02 Położenia ciał na sferze

Rozdział 2

Poło˙zenia ciał na sferze

Streszczenie

Kierunki do ciał niebieskich mo˙zna okre´sla´c równnie˙z przy zało˙zeniu, ˙ze ciała te znajduj ˛

a si˛e na

sferze o promieniu równym jedno´sci. Geometria sfery jest geometri ˛

a na zakrzywionej powierz-

chni dwuwymiarowej i w wielu przypadkach ró˙zni si˛e od euklidesowej geometrii na płaszczy´znie.
Elementami sfery wykorzystywanymi w astronomii s ˛

a koła wielkie i skonstruowane z ich po-

moc ˛

a dwuk ˛

aty i trójk ˛

aty sferyczne. W geometrii na sferze koła wielkie pełni ˛

a rol˛e analogiczn ˛

a do

prostych w planimetrii. Suma k ˛

atów wewn˛etrznych w trójk ˛

acie sferycznym jest zawsza wi˛eksza

. Na sferze mog ˛

a istnie´c trójk ˛

aty, w których wszystkie k ˛

aty s ˛

a k ˛

atami prostymi. Elementy

trójk ˛

ata sferycznego spełniaj ˛

a kilka grup równa´n pozwalaj ˛

acych na rozwi ˛

azywanie wielu zagad-

nie´n z zakresu astronomii sferycznej. Do najcz˛e´sciej wykorzystywanych wzorów nale˙z ˛

a wzory

sinusów i cosinusów. Problemy rozwi ˛

azywane w ramach trygonometrii sferycznej daj ˛

a si˛e tak˙ze

uj ˛

a´c w formali´zmie wektorowym.

Poło˙zenie ciała na sferze ustalone jest z pomoc ˛

a dwóch k ˛

atów, azymutalnego

i polarnego

Ka˙zdy układ współrz˛ednych sferycznych wymaga okre´slenia bieguna układu, wzgl˛edem którego
mierzony jest k ˛

, oraz koła wielkiego pełni ˛

acego rol˛e płaszczyzny odniesienia, słu˙z ˛

acej jako

pocz ˛

atek rachuby dwu´sciennego k ˛

ata

W astronomii wykorzystuje si˛e wiele ró˙znych układów współrz˛ednych, st ˛

ad konieczna jest

umiej˛etno´s´c przeliczania współrz˛ednych pomi˛edzy dwoma układami.

Transformacje współ-

rz˛ednych dokonuje si˛e drog ˛

a rozwi ˛

azania odpowiedniego trójk ˛

ata sferycznego albo za pomoc ˛

macierzy obrotu, w szczególno´sci z wykorzystaniem k ˛

atów Eulera.

Słowa kluczowe: sfera niebieska, koło małe, koło wielkie, bieguny koła wielkiego, k ˛

at sferyczny,

dwuk ˛

at sferyczny, trójk ˛

at paralaktyczny, nadmiar sferyczny, współrz˛edne sferyczne, współrz˛edne

prostok ˛

atne, triada ortogonalna, transformacje współrz˛ednych, k ˛

aty Eulera

Poło˙zenia ciał na sferze

2.1

Definicja poło˙ze ´n punktów w przestrzeni

Umawiamy si˛e, ˙ze otaczaj ˛

aca nas przestrze´n jest przestrzeni ˛

a euklidesow ˛

a, trójwymiarow ˛

a, ˙ze

w tej przestrzeni dany jest układ prostok ˛

atnych osi współrz˛ednych

(x;

;

)

rozpi˛ety na trójce

wersorów

Pomi˛edzy wersorami obowi ˛

azuj ˛

a nast˛epuj ˛

ace zale˙zno´sci

(2.1)

Trójk˛e

mo˙zemy uj ˛

a´c w formie macierzy

zwanej triad ˛

[i;

k℄

(2.2)

Jej elementy s ˛

a cosinusami kierunkowymi kierunków

. Transpozycja triady

ma posta´c

(2.3)

Iloczyn

(2.4)

Co poci ˛

aga

, czyli triada

jest macierz ˛

a ortogonaln ˛

Stwierdzenie, ˙ze wektor

opisuje poło˙zenie ciała niebieskiego oznacza, ˙ze do naszej dys-

pozycji s ˛

a trzy składowe

(x;

;

)

, czyli trzy liczby wyznaczone wzgl˛edem triady

. Na pi´smie

wyra˙zamy to stwierdzenie za pomoc ˛

a zapisu

(2.5)

2.2

Elementy geometryczne na sferze

Sfera.
Sfera jest to powierzchnia, której punkty s ˛

a równo odległe od punktu zwanego ´srodkiem sfery.

Je´sli w ´srodku sfery umie´scimy pocz ˛

atek układu współrz˛ednych, to dla punktów poło˙zonych na

sferze jednostkowej b˛edzie

Sfera jest powierzchni ˛

a dwuwymiarowa, sko ´nczon ˛

a ale nieograniczon ˛

a. Geometria sferyczna jest

geometri ˛

a na powierzchni zakrzywionej, jest to geometria dwuwymiarowa znacznie ró˙zni ˛

aca si˛e

A w jaki sposób ustalono orientacj˛e trójki wersorów

? Pytanie to wykracza poza ramy tego wykładu, bowiem

po´srednio dotyczy spraw ostatecznych podobnie jak pytanie — czy najpierw było jajo, czy kura? Poniewa˙z astronomia
nie zajmuje si˛e takimi problemami, dlatego poprzestajemy na tym, ˙ze elementy tej trójki s ˛

a znamymi cosinusami kierunk-

owymi prostych, wzdłu˙z których le˙z ˛

a wersory

2.2 Elementy geometryczne na sferze

Rysunek 2.1: Ilustracja elementów sfery:

jest ´srodkiem sfery, okr ˛

ag przechodz ˛

acy przez punkty

;

tradycyjnie nazwany jest kołem wielkim. Punkty

s ˛

a biegunami koła wielkiego

od euklidesowej geometrii na płaszczy´znie. W szczególno´sci, na sferze nie istniej ˛

a linie proste,

ich rol˛e graj ˛

a okr˛egi tradycyjnie zwane kołami wielkimi.

Koło wielkie.

