2012

Wykład 6

1

Optyka geometryczna

Literatura: E. Hecht – Optyka – PWN Warszawa 2012

J.K. Jabczyński - Podstawy Optyki Stosowanej Wyd. WAT Wa-wa 2006
M. Gaj – Geometryczna teoria odwzorowań optycznych

- Oficyna Wyd. P.Wr. Wrocław 1999

P.P. Banerjee, T-Ch. Poon - Principles of Applied Optics Ed. IRWIN 1991
J. Petykiewicz – Optyka falowa – PWN Warszawa 1986
D. Meschede – Optics, Light and Lasers – Wiley-VCH
T. Guethner - Podstawy fotografii - PPWK Warszawa 1980

Optyka

2

Historia optyki

Optyka geometryczna (Ray optics)

Opisana przez Euclidesa w Catoptricos, 300 p.n.e.

Początek XVII w.: pierwszy teleskop Galileo Galilei, prawo Snelliusa (Willebrord Snell)
o załamaniu światła (1621)

Pierre de Fermat: Zasada o najkrótszym czasie, 1657

Koniec XVII w: Sformułowanie teorii o naturze światła jako fali i wyjaśnienie zjawisk odbicia i

załamania przez Christiana Huygensa
1704: Korpuskularna natura światła (światło jako poruszające się cząstki) w wyjaśnianiu

odbicia, rozproszenia, załamania przez Izaaka Newtona, która przesłoniła wkład Huygensa.
Początek XIX w. Thomas Young wyjaśnia interferencję poprzez opis światła jako zwartych fal

Równania Maxwella (1864) ― Światło jako fala elektromagnetyczna (James Clerk Maxwell)

Ale co z emisją i absorpcją?

Odpowiedzi udziela teoria kwantowa: światło jako fotony.

1900: Max Plank przedstawia kwantową teorię światła.
1905: Albert Einstein poszerza tę ideę i demonstruje efekt fotoelektryczny: światło zachowuje się

jak cząstki z energią

E = hν

1925-1935: Rozwój mechaniki kwantowej prowadzi do wyjaśnienia dualności światła:

fala-cząstka

Lata 1950-te: teorie komunikacji i informacji
1960 Pierwszy laser Ne-He

Optyka

3

Optyka to …

- nauka o promieniowaniu elektromagnetycznym w zakresie fal widzialnych (światło)
i w ich sąsiedztwie (IR i UV). Można ją podzielić na trzy działy:
- propagację
- źródła,
- detektory.
Światło można zatem opisywać jako:
- promień o kierunku przepływu energii,
- falę z czasowo-przestrzenną zależnością sprzężonych wektorów pola elektrycznego
i magnetycznego,
-oraz foton o określonej dyskretnej energii.

Opis za pomocą promieni jest ograniczony do prostej analizy propagacji i efektów
w elementach optycznych, związanych z przejściem przez granicę ośrodków, czyli soczewek i
zwierciadeł.
Opis elektromagnetyczny jest właściwy dla szerokiej analizy propagacji, emisji i absorpcji.
Opis kwantowy jest najczęściej używany do analizy oddziaływań światła z materią,
w szczególności z półprzewodnikami (działanie laserów i detektorów).

Optyka

4

Rodzaje analizy optycznej:

Optyka promieni (Ray Optics) – geometryczne przedstawienie propagacji światła
od przedmiotu do obrazu

Optyka falowa (Electromagnetic (EM) Optics) – albo: fizyka optyczna, czyli opis
zjawisk optycznych za pomocą równań Maxwella (ograniczeniem jest ilość fotonów).

Optyka kwantowa (Quantum Optics) – najbardziej ogólny opis zachowania światła
za pomocą fotonów, czyli pakietów energii promienistej definiowanych
przez mechanikę kwantową.

Optyka

5

W układach optycznych:

Charakterystyka światła może być zmieniona, gdy ono przechodzi przez ośrodek
optyczny albo gdy pada na powierzchnię rozgraniczającą dwa ośrodki.

W prostym układzie optycznym poniżej strumień świała przemieszcza się przez

dwie soczewki oraz światłowód i wpada do oka ludzkiego. Soczewki zmieniają kierunek
światła w ten sposób, że ono jest zbierane przez światłowód i kierowane do oka.

Światłowód wyznacza drogę propagacji światła.

W ogólności, zmiany w propagacji światła mogą być aktywne, w których właściwości
ośrodków zależą od parametrów zewnętrznych np. pól EM.

Zmiany bierne zależą nierozłącznie od samych ośrodków.

Mogą to być zmiany kierunku, polaryzacji fali optycznej, strat energetycznych i
wzmocnienia sygnału optycznego.

Prosty układ optyczny

Optyka

6

Zmiany kierunku światła

Odbicie (reflection) – szczególny powrót światła (jak w lustrze)
padającego na niektóre ośrodki.

Załamanie (refraction) – zagięcie padającego pod dowolnym kątem
światła przechodzącego przez różne ośrodki

Ugięcie (diffraction) – odchylenie od liniowej drogi światła, nie wynikające
z odbicia lub ugięcia.

Rozproszenie (scattering) – zmiany w rozkładzie przestrzennym fali
na skutek oddziaływania powierzchni lub niejednorodnego ośrodka.
(zwykle odnosi się to do mikronieregularności (chropowatości) powierzchni
lub ośrodka, opisane statystycznie

Optyka

7

Interferencja (interference) - regularne wzmocnienie i tłumienie zachodzących
na siebie fal. Ten efekt nie wymaga udziału ośrodka i może wystąpić także w próżni.

Opóźnienie (retardation) – redukcja prędkości fazowej podczas propagacji fali
w ośrodku.

Dyspersja (dispersion) – rozdzielenie składowych fal tworzących wiązkę
na skutek zmian prędkości wraz z długością fali



.

Inne bierne zmiany

Optyka

8

Zmiany w natężeniu strumienia

(irradiancji) światła

Absorpcja (absorption) – straty wynikające z konwersji energii przy przejściu światła
przez różne materiały (jest to zwykle efekt bierny, ale może być też aktywny).

Wzmocnienie (amplification – gain); wzrost irradiancji fali przy przemieszczaniu się
przez aktywny ośrodek optyczny – bez znacznego zniekształcenia czoła fali.

Emisja (emission) - konwersja energii elektrycznej lub cieplnej w światło.

Optyka

9

Zmiany aktywne światła

Elektrooptyka (Electro-optics EO) – technologia, która używa pól elektrycznych
o niższej częstotliwości do kontroli promieniowania optycznego;
przyrządy EO przekształcają sygnały elektryczne w optyczne – i odwrotnie:
diody laserowe i fotodiody.

Akustooptyka (Acousto-optics AO) – technologia, która wykorzystuje oddziaływania
pomiędzy falami dźwiękowymi i promieniowaniem optycznym, zwykle do kontroli
kierunku propagacji fal optycznych.

Magnetooptyka (Magneto-optics) – technologia, która używa pól magnetycznych
do kontroli promieniowania optycznego

Optyka nieliniowa ( Nonlinear optics - NL) – technologia, w której promieniowanie
optyczne w bardzo złożony sposób oddziałuje z materiałami, zmieniając amplitudę,
częstotliwość, itp. fal optycznych.

Optyka

10

Znaki (ikony) optyczne

Źródło (ogólnie)

Detektor (ogólnie)

Źródło żarowe (żarówka)

Oko ludzkie

LED

Laser

Film fotograficzny

Fotodioda

Optyka

11

Prędkość światła

Promień światła: ścieżka (droga), wzdłuż której energia świetlna jest przenoszona
z jednego punktu do drugiego w układzie (systemie) optycznym.

Prędkość światła (prędkość światła w próżni): podstawowa (albo „dobrze
zdefiniowana”) stała w przyrodzie c = 299 792 458 m/s = 186 300 miles/second.

Współczynnik załamania

n

: stała związana z każdym materiałem (ośrodkiem),

definiowana jako

gdzie:

c

– prędkość światła w próżni,

v

- prędkość światła w ośrodku materialnym.

c

n

v



Na przykład:

ośrodek/materiał

współczynnik n

prędkość światła v

absolutna próżnia

n=1

v=c

powietrze n=1,0003 v=0,9997c

woda n=1,33 v=0,75c
szkło 1,4<n<1,8 0,56c<v<0,71c

diament n=2,4 v=0,42c

krzem n=3,5 v=0,29c

Optyka

12

Długość drogi optycznej

Długość drogi optycznej OPL (OPtical Length) w ośrodku jest całką współczynnika
załamania i różniczkowej drogi optycznej:

b

a

OPL

nds





ds

b

a

1

1

m

i i

i

t

n s

c







1

m

i i

i

OPL

n s







 

P

S

OPL

n s ds





P

S

c

OPL

ds

v





n

1

n

2

n

m

S

P

n

3

n…

…

Optyka

13

Zasada Fermata:

Promienie światła przemieszczają się z punktu A do punktu B
w ośrodku wzdłuż drogi, po której osiągają najkrótszy czas propagacji.

x

y

A(x

1

, y

1

)

B(x

3

, y

3

)

(0, y

2

)



r



i

















2

2

2

2

1

2

1

3

3

2

AB

OPL

n

x

y

y

n

x

y

y































 









2

1

3

2

2

2

2

2

2

1

2

1

3

3

2

1

1

2

2

1

2

2

0

AB

n

y

y

n

y

y

dOPL

dy

x

y

y

x

y

y

 



 















































2

1

3

2

2

2

2

2

1

2

1

3

3

2

0

n y

y

n y

y

x

y

y

x

y

y





















0

sin

sin

i

r

n

n









sin

sin

i

r







i

r







- prawo załamania!

Optyka

14

cd. zasady Fermata





 









2

2

2

2

2

1

1

3

2

3

AB

i

t

OPL

n

x

x

y

n

x

x

y











 









 



 





 

2

1

3

2

2

2

2

2

2

2

1

1

3

2

3

1

1

2

2

1

2

2

0

i

t

AB

n

x

x

n

x

x

dOPL

dy

x

x

y

x

x

y

 



 



















y

x

A (x

1

, y

1

)

B (x

3

, y

3

)

O (x

2

, 0)



i



t

n

t









 









 

2

1

3

2

2

2

2

2

2

1

1

3

2

3

0

i

t

n x

x

n x

x

x

x

y

x

x

y

















0

sin

sin

i

i

t

t

n

n









n

i

sin

sin

i

i

t

t

n

n







- prawo załamania

i i

t

t

n

n







Prawo załamania dla promieni przyosiowych:

Optyka

15

Załamanie – prawa Snelliusa :



i



t

n

i

n

t

(woda)

i

t

i

t

n

n











i

t

i

t

n

n













t



i

n

i

(woda)

n

t

Optyka

16

Test trzeźwości ?

Pusta

szklanka

Szklanka ze
zwykłą cieczą
o n=1,3

Szklanka z
„ujemną” cieczą
o n= -1,3

Optyka

17

Supersoczewka Pendry’ego

n= -1

0 d/2 3d/2 2d z

objekt

obraz

Brak strat przy odbiciu,
bowiem Z

0

=Z

1

Amplituda początkowa
fal zanikających
odtwarza się w pł. obrazu

Odtworzenie doskonałe
pola EM pł. obiektu
w płaszczyźnie obrazu

Optyka

18

Nowa optyka

Optyka

19

Promień

świetlny

jako prosta normalna do geometrycznych frontów falowych

- fali płaskiej





i

0

0

e

2π

t kz

k

n











E

E

prom

ień

prom

ień

- fali sferycznej (kulistej)





i

0

0

e

2π

t kr

r

k

n











E

E

pro

mie

ń

prom

ień

Promieniem jest linia narysowana w przestrzeni odpowiadająca kierunkowi
przepływu energii świetlnej. Promienie są prostopadłe do frontów fali.

Optyka

20

Światło spragnionym daje złudzenia

n(y)

y

n

0

y

x

Optyka

21

Latający Holender

gorące powietrze

obiekt rzeczywisty

zimne powietrze

Optyka

22

Równanie promienia

 

 

 

0

j

e

k S

m





r

E r

E

r



 

0

x

y

z

k S

k x k y k z







r

 

2

2

2

0

0

k S

k x

y

z







r

- fale płaskie

- fale sferyczne

- przy powolnych zmianach amplitudy E

m

i fazy S

 

 

2

2

S

n





r

r

- jest to zredukowanie równań Maxwella.

2

2

2

2

r

r

S

S

S

n

x

y

z

 

























































Fronty fazowe

Kontury

fazow

e

S

(r

)

Promień = krzywa ┴ do S(r)

n(r)

Światło przemieszcza się i zagęszcza wzdłuż zagiętych frontów fazowych.
Promienie świetlne są widzialne dzięki rozproszeniu na cząsteczkach powietrza i cząstkach w powietrzu (tęcza)
oraz kontrastom cienia.





ˆ

S

n





r ι

gdzie:

ˆ

ˆ

ˆ

x

y

z

x

y

z







r

ι

ι

ι

Rozwianie równania dla stałych



r

i



r

jest postaci:

0

0

0

0

2π

k

  







Optyka

23

Postulaty optyki geometrycznej

1. Promienie biegną normalnie (prostopadle)

do powierzchni ekwifazowych (frontów).

2. Długość drogi optycznej

pomiędzy dwoma każdymi dwoma frontami
jest stała (równa).

4. Promienie spełniają prawa Snelliusza:

załamania i odbicia.

5. Oświetlenie (irradiancja) w każdym punkcie

jest proporcjonalne do gęstości promieni
w tym punkcie.

3. Długość drogi optycznej

jest stała względem zmiennych,
które ją określają.

Optyka

24

Zwierciadło

i trzy proste promienie

1.

2.

3.

P

P’

F

C

f

s’

s

1

1

1

s

s

f







0, gdy

s

s

f

 



Oś optyczna

Optyka

25

Zwierciadło

i trzy proste promienie

1.

2.

3.

P

P’

F

C

f

s’

s

1

1

1

s

s

f







0, gdy

s

s

f

 



1.

2.

3.

P

P’

F

C

f

s’

s

Promień 1

: Przechodzi przez punkt P równolegle do osi optycznej, wychodzi wzdłuż linii przez F

i punkt przecięcia z lustrem

Promień 2

: Wychodzi z punktu P przez F, wychodzi równolegle do osi optycznej

Promień 3

: Wychodzi z punktu P przez C, wraca tą samą drogą.

Optyka

26

Zwierciadło sferyczne a zwierciadło

paraboliczne

Dla promieni przyosiowych zwierciadło sferyczne jest dobrym przybliżeniem
zwierciadła parabolicznego.

Zwierciadło paraboliczne

R

f=R/2

Optyka

27

Zwierciadło sferyczne

f=C/2

C

1. 2. 3.

Pozycja: Obraz Powiększenie

Przedmiot w 1. Obraz rzeczywisty odwrócony i pomniejszony
Przedmiot w 2. Obraz rzeczywisty odwrócony i powiększony
Przedmiot w 3. Obraz wirtualny do góry i powiększony

(jak w lusterku)

1

1

1

s

s

f







Powiększenie: m=-1/s

P

C

s’

s

f

P

Optyka

28

Konwencja znaków

-s

s





y

-y

R

-R

• Światło przemieszcza się z lewej na prawą stronę.

• Odległości na prawo są +.

• Wysokości ponad osią są +.

• Promień płaszczyzny jest + , jeżeli środek jej krzywizny leży po jej prawej stronie.
• Długości ogniskowej elementów skupiających są +.

• Światło biegnące w ujemnym (-)

kierunku (z prawej na lewą stronę
po odbiciu od lustra)

przemieszcza się w przestrzeni

o współrzędnych

o znaku przeciwnym
do powierzchni, która jest
po lewej stronie.

• Kąty promieni mierzone od osi do promienia
są dodatnie, jeżeli przesuwamy się do nich w kierunku
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (CC).

• Załamanie mierzymy od kierunku normalnego
do płaszczyzny i jest dodatnie, jeżeli jest CC.

Optyka

29

Powierzchnie kartezjańskie

- tworzą doskonałe obrazy obiektów punktowych: np. elipsoida, hiperboloida

O

I

Optyka

30

Odbicia na powierzchniach

kartezjańskich

- zwierciadłach płaskich:

- zwierciadłach eliptycznych:
- F

1

i F

2

są dwoma ogniskami

(wg zasady Hero)

- zwierciadłach hiperbolicznych:

- i zwierciadłach parabolicznych:

Pytanie: Które z nich tworzą rzeczywiste, a które pozorne obrazy?

F

1

F

2

O

I

O

Optyka

31

Załamania na powierzchniach

kartezjańskich

- elipsoidalnych

Ognisko

n

0

>n

1

- parabolicznych

Ognisko

n

0

<n

1

- dwóch