłą w przedziale [a, b] oraz przyjmuje wartości nieujemne w tym

przedziale (czyli f(x) 0, dla wszystkich x z przedziału [a, b] ), to

dx

)

x

(

f

b

a

∫

jest polem trapezu krzywoliniowego D.

Przykład 1.

Oblicz pole obszaru zawartego między osią OX a wykresem funkcji f(x)= 4

−

x

2

.

Rozwiązanie

Obszar ten jest trapezem krzywoliniowym; określimy go dokładniej.

Zauważ, że 4

−

x

2

x

0

2

=

⇔

=

lub x =

−

2 oraz f(x )

≥

0 dla x

∈

[-2, 2].

Zatem obszar D, o którym mowa w zadaniu określamy następująco:

D = {(x, y): –2

≤

x

≤

2 i 0

≤

y

≤

4 – x

2

}

Przedstawia go rysunek poniżej.

y = f(x)

a

b

x

y

D

Zatem:

pole obszaru D wynosi

|D| =

2

2

3

2

2

2

3

1

4

)

4

((

−

−













−

=

−

∫

x

x

dx

x

=

3

32

.

Przykład 2.

Oblicz pole figury ograniczonej D, której brzeg zawiera się w krzywych o równaniach

y = (2 – x)(x – 4) oraz y = 4(2 – x)(x – 4)

Rozwiązanie

Wygodnie w pierwszej kolejności przedstawić figurę D w układzie współrzędnych.

Figurę D definiujemy następująco:

D = { (x, y): 2

≤

x

≤

4 i (2 – x)( x – 4)

≤

y

≤

2(2 – x)(x – 4) }.

Figura D jest różnicą dwóch trapezów krzywoliniowych:

D

1

= { (x, y): 2

≤

x

≤

4 i 0

≤

y

≤

2(2 – x)( x – 4) }.

D

2

= { (x, y): 2

≤

x

≤

4 i 0

≤

y

≤

(2 – x)( x – 4) }.

Tym samym pole |D| figury D jest różnicą pól figur D

1

i D

2

; |D| = |D

1

| – |D

2

|.

Stąd

|D| =

∫

−

−

4

2

)

4

)(

2

(

2

dx

x

x

−

∫

−

−

4

2

)

4

)(

2

(

dx

x

x

=

y

x

y= (2-x)(x-4)

y= 2(2-x)(x-4)

0

2

4

D

=

∫

−

−

−

−

−

4

2

)]

4

)(

2

(

)

4

)(

2

(

2

[

dx

x

x

x

x

= ponieważ

∫

+

b

a

dx

x

g

x

f

)]

(

)

(

[

=

∫

b

a

dx

x

f

)

(

+

∫

b

a

dx

x

g

)

(

=

∫

−

−

4

2

)

4

)(

2

(

dx

x

x

=

∫

+

−

−

4

2

2

)

4

8

2

(

dx

x

x

x

=

=

4

2

3

2

3

8

3













−

−

x

x

x

= 48 – 32 –

3

64

– 12 + 16 +

3

8

=

3

4

.

Odp. Pole figury D jest równe

3

4

.

Twierdzenie

Niech f będzie funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale [a, b]. Obracając wokół osi

x krzywą będącą wykresem funkcji f otrzymamy pewną powierzchnię . Powierzchnia ta

oraz płaszczyzny o równaniach x = a i x = b, prostopadłe do osi x, wyznaczają bryłę

obrotową V. Objętość bryły obrotowej V =

π

∫

b

a

dx

x

f

.

)

(

2

Przykład 3.

Oblicz pole figury D ograniczonej przedstawionej na rysunku przez zakreskowanie.

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że figura D jest ograniczona łukami parabol o równaniach: y = x

2

oraz x = y

2.

Współrzędne punktów wspólnych parabol znajdujemy rozwiązując układ równań:

y = x

2

i x = y

2.

Stąd x = 1 i y = 1 oraz x = 0 i y = 0.

Parabole mają dwa punkty wspólne O = (0, 0) i A = (1, 1).

Wobec tego pole |D| poszukiwanej figury D jest równe:

|D| =

∫

−

1

0

2

)

(

dx

x

x

=

1

0

3

2

3

3

1

3

2















−

x

x

=

3

2

−

3

1

=

3

1

.

Odp. Pole figury D jest równe

3

1

.

Przykład 3.

Ilość

Q ciepła potrzebna do ogrzania ciała o masie m i cieple właściwym c od temperatury

t

1

, do

t

2

wyraża się wzorem Q = m

∫

2

1

t

t

cdt

.

Załóżmy, że dla pewnego gazu wieloatomowego zależność ciepła właściwego

c od

temperatury

t opisuje związek c = c

0

+

at + bt

2

;

a, b są stałymi specyficznymi dla tego gazu.

Oblicz ilość ciepła

q (cal) potrzebną do ogrzania masy m = 500g tego gazu w zakresie

temperatur od 0

o

C do 60

o

C.

R o z w i ą z a n i e

Zgodnie z warunkami zadania mamy:

q = m

∫

2

1

t

t

cdt

= m

∫

+

+

2

1

)

(

2

0

t

t

dt

bt

at

c

=

= 500

∫

+

+

60

0

2

0

)

(

dt

bt

at

c

= 500

60

0

3

2

0

3

1

2

1









+

+

bt

at

t

c

=

= 500(60

c

0

+ 1800

a+ 72000b).

Odp.

q = 5000(6 c

0

+ 180

a+ 7200b)[cal/g

o

C].

Przykład 4.

Związek między mocą

P obciążenia pewnej maszyny i czasem t wyraża wzór

P =

t

t

t

4

1

2

2

+

+

. Wyznacz energię

E zużytą w ciągu czasu 0

≤

t

≤

10.