Ka˙zde przeci˛ecie sfery płaszczyzn ˛

a jest okr˛egiem. Przeci˛ecie sfery płaszczyzn ˛

a przechodz ˛

ac ˛

przez ´srodek sfery jest kołem wielkim, np. koło

z rysunku 2.1. Promie´n koła wielkiego

jest równy promieniowi sfery, a wektory

opisuj ˛

ace poło˙zenia punktów koła wielkiego spełniaj ˛

równanie

(2.6)

gdzie

jest wektorem definiuj ˛

acym jeden z biegunów koła wielkiego. Ko ´nce ´srednicy prostopadłej

do koła wielkiego sfery nazywamy biegunami tego koła. Na rysunku 2.1 biegunami koła wielkiego

s ˛

a punkty

, punkty poło˙zone diametralnie. Zauwa˙zmy, ˙ze dowolne koło wielkie prze-

chodz ˛

ace przez jeden z biegunów

, musi tak˙ze przechodzi´c przez drugi biegun

Dwa punkty sfery, które nie s ˛

a punktami diametralnymi jak np.

, wyznaczaj ˛

a koło

wielkie jednoznacznie, bowiem ł ˛

acznie ze ´srodkiem sfery (punktem

) jednoznacznie okre´slaj ˛

płaszczyzn˛e, której przeci˛ecie ze sfer ˛

a jest kołem wielkim. Na punktach

rozpi˛ete s ˛

a dwa łuki,

mniejszy z nich nazywany lini ˛

a geodezyjn ˛

a, jest najkrótsz ˛

a krzyw ˛

a jak ˛

a mo˙zna na sferze poł ˛

aczy´c

punkty

. Linie geodezyjne, (zwane te˙z odległo´sciami sferycznymi) pełni ˛

a na sferze rol˛e

analogiczn ˛

a jak linie proste w geometrii euklidesowej.

Poniewa˙z promie´n sfery

, długo´s´c łuku koła wielkiego równa jest k ˛

atowi w radianach

jaki ten łuk rozpina wzgl˛edem ´srodka sfery.

Dwuk ˛

at sferyczny.

W wyniku przeci˛ecia tej samej sfery dwoma kołami wielkimi wyznaczone zostan ˛

a cztery obszary

(powierzchnie) zwane dwuk ˛

atami sferycznymi (rysunek 2.2-a). Dwuk ˛

aty przeciwległe s ˛

a parami

przystaj ˛

ace. Dwuk ˛

at sferyczny okre´slony jest k ˛

atem sferycznym, np. k ˛

atem

na rysunku 2.2-a.

K ˛

at ten jest równy k ˛

atowi liniowemu okre´slonemu przez płaszczyzny, na których le˙z ˛

a koła wielkie

tworz ˛

ace dany dwuk ˛

at. Półokr˛egi tych kół wielkich nazywamy bokami dwuk ˛

ata. Na danej sferze,

boki wszystkich dwuk ˛

atów s ˛

a równe i maj ˛

a długo´s´c

, gdzie

jest promieniem sfery.

Pole

Oprócz radianów mo˙zna oczywi´scie u˙zywa´c innych miar k ˛

ata.

Ze wzgl˛edu na do´s´c cz˛este nieporozumienia, warto zapami˛eta´c, ˙ze dwuk ˛

at sferyczny (podobie trójk ˛

at sferyczny) jest

fragmentem powierzchni sfery, a nie k ˛

atem.

Poło˙zenia ciał na sferze

A’

Rysunek 2.2: Dwuk ˛

aty sferyczne: a) cztery dwuk ˛

aty powstaj ˛

a w wyniku przeci˛ecia sfery dwoma

kołami wielkimi; b) dwuk ˛

aty sferyczne s ˛

a w pełni opisane przez promie´n sfery i k ˛

at sferyczny

pwierzchni dwuk ˛

ata sferycznego mo˙zna obliczy´c ze wzoru

gdzie

jest k ˛

atem dwuk ˛

ata wyra˙zonym w radianach.

K ˛

at pomi˛edzy płaszczyznami kół wielkich cz˛esto jest nazywany k ˛

atem sferycznym. O K ˛

acie

sferycznym mo˙zna te˙z powiedzie´c, ˙ze jest to k ˛

at pomi˛edzy stycznymi wystawionymi w punkcie

wzajemnego przeci˛ecia si˛e kół wielkich (patrz rysunek 2.2-b).

Trójk ˛

at sferyczny.

Trzy koła wielkie nie przecinaj ˛

ace si˛e w jednej parze punktów diametralnych tworz ˛

a na sferze

osiem obszarów zwanych trójk ˛

atami sferycznymi (rysunek 2.3-a). Znaj ˛

ac elementy jednego z nich

(czyli trzy boki i trzy k ˛

aty sferyczne, np. łuki

kół wielkich i k ˛

aty wewn˛etrzne

;

łatwo wyznaczy´c elementy wszystkich pozostałych trójk ˛

atów. Dlatego zwykle rozpartuje si˛e

zale˙zno´sci pomi˛edzy elementami tylko jednego trójk ˛

ata, którego wszystkie boki s ˛

a krótsze od

połowy obwodu koła wielkiego. Taki trójk ˛

at sferyczny nosi nazw˛e trójk ˛

ata paralaktycznego lub

trójk ˛

ata eulerowskiego.

Boki trójk ˛

ata sferycznego tradycyjnie oznaczane s ˛

a małymi literami, a ich długo´sci mierzone

s ˛

a za pomoc ˛

a płaskich k ˛

atów k ˛

ata trój´sciennego

, np. na rysunku 2.3

℄AO

Wewn˛etrzne k ˛

aty przy wierzchołkach trójk ˛

ata oznaczane du˙zymi literami

;

mierzone s ˛

k ˛

atami dwu´sciennymi (k ˛

atami sferycznymi) tego samego k ˛

ata trój´sciennego.

Trójk ˛

aty sferyczne eulerowskie maj ˛

a pewne własno´sci wspólne z trójk ˛

atami płaskimi, np.

dowolny bok trójk ˛

ata jest mniejszy od sumy, ale wi˛ekszy od ró˙znicy dwóch boków pozostałych.

Jednak mamy te˙z mi˛edzy nimi istotne ró˙znice, np. w trójk ˛

acie sferycznym suma k ˛

atów wewn˛etrz-

nych nie jest stała, bowiem, ˙ze suma nale˙zy do przedziału

Trójk ˛

at płaski mo˙ze mie´c tylko jeden k ˛

at prosty, trójk ˛

at sferyczny niekoniecznie, mo˙ze mie´c ich

dwa a nawet trzy. Ró˙znica

gdzie nazywanajest nadmiarem sferycznym.

2.2 Elementy geometryczne na sferze

Rysunek 2.3: Trójk ˛

aty sferyczne: a) osiem trójk ˛

atów sferycznych mo˙zna otrzyma´c z przeci˛ecia

trzech kół wielkich; b) Trójk ˛

at paralaktyczny A,B,C rozpi˛ety na trzech wektorach jednostkowych.

Elementy trójk ˛

ata to k ˛

aty wierzchołkowe (k ˛

aty sferyczne)

;

i naprzeciw nich poło˙zone boki

. Zarówno k ˛

aty jak i boki mierzone s ˛

a w jednostkach k ˛

atowych.

kolo male

Rysunek 2.4: Elementy sfery: koło małe

. Jest ono odległe o k ˛

od swego bieguna

Wycinek

koła małego opiera si˛e ramionach

rozwartych o k ˛

. Długo´s´c wycinka

wynosi

sin

Pole powierzchni trójk ˛

ata sferycznego dana jest z pomoc ˛

a formuły

gdzie

jest promieniem sfery wyra˙zonym w radianach.

Koło małe.

´Slad przeci˛ecia sfery płaszczyzn ˛a nie przechodz ˛ac ˛a przez ´srodek sfery jest okr˛egiem, tradycyjnie

zwanym kołem małym. Jego biegunami s ˛

a punkty skrajne ´srednicy sfery wystawionej prostopadle

do płaszczyzny koła małego.

Promie´n koła małego jest zawsze mniejszy od promienia sfery. Na rysunku 2.4 widzimy koło

małe

, równoległe do ´n koło wielkie

oraz ich wspólne w tym przypadku bieguny

Wyprowadzimy formuł˛e na długo´s´c łuku koła małego, cz˛esto stosowan ˛

a w dalszej cz˛e´sci wykładu.

Niech

b˛edzie promieniem koła małego, łuk

jest miar ˛

a odległo´sci koła małego od

Poło˙zenia ciał na sferze

A’

kolo male

Z’

Rysunek 2.5: Sferyczne współrz˛edne biegunowe

(

;

)

punktu

. Współrz˛edna polarna

okre´sla

k ˛

atow ˛

a odległo´s´c punktu

od bieguna

układu współrzednych. Współrz˛edna azymutalna

jest

k ˛

atem dwu´sciennym. Ustala ona k ˛

atow ˛

a odległo´s´c płaszczyzny południka, w którym le˙zy punkt

, od płaszczyzny południka

. Południk

wybrano jako pocz ˛

atek rachuby współrz˛ednej

azymutalnej.

bieguna

. Z trójk ˛

ata płaskiego

wynika

sin

(2.7)

Punkt

koła małego poł ˛

aczmy z biegunem

łukiem koła wielkiego i powstały łuk przedłu˙zmy

do przeci˛ecia z kołem

w punkcie

. Je´sli k ˛

at sferyczny

oznaczymy przez

, to mamy

tak˙ze, ˙ze

. A poniewa˙z odcinki

s ˛

a do siebie równoległe, podobnie

mamy jeszcze, ˙ze k ˛

Zatem długo´s´c łuku

koła małego wynosi

sin

(2.8)

2.3

Sferyczne współrz˛edne biegunowe

W celu ustalenia poło˙zenia punktu na sferze, mo˙zna wykorzysta´c ró˙zne układy współrz˛ednych.
Przykładowo, we´zmy prawoskr˛etny prostok ˛

atny zbiór osi kartezja´nskich

, okre´slonych trójk ˛

wersorów

o pocz ˛

atkach w ´srodku

sfery jednostkowej. Dodatnie kierunki tych osi przeci-

naj ˛

a sfer˛e w punktach

;

, natomiast koła wielkie

;

poło˙zone s ˛

a w płaszczyznach

, odpowiednio, patrz (rysunek 2.5).

Obierzmy na sferze punkt

A(xy

)

, wówczas. dla sfery jednostkowej prawdziwy jest zwi ˛

azek

(2.9)

Czyli jedna z prostok ˛

atnych współrz˛ednych

;

punktu

jest zbyteczna, co oznacza, ˙ze w celu

ustalenia poło˙zenia ciała niebieskiego, tzn. kierunku do tego ciała, wystarczy posłu˙zy´c si˛e dwoma
liczbami.

Obok współrz˛ednych prostok ˛

atnych, praktyce astronomicznej wygodnie jest stosowa´c współ-

rz˛edne biegunowe

;

)

jako bli˙zsze naszemu intuicyjnemu wyczuciu kierunku. Zgodnie z

2.4 Współrz˛edne prostok ˛

atne punktów na sferze

tradycyjn ˛

a definicj ˛

a (patrz rysunek 2.5):

jest współrz˛edn ˛

a radialn ˛

a punktu

jest współrz˛edn ˛

a polarn ˛

a punktu

, jest ona identyczna z k ˛

atem

jest współrz˛edn ˛

a azymutaln ˛

a punktu

równ ˛

a k ˛

atowi dwu´sciennemu pomi˛edzy płasz-

czyzn ˛

i płaszczyzn ˛

Poniewa˙z dla sfery jednostkowej promie´n sfery

, zatem dwie współrz˛edne k ˛

atowe

(

;

)

pełni okre´slaj ˛

a poło˙zenie ciała na sferze: k ˛

jest długo´sci ˛

a łuku

, natomiast

jest k ˛

atem

sferycznym

W celu ustalenia poło˙zenia punktów na całej sferze, wystarczy je´sli współrz˛edne

(

;

)

przyjm ˛

warto´sci nale˙z ˛

ace do dziedziny

(2.10)

Z układem współrz˛ednych sferycznych niekiedy wi ˛

a˙ze si˛e siatk˛e współrz˛ednych, która defin-

iowana jest nast˛epuj ˛

aco:

dla

onst

, krzywe siatki s ˛

a małymi kołami o biegunach w

Z ;

dla

onst

, krzywe siatki s ˛

a półkolami wielkimi przecinaj ˛

acymi si˛e w biegunach

Z ;

Podsumujmy: w celu zdefiniowania jakiegokolwiek układu współrz˛ednych sferycznych musimy
(patrz rysunek 2.5):

dokona´c wyboru bieguna

układu, wzgl˛edem którego mierzona b˛edzie współrz˛edna — k ˛

polarny

dokona´c wyboru koła wielkiego

pełni ˛

acego rol˛e płaszczyzny odniesienia, wzgl˛edem

której mierzony b˛edzie dwu´scienny k ˛

at azymutalny

ustali´c skr˛etno´s´c układu,

poda´c jednostki miary i dziedzin˛e warto´sci k ˛

atów

Wszystkie sferyczne astronomiczne układy współrz˛ednych s ˛

a konstruowane w taki sposób. Ró˙zni ˛

si˛e doborem bieguna i koła odniesienia, mo˙zna ´sród nich napotka´c zarówno układy lewoskr˛etne
jak i prawoskr˛etne, cz˛esto zamiast k ˛

ata polarnego brane jest jego dopełnienie

(

)

, natomiast

warto´sci k ˛

atów podawane s ˛

a w stopniach albo w jednostkach czasu.

Poza tymi ró˙znicami astronomiczne układy współrz˛ednych zawsze stanowi ˛

a realizacje sfer-

ycznych współrz˛ednych biegunowych

(

;

)

omówionych powy˙zej.

2.4

Współrz˛edne prostok ˛

atne punktów na sferze

Pomimo nieodł ˛

acznego nadmiaru (patrz równanie (2.9)), w astronomii sferycznej warto stosowa´c

współrz˛edne kartezja´nskie. Uj˛ete w postaci uporz ˛

adkowanych trójek współrz˛edne te, pozwalaj ˛

nada´c równaniom eleganck ˛

a i uniwersaln ˛

a wektorow ˛

a form˛e.

Poło˙zenia ciał na sferze

Rysunek 2.6: Trójk ˛

at paralaktyczny ABC rozpi˛ety na trójce wektorów jednostkowych

;

Wektor

jest prostopadły do wektorów

;

Je´sli

s ˛

a jednostkowymi wektorami o własno´sciach okre´slonych równaniami (2.1), je´sli

wzdłu˙z tych wersorów zorientowano dodatnie kierunki osi

;

, wówczas zgodnie z równaniem

(2.5) poło˙zenie punktu

A(x;

;

)

na sferze (rysunek 2.5) okre´slone jest za pomoc ˛

a wektora poło˙ze-

nia

(2.11)

gdzie składowe

(x;

;

)

s ˛

a cosinusami kierunkowymi odcinka

, obliczonymi odpowiednio,

wzdłu˙z osi

;

, patrz rysunek 2.5

(2.12)

Pomi˛edzy współrz˛ednymi

;

oraz współrz˛ednymi sferycznymi

;

tego samego punktu

mamy znane zwi ˛

azki

sin

(2.13)

Dowolny problem w astronomii sferycznej mo˙zna rozwi ˛

aza´c za pomoc ˛

a metod trygonometrii sfer-

yczej i współrz˛ednych sferycznych. W czasach przedkomputerowych pozwalało to na uzyski-
wanie rozwi ˛

aza´n oszcz˛ednych pod wzgl˛edem obliczeniowym. Obecnie dawne i nowe problemy

rozwi ˛

azujemy stosuj ˛

ac bardziej ogólne podej´scie wektorowe. Jednak poniewa˙z astronomia jest

nauk ˛

a, w której dane obserwacyjne maj ˛

a inn ˛

a rang˛e ni˙z to ma miejsce np. w fizyce, w pewnych

wypadkach znajomo´s´c metod redukcyjnych jakimi kiedy´s posługiwali si˛e astronomowie jest niezb˛edna,
by przykładowo, obserwacje komety pochodz ˛

ace z odległych epok wykorzysta´c razem z ob-

serwacjami współczesnymi.

2.5

Podstawowe wzory trygonometrii sferycznej

Wyprowadzimy cz˛esto wykorzystywane przez astronomów zwi ˛

azki pomi˛edzy elementami trójk ˛

ata

paralaktycznego. Nasze podej´scie b˛edzie bardziej współczesne: skorzystamy z zale˙zno´sci wek-

2.5 Podstawowe wzory trygonometrii sferycznej

torowych, przy czym składowe wektorów wyrazimy poprzez współrz˛edne sferyczne za pomoc ˛

formuł (2.13).

Niech

b˛edzie trójk ˛

atem sferycznym (rysunek 2.6). Jak wida´c jest on rozpi˛ety na trzech

wektorach jednostkowych

;

. Wybierzmy układ współrz˛ednych

(

;

)

o biegunie w

punkcie

, łuk AB obierzmy za koło wielkie odniesienia miary współrz˛ednej azymutalnej

Po tych ustaleniach: poło˙zenie punktu

okre´slone jest przez

(

, poło˙zenie punktu

przez

(

. A zgodnie z równaniami (2.13) składowe wektorów poło˙ze´n punktów

, wynosz ˛

(sin

;

)

(sin

sin

(2.14)

K ˛

at mi˛edzy

;

jest równy długo´sci boku

trójk ˛

ata sferycznego

;

, a poniewa˙z s ˛

a to

wektory jednostkowe, ich iloczyn skalarny wynosi

Podstawiaj ˛

ac za

prawe strony równa´n (2.14) otrzymamy

sin

(2.15)

Jest to jedna z najbardziej podstawowych formuł trygonometrii sferycznej nazywana wzorem cos-
inusów.

Za pomoc ˛

a tej formuły, drog ˛

a odpowiednich przekształce´n, mo˙zna otrzyma´c dalsze wzory.

Jednak bardziej bezpo´srednio, dwa z nich uzyskamy badaj ˛

ac wektor

. Poniewa˙z k ˛

mi˛edzy wersorami

;

równy jest łukowi

, ich iloczyn wektorowy jest wektorem o długo´sci

sin

skierowanym ku punktowi

poło˙zonemu o

zarówno od

. Jak widzimy na rysunku

2.6, punkt

jest biegunem boku

trójk ˛

ata sferycznego

;

. my´sl tego co powiedziano,

mamy wi˛ec

sin

(2.16)

gdzie

jest wektorem jednostkowym punktu

, Z pomoc ˛

a równa´n (2.14) lew ˛

a stron˛e równania

wektorowego (2.16) mo˙zemy napisa´c w postaci

(sin

sin

(2.17)

Jak widzimy na rysunku 2.6, sferyczne współrz˛edne punktu

wynosz ˛

(

;

)

zatem korzystaj ˛

ac z formuł (2.13) praw ˛

a stron˛e równania (2.16) mo˙zemy wyrazi´c jako

sin

a(sin

;

sin

;

)

(2.18)

Mogliby´smy teraz porówna´c odpowiednie składowe w równaniach (2.17) i (2.18), jednak warto
przedtem pozby´c si˛e sinusów i cosinusów k ˛

atów

Dokonamy tego za pomoc ˛

a zwi ˛

azków mi˛edzy elementami trójk ˛

ata

. W tym celu popa-

trzmy na trójk ˛

at sferyczny

. Skoro

jest biegunem koła wielkiego

, to łuk

jest prostopadły do koła

. St ˛

ad k ˛

at sferyczny

i w trójk ˛

acie sferycznym

ze wzóru cosinusów mamy

sin

(90

)

sin

Komplet wzorów postaci (2.15) daje si˛e otrzyma´c np. poprzez cykliczn ˛

a permutacj˛e symboli abcABC.

Poło˙zenia ciał na sferze

Podstawiaj ˛

ac ten rezultat do składowej

-towej w równaniu (2.18), porównuj ˛

ac j ˛

a ze składow ˛

-tow ˛

a z równania (2.17) otrzymamy

sin

Na mocy symetrii, równanie to mo˙zna uzupełni´c o dodatkowy człon, i w tej pełnej postaci nosi
ono nazw˛e wzoru sinusów

sin

(2.19)

Równo´sci (2.19) wykorzystamy do wyprowadzenia kolejnych wzorów trygonometrii sferycznej.
W trójk ˛

acie sferycznym

z rysunku 2.6, dla boku

i k ˛

ata wierzchołkowego

mocy wzoru sinusów b˛edzie

sin

(90

)

sin

sin(90

)

Kład ˛

ac ten rezultat do y-kowej składowej równania (2.18), przyrównuj ˛

ac j ˛

a ze składow ˛

a y-kow ˛

równania (2.17) otrzymujemy wa˙zny wzór zwany wzorem pi˛ecioelementowym

sin

(2.20)

Pozostałe pi˛e´c wzorów typu (2.20) otrzymamy dzi˛eki odpowiednim permutacjom symboli w
trójk ˛

acie sferycznym

. Np. zmieniaj ˛

ac w ci ˛

agu symboli

b b A

rol˛e

oraz

dostaniemy nast˛epny wzór pi˛ecioelementowy

sin

(2.21)

Z wektorowego równania (2.16) nie otrzymamy ju˙z ˙zadnych nowych formuł. Ostatni wa˙zny wzór
trygonometrii sterycznej tzw. wzór cotangensowy (czterocz˛e´sciowy) mo˙zna wydedukowa´c ze
wzorów cosinusów i sinusów. W tym celu stosujmy wzór cosinusów do boków

trójk ˛

ata

(rysunek 2.6), mamy

sin

Eliminuj ˛

w pierwszym równaniu za pomoc ˛

a prawej strony drugiego równania, podstawia-

j ˛

ac za

sin

odpowiednie wyra˙zenie ze wzoru sinusów dostaniemy

a( os

sin

)

sin

a po podzieleniu obu stron przez

sin

, b˛edzie

sin

a( os

sin

)

Dziel ˛

ac w ostatnim równaniu obie strony przez

sin

otrzymujemy ostatecznie

sin

(2.22)

Istnieje komplet sze´sciu takich wzorów, mo˙zna go wypisa´c odpowiednio permutuj ˛

ac symbole w

trójk ˛

acie sferycznym

2.6 Małe przesuni˛ecie na sferze niebieskiej

X’

90−δ0

90−δ

α−αο

Rysunek 2.7: Małe przesuni˛ecie na sferze niebieskiej. a) Ciało niebieskie uległo drobnemu prze-
suni˛eciu z punktu

, wzdłu˙z koła wielkiego

. b) wersja wektorowa małego przesuni˛e-

cia.

2.6

Małe przesuni˛ecie na sferze niebieskiej

W wielu problemach astronomii sferycznej mamy do czynienia z niewielkimi zmianami poło˙ze´n
ciał niebieskich (tzw. małe przesuni˛ecie). Przyczyny zmian bywaj ˛

a ró˙zne, natomiast same zmi-

any niemal zawsze przebiegaj ˛

a w taki sam sposób, dlatego warto zapozna´c si˛e ze standardowym

opisem małego przesuni˛ecia.

Wielko´s´c przesuni˛ecia mo˙ze by´c ró˙zna, m.in. jest zale˙zna od poło˙zenia obiektu, ale zawsze

przesuni˛ecie odbywa si˛e po kole wielkim ł ˛

acz ˛

acym dany obiekt z jakim´s ustalonym punktem

sfery, wspólnym dla wszystkich obiektów. Np. małe przesuni˛ecie zwane paralaks ˛

a roczn ˛

a, ma

miejsce zawsze wzdłu˙z koła wielkiego zawieraj ˛

acego kierunki ku Sło ´nca i do danego ciała nie-

bieskiego, przesuni˛ecie zwane aberacj ˛

a dobow ˛

a, przebiega po kole wielkim rozpi˛etym na kierunku

do danego ciała i na kierunku do punktu wschodu horyzontu miejsca obserwacji. Wszystkie tego
typu przesuni˛ecia mo˙zna traktowa´c jako szczególne przypadki ogólniejszego małego przesuni˛ecia
opisanego poni˙zej.

Przyjmijmy, ˙ze np. kierunek do gwiazdy

(;

)

z rysunku 2.7a, uległ niewielkiemu prze-

suni˛eciu do punktu

, oraz ˙ze odbyło si˛e to wzdłu˙z koła wielkiego ł ˛

acz ˛

acego

z punktem

(

;

)

. Oznaczmy łuk

przez

a łuk

przez

. Załó˙zmy, ˙ze

jest małym k ˛

atem

dodatnim. Niech dalej b˛edzie, ˙ze przesuni˛ecie

da si˛e wyrazi´c za pomoc ˛

a formułki

sin

(2.23)

gdzie

jest stał ˛

a dodatni ˛

a lub ujemn ˛

a niezale˙zn ˛

a od obranej gwiazdy, co zreszt ˛

a nie jest a˙z tak

wa˙zne dla dalszego wywodu. W ten sposób umówili´smy si˛e, ˙ze interesujemy si˛e przesuni˛eciami,
których wielko´s´c dla danego

, zale˙zy jedynie od odległo´sci obiektu od pewnego punktu wspól-

nego

Niech b˛edzie, ˙ze punkt

ma współrz˛edne

(

dÆ

)

. Poszukamy wyra˙ze´n pozwalaj ˛

cych na obliczenie przyrostów

dÆ

spowodowanych małym przesunieciem

. W celu znalezie-

nia takich zwi ˛

azków, konstruujemy na sferze obiekt geometryczny, najlepiej taki, który ma znane

własno´sci matematyczne (np. trójk ˛

at), i którego elementy b˛ed ˛

a miały zwi ˛

azek z wyst˛epuj ˛

acymi w

naszym problemie wielko´sciami:

dÆ

;

Poło˙zenia ciał na sferze

Poprowad´zmy koło małe o biegunie w

, przechodz ˛

ace przez

, przecinaj ˛

ace

w punkcie

. Mo˙zemy zatem utworzy´c trójk ˛

, dla którego poszukamy wyra˙ze´n na niektóre jego

elementy.

Poniewa˙z

mamy, ˙ze k ˛

. Skoro

(Æ

dÆ

)

, st ˛

ad z równania (2.8), z dokładno´sci ˛

a do wyrazów pierwszego rz˛edu bok

wynosi

sin(90

(Æ

dÆ

))

(Æ

dÆ

)

Drugi bok

dÆ

, bowiem

Poszukamy teraz wyra˙ze´n na długo´sci tych boków, przy czym chcemy by wyst˛epowały w

nich wielko´sci mo˙zliwie bezpo´srednio zwi ˛

azane z parametrami opisuj ˛

acymi małe przesuni˛ecie.

Oznaczmy k ˛

at sferyczny

przez

, wówczas

180

. Ze wzgl˛edu na bardzo

małe rozmiary w stosunku do promienia sfery, trójk ˛

w przybli˙zeniu mo˙zna traktowa´c

jako trójk ˛

at płaski, o k ˛

acie prostym w wierzchołku

. Dla takiego przybli˙zenia, mamy

(180

)

sin(180

)

sin

Kład ˛

ac za

rezultaty uzyskane wcze´sniej, bior ˛

ac równie˙z pod uwag˛e równanie (2.23)

mamy, ˙ze

sin

dÆ

sin

(2.24)

Pozostaje nam jeszcze wyeliminowanie k ˛

atów

z pomoc ˛

a wyra˙ze´n, w których wyst˛epuj ˛

wył ˛

acznie wielko´sci znane tzn.

;

. W tym celu popatrzmy na rysunek 2.7a, na trójk ˛

sferyczny

. Mamy tu, ˙ze

co poci ˛

aga

. Dalej mamy

oraz

. Stosuj ˛

ac do trójk ˛

ata

wzor sinusów

(2.19) i wzór pi˛ecioelementowy (2.21) otrzymamy

sin

sin(90

)

sin(

)

sin

(90

)

sin(90

)

sin(90

)

(90

)

(

)

Podstawiaj ˛

ac prawe strony tych wyra˙ze´n do równa´n (2.24) ostatecznie mamy

sin(

)

dÆ

(sin

(

)

sin

)

(2.25)

Aby te równania zastosowa´c w jakim´s konkretnym przypadku np. do opisu skutków zjawiska
refrakcji, wystarczy poło˙zy´c odpowiedni ˛

a warto´s´c

oraz współrz˛edne

(

;

)

punktu

Opis małego przesuni˛ecia dany równaniami (2.25) mo˙zna równie˙z otrzyma´c w formie wek-

torowej. Niech

b˛edzie wersorem poło˙zenia punktu

(rysunek 2.7b). Poniewa˙z s ˛

a to wektory jednostkowe st ˛

ad wektor

ma długo´s´c

sin

, i

skierowany jest do punktu

na sferze, odległego o

zarówno od

jak i od

. Punkt

jest

wi˛ec biegunem koła wielkiego

Niech kierunek do punktu

opisuje wektor

. By okre´sli´c poło˙zenie punktu

musimy

policzy´c składowe wektora

i w tym celu szukamy zale˙zno´sci, w których ten wektor wyst˛epuje.

Poniewa˙z iloczyn skalarny

, ró˙zniczkuj ˛

ac to wyra˙zenie dostaniemy

(2.26)

Uwaga, nie jest to trójk ˛

at sferyczny!

Wymaga to wyczucia, czyli nosa i dlatego najcz˛e´sciej stosowan ˛

a metod ˛

a rozwi ˛

azywania takich problemów jest metoda

prób i bł˛edów.

2.7 Wektorowe transformacje współrz˛ednych sferycznych

Wynika st ˛

ad, ˙ze wektor

jest prostopadły do

, a skoro przesuni˛ecie odbywa si˛e wzdłu˙z łuku

, to wektor

jest tak˙ze prostopadły do wektora

. Korzystuj ˛

ac z reguły prawej dłoni

mo˙zna przekona´c si˛e, ˙ze

skierowany jest zgodnie z kierunkiem wektora

)

. Mo˙zna te˙z

pokaza´c, ˙ze długo´s´c tego iloczynu wektorowego równa si˛e

sin

. St ˛

ad wektorowy odpowiednik

równania (2.23) ma posta´c

)

(2.27)

Równanie to jest bardziej ogólne ni˙z równanie (2.25), bowiem dotyczy ono dowolnego układu
współrz˛ednych, nie tylko układu równikowego.

2.7

Wektorowe transformacje współrz˛ednych sferycznych

Macierze obrotów i lustrzanych odbi´c

Prostok ˛

atne układy współrz˛ednych definiowane s ˛

a za pomoc ˛

a trójek wzajemnie ortogonalnych

jednostkowych wektorów np.

, patrz rysunek 2.8a. Tak ˛

a trójk˛e mo˙zna uj ˛

a´c w formie macierzy

zwanej triad ˛

a, o rozmiarach

[i;

k℄

(2.28)

W jej kolumnach znajduj ˛

a si˛e kosinusy kierunkowe wersorów

. Wzajemna ortogonalno´s´c

tych wersorów poci ˛

aga ortogonalno´s´c triady

, co łatwo sprawdzi´c z pomoc ˛

a warunku

(2.29)

gdzie

jest macierz ˛

a jednostkow ˛

Współrz˛edne wektora

mog ˛

a by´c podane wzgl˛edem dowolnych układów współrz˛ednych,

czyli innymi słowy wzgl˛edem dowolnych triad, np.

. Je´sli

;

℄

s ˛

a współrz˛ednymi

wektora

wzgl˛edem triady

, mo˙zemy to samo wyrazi´c w postaci

(2.30)

Je´sli

[

;

℄

s ˛

a współrz˛ednymi wektora

wzgl˛edem triady

, to piszemy

(2.31)

Mno˙z ˛

ac lewostronnie równania (2.30) i (2.31) przez

widzimy, ˙ze

(2.32)

Z tego zapisu wynika, ˙ze transformacja składowych

[

;

℄

w składowe

;

℄

mo˙ze by´c

dokonana za po´srednictwem iloczynu macierzy

. Transformacja odwrotna mo˙ze by´c doko-

nana za pomoc ˛

a iloczynu

, b˛ed ˛

acego transpozycj ˛

a poprzedniego iloczynu.

Poło˙zenia ciał na sferze

cos

sin

Rysunek 2.8: a) Wektor

mo˙ze mie´c składowe okre´slone wzgledem wielu trójek wersorów

b) Zwi ˛

azki pomi˛edzy elementami triad ró˙zni ˛

acych si˛e obrotem wokół jednej osi pokrywaj ˛

acej si˛e

z wersorem

. Wersor

mo˙zna otrzyma´c za po´srednictwem wersorów

odkładaj ˛

ac w kierunku

odcinek o długo´sci

po czym w kierunku

odcinek

sin

Wyprowadzimy teraz formuły umo˙zliwiaj ˛

ace pewn ˛

a szczególn ˛

a transformacj˛e współrz˛ednych.

Mianowicie, interesuje nas przeliczenie współrz˛ednych z układu zdefiniowanego prostok ˛

atn ˛

a tri-

ad ˛

[i;

k℄

do układu współrz˛ednych danego triad ˛

[i;

;

℄

, przy czym transforma-

cja

ma posta´c

( os

(sin

(

sin

( os

co oznacza, ˙ze oba układy ró˙zni ˛

a si˛e jedynie o dodatni obrót o k ˛

wokół osi

. A w postaci

dogodniejszej do umacierzowienia zapisu b˛edzie

+0j

+0k

+( os

+(sin

sin

+( os

Zatem, zgodnie z definicj ˛

a triady, triad˛e

mo˙zemy okre´sli´c jako iloczyn macierzowy

;

℄

sin

a wobec tego co pokazano wcze´sniej, transformacji składowych wektora wyznaczonych wzgl˛edem

do składowych podanych wzgl˛edem triady

da si˛e dokona´c za pomoc ˛

a macierzy

, czyli

sin

Mamy zatem nast˛epuj ˛

acy wniosek. Transformacja współrz˛ednych (składowych) wektora

[x;

;

℄

wyznaczonych wzgl˛edem jednego układu, do współrz˛ednych

;

℄

tego˙z wektora wzgl˛e-

dem układu powstałego przez obrót

)

wokół osi

o dodatni k ˛

, mo˙ze by´c dokonana za

Jest to konsekwencj ˛

a ortogonalno´sci obu macierzy.

2.7 Wektorowe transformacje współrz˛ednych sferycznych

pomoc ˛

a formuły

)

(2.33)

gdzie

)

sin

(2.34)

Analogiczne formuły daj ˛

a si˛e wyprowadzi´c dla układów ró˙zni ˛

acych si˛e obrotami o dodatni k ˛

wokół osi

. Odpowiednie macierze transformacyjne oznaczone jako

)

maj ˛

a posta´c

)

sin

(2.35)

)

sin

(2.36)

W przypadku gdy układy współrz˛ednych ró˙zni ˛

a si˛e dwoma lub trzema obrotami, macierz transfor-

macji współrz˛ednych wyznaczona jest jako iloczyn dwóch lub trzech macierzy odpowiadaj ˛

aych

pojedynczym obrotom.

Macierz transformacyjna dla układów ró˙zni ˛

acych si˛e skr˛etno´sci ˛

a (przypadek układów lewo i

prawoskr˛etnych) jest macierz ˛

a modyfikuj ˛

ac ˛

a jedynie współrz˛edn ˛

a y-ow ˛

a (lustrzane odbicie wzgl˛e-

dem płaszczyzny

), ma ona posta´c

(2.37)

W praktyce mo˙zemy napotka´c przypadek takich układów, dla których korzystnym b˛edzie zas-
tosowanie macierzy

, pozwalaj ˛

acej na lustrzane odbicie wzgl˛edem płaszczyzny

czyli na

zmian˛e znaku współrz˛ednej x-owej.

(2.38)

W celu praktycznego zastosowania formuł podanych wy˙zej musimy dysponowa´c wzorami umo˙zli-
wiaj ˛

acymi transformacj˛e współrz˛ednych sferycznych do współrz˛ednych prostok ˛

atnych i odwrot-

nie. Je´sli dane s ˛

a współrz˛edne sferyczne

(u;

)

poło˙zenia ciała niebieskiego,

jest współrz˛edn ˛

azymutaln ˛

a a

jest dopełnieniem do

odległo´sci biegunowej. Odpowiadaj ˛

ace im prostok ˛

atne

składowe wersora poło˙zenia tego ciała wyliczamy ze pomoc ˛

a wzorów

sin

(2.39)

Poło˙zenia ciał na sferze

Rysunek 2.9: Ilustracja k ˛

atów Eulera. Układy współrz˛ednych o wspólnym pocz ˛

atku, mo˙zna trans-

formowa´c jeden w drugi za pomoc ˛

a trzech obrotów o k ˛

aty Eulera.

Zale˙zno´sci odwrotne maj ˛

a posta´c

ar sin

ar tan

(2.40)

przy czym w celu ustalenia wła´sciwej ´cwiartki k ˛

ata

musimy zastosowa´c stosown ˛

a procedur˛e

normuj ˛

ac ˛

Transformacja współrz˛ednych z wykorzystaniem k ˛

atów Eulera.

Za pomoc ˛

a macierzy podanych wy˙zej mo˙zemy z powodzeniem przelicza´c współrz˛edne pomi˛e-

dzy dowolnymi układami. W zale˙zno´sci od potrzeby, formułu transformacyjne b˛ed ˛

a zło˙zeniami

obrotów w okół osi

;

. Jednak przy takim podej´sciu dla ka˙zdego przypadku, kolejno´s´c

obrotów musimy odgadn ˛

a´c sami.

Ale mo˙zliwe jest inne podej´scie, w którym wzajemna orientacja dwóch układów współrz˛e-

dnych okre´slona jest za pomoc ˛

a tzw. k ˛

atów Eulera, natomiast transformacja składa si˛e z trzech

obrotów wzgl˛edem osi w ustalonej, zawsze takiej samej kolejno´sci.

Na rysunku 2.9 widzimy dwa prostok ˛

atne układy współrz˛ednych zorientowane wzgl˛edem

siebie tak, ˙ze ˙zadna para osi tych układów nie jest do siebie wzajemnie równoległa, płaszczyzny

tych układów przecinaj ˛

a si˛e wzdłó˙z kierunku

. Jest to najbardziej ogólny przypadek

je´sli chodzi o orientacj˛e układów.
Na rysunku 2.9 zaznaczono trzy k ˛

aty wykorzystywane do transformacji współrz˛ednych wyznac-

zonych wzgl˛edem obu układów, s ˛

a to:

k ˛

zawarty pomi˛edzy osiami

obu układów,

k ˛

zawarty pomi˛edzy osi ˛

i lini ˛

przeci˛ecia płaszczyzn

obu układów,

k ˛

pomi˛edzy osi ˛

i lini ˛

, liczony jako dodatni od linii

do osi

Transformacja współrz˛ednych

[x;

;

℄

we współrz˛edne

;

℄

, co łatwo odczyta´c z ry-

2.8 Dygresja na temat miary małych k ˛

atów

sunku 2.9, jest zło˙zeniem trzech obrotów

)p(

)r()

(2.41)

A zatem je´sli tylko mamy do dyspozycji k ˛

aty Eulera okre´slaj ˛

ace wzajemn ˛

a orientacj˛e dwóch

dowolnych układów współrz˛ednych kartezja´nskich, to transformacja pomi˛edzy współrz˛ednymi
wzgl˛edem tych układów zawsze b˛edzie miała posta´c równania (2.41).

2.8

Dygresja na temat miary małych k ˛

atów

Analizuj ˛

ac teoretyczne problemy na sferze, wygodnie jest wyra˙za´c k ˛

aty w radianach. Kiedy jed-

nak wykorzystujemy rezultaty analiz, opłaca si˛e stosowa´c inne miary k ˛

atów, np. małe k ˛

aty takie

jak k ˛

at paralaksy najcz˛e´sciej podane s ˛

a w sekundach łuku.

Na podstawie znanej definicji mamy w przybli˙zeniu

206265

(2.42)

Radiany wykorzystywane s ˛

a w przybli˙zeniach małych k ˛

atów, tzn. je´sli warto´sci małych k ˛

atów s ˛

podane w radianach, wówczas dopuszczalne s ˛

a nas˛epuj ˛

ace przybli˙zenia niektórych funkcji try-

gonometrycznych

sin

tan

(2.43)

Z równa´n (2.42), (2.43) wynika, ˙ze

sin

206265

(2.44)

Wyra˙zenie to znakomicie nadaje si˛e do zamiamy radianów na sekundy łuku. Np. je´sli zapis

oznacza liczb˛e sekund w małym k ˛

acie

, to

sin

206265

sin

Jak pami˛etamy, równania (2.25) na zmiany współrz˛ednych w rezultacie małego przesuni˛ecia s ˛

dokładne tylko do rz˛edu pierwszego, dlatego stosuj ˛

ac je nale˙zy liczy´c si˛e z bł˛edem

wynosz ˛

acym

w radianach

)

((k

sin

)

W sekundach łuku

wynosi

002

sin

)

Daje to po˙zyteczn ˛

a formuł˛e na oszacowanie dokładno´sci. Np. dla przemieszcze´n na sferze o

warto´sci

bł ˛

ad formuły pierwszego przybli˙zenia jest rz˛edu

sekundy łuku, co jest do

Kwadrat sinusa znikn ˛

ał gdy˙z trzeba było podzieli´c poprzednie wyra˙zenie przez

sin

Poło˙zenia ciał na sferze

zaniedbania w ka˙zdym przypadku. Dla przesuni˛e´c o wielko´sci

bł ˛

ad ten wynosi około

0:001

co jest jeszcze poni˙zej precyzji najdokładniejszych teleskopów astrometrycznych. Ale dla prze-
suni˛e´c rz˛edu jednej minuty łuku bł˛edy wynosz ˛

a około

0:02

co mie´sci si˛e ju˙z w zakresie precyzji

współczesnych obserwacji optycznych i radiowych. Formuły pierwszego rz˛edu s ˛

a bardzo przy-

datne, ale trzeba je stosowa´c z rozwag ˛

a i to ilo´sciow ˛

Przypu´s´cmy, ˙ze wykorzystuj ˛

ac równania (2.25) stosowano sekundy łuku. Dla jasno´sci umaw-

iamy si˛e, ˙ze

jest w radianach a zapis

oznacza t ˛

a sam ˛

a wielko´s´c podan ˛

a w sekundach łuku.

Poniewa˙z stosujemy ten sam współczynnik zamiany jednostek do obu stron równa´n (2.25),

dÆ

otrzymamy od razu w sekundach zast˛epuj ˛

przez

. St ˛

ad je´sli wyrazimy parametr

sekundach łuku, równania (2.25) w jednostkach praktycznych przyjm ˛

a posta´c

sin(

)

dÆ

(sin

(

)

sin

)

(2.45)

2.9

Zadanka

1. Podaj definicje nast˛epuj ˛

acych poj˛e´c: sfera niebieska, koło wielkie, koło małe, dwuk ˛

at sfer-

yczny, trójk ˛

at sferyczny, nadmiar sferyczny, kat sferyczny, k ˛

at dwu´scienny, k ˛

at trój´scienny.

2. Wykonaj pełne wyprowadzenie równa´n (2.17) i (2.22).

3. Drog ˛

a przestawie´n symboli

ab AB

wypisz pozostałe wzory cosinusów, wzory pi˛ecioele-

mentowe oraz wzory cotangensowe, tak by otrzyma´c komplet podstawowych formuł try-
gonometrii sferycznej.

4. Wykonaj pełne wyprowadzenie równa´n (2.25).

5. Poka˙z, ˙ze długo´s´c wektora

)

wynosi

sin

6. Podaj lepsze przybli˙zenie zale˙zno´sci (2.42).

7. Udowodnij równo´s´c (2.44).

8. Poka˙z, ˙ze warto´s´c k ˛

ata sferycznego na sferze jednostkowej równa si˛e odległo´sci na powierz-

chni sfery pomi˛edzy biegunami kół wielkich tworz ˛

acych ten k ˛

at.

9. Dla ka˙zdego trójk ˛

ata sferycznego

mo˙zna zdefiniowa´c tzw. trójk ˛

at biegunowy

Mianowicie:

jest biegunem boku

tak, ˙ze

definiuje si˛e podobnie.

Poka˙z, ˙ze boki i k ˛

aty obydwu trójk ˛

atów zwi ˛

azane s ˛

a wzorami

180

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
02 OGÓLNY POGLĄD NA ZDROWIE I CHOROBĘid 3432 ppt
Sciaga, Odległość sferyczną między dwoma punktami leżącymi na sferze nazywamy kąt środkowy oparty na
Kopia Sciaga, Odległość sferyczną między dwoma punktami leżącymi na sferze nazywamy kąt środkowy opa
TPL WYK 13 02 25 Płyn na odciski
Wpływ położenia budynku na zapotrzebowanie energii
TPL PRAC 13 02 25 Płyn na odciski
02 Wykonywanie obliczeĹ„ na liczbach przybliĹĽonych, proste zadania(1)id 3492
02 06 Roboty na dachach v1 1
Jednostka wobec położenia narodu na przykładzie Konrada Wallenroda i Kordiana
02.Instrukcja higieny na st. pracy, Haccp-Dokumentacja-przykład
NaTropie 8'02 pazdziernik, ZHP, Na tropie, Rocznik 2002
NaTropie 3'02 maj, ZHP, Na tropie, Rocznik 2002
NaTropie 7'02 wrzesien, ZHP, Na tropie, Rocznik 2002
Ruch roczny Słońca na sferze niebieskiej, StUdiA
2014-15-TRD-T1 02 Pomiar-ruchu-na-skrzyżowaniu formularz, Budownictwo UTP, III rok, VI semestr - DUL
NaTropie 5'02 lipiec, ZHP, Na tropie, Rocznik 2002
02, Wykonywanie obliczeĹ„ na liczbach przybliĹĽonych, proste zadania(1)
02 07 Roboty na duzych wysokosc Nieznany (2)

więcej podobnych podstron