Rozwiązanie

E =

∫

10

0

Pdt

=

∫

+

+

10

0

2

)

4

1

2

(

dt

t

t

t

=

[

]

10

0

2

2

2

)

1

ln(

t

t

+

+

= 200+ ln 101.

Przykład 5.

Oblicz pracę zużytą przy wydłużaniu o 0,01m drutu miedzianego długości 5 m i średnicy

0,008m, gdy siłę f opisuje wzór f =

x

l

ES

. Gdzie E oznacza moduł sprężystości- dla

miedzi wynosi on 1200

⋅

10

8

N/m

2

, S pole przekroju drutu, x – przyrost długości,

l –

długość drutu.

Rozwiązanie

Pracę wykonujemy na drodze [0; 0,01]. Uwzględniając dane z zadania mamy:

f =

x

5

10

16

10

1200

6

8

π

−

⋅

⋅

⋅

.

Praca L wynosi:

L =

∫

01

,

0

0

fdx

= 384

⋅

10

3

π

∫

01

,

0

0

xdx

= 384

⋅

10

3

π

x

2

|

0

0,01

= 1,92

π

J.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1.

Oblicz pole figury ograniczonej D, której brzeg zawiera się w krzywych o równaniach:

a) y = 0,5x

2

, y = 0, x = 3, x = – 3 ; b) y = x

2

, y = x

2

+ 2, x = 1, x = 3;

c) y = x

2

+ 6x, x – y + 6 = 0, d) y = x

2

, y = 2 – x

2

;

e) y = x

2

, y

2

= x ; f) y = x

-2

, x = 1, x = 16 .

Zadanie 2.

Oblicz pole figury ograniczonej D, której brzeg zawiera się w krzywych o równaniach:

a) y = x

2

– 3x – 10 , y = 0 ; b) y = x

3

– 6x

2

+8x, y = 0, x = 5 ;

c) y = x(x+1)(x – 2)(x – 3), y = 0 ; d) y = ln x , y = 0 , x = 1, x = e .

Zadanie 3.

Oblicz pole figury D:

a) D = {(x, y}: 0

≤

x

≤

π

i sin x

≤

y

≤

2sin x} ,

b) D = {(x, y}: 2

-1

≤

x

≤

2 i x

2

≤

y

≤

4} ,

c) D = {(x, y}: 1

≤

x

≤

4 i x

-2

≤

y

≤

x} .

Zadanie 4.

Oblicz objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią, która powstaje z obrotu

wokół osi x wykresu funkcji f:

a) f(x) = 3 sin 0,5x w przedziale [0,

π

] ,

b) f(x) = 2 e

2x

w przedziale [0, 1] ,

c) f(x) = 3

2

1 x

−

w przedziale [– 1, 1] .

Wskazówka: Objętość V bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią, która powstaje z

obrotu wykresu funkcji ciągłej y = f(x) w przedziale [a, b] dokoła osi x obliczamy wg

wzoru V =

∫

b

a

dx

x

f

2

)]

(

[

π

.

Zadanie 5.

Oblicz pracę L

AB

, jaką wykona zmienna siła f działająca na punkt P przesuwając go

wzdłuż odcinka od punktu A do B (w przedziale [a, b]) , gdy:

a) f(x) =

5

3

2

+

x

x

, [ 0, 3] , b) f(x) =

2

1

2

−

−

x

x

, [3, 5].

Zadanie 6.

Oblicz zapas towaru w magazynie w przedziale czasu [ 0, 30], wiedząc, że jego ilość w

chwili t określa wzór z(t) = 200 + 30t – t

2

.

Zadanie 7.

Funkcja f opisuje szybkość samochodu w m/s rozpoczynającego ruch wraz z upływem

czasu t w sekundach. Wyznacz łączną drogę, jaką pokonał ten samochód w ciągu a

sekund jazdy, gdy: a) f(t) =

5

4

2

2

+

t

t

, a = 10; b) f(t) = t

2

e

2t

, a = 10 .

Zadanie 8.

Fala przypływu wpływająca w koryto rzeki ma kształt połowy sinusoidalnej fali o

wysokości 2 m i długości 5m. Ile wynosi pole przekroju pionowego tej fali, jeśli ta fala od

brzegu do brzegu ma 100 m. Jaka jest objętość wody, która tworzy tę falę?

Zadanie 9.

„Czarna skrzynka” samolotu zawiera akcelerometr służący do pomiaru przyspieszenia w

m/s

2

poruszającego się samolotu. Wartości pomiaru przyspieszenia w zależności od czasu

t startującego samolotu opisuje funkcja f: t

→

– t

3

+60t

2

–300t – 10 000. Oblicz pole

figury ograniczonej krzywą o równaniu a = f(t) i osiami układu współrzędnych.

Zinterpretuj otrzymaną liczbę.

Odpowiedzi

Zad. 1. : a) 9 , b) 4 , c) 41

3

2

, d) 4 , e)

3

1

, f)

16

15

.

Zad. 2. : a) 62,5 , b) 8 , c)

3

34

, d) 1 .

Zad. 3. : a) 2 , b) 4, 5 , c) 8,25 .

Zad. 4. : a) 4,5

π

2

, b)

π

(e

4

– 1) , c) 18

π

.

Zad. 5. : a)

3

2

(

2

– 5 ) , b) 4+3ln 3.

Zad. 6.: 10 500.

Zad. 7. : a) 100 , b) 45,25e

20

– 0,25.

Zad. 8. :

2

20

m

π

;

3

2000

m

π

.

Zad. 9. : 284 000 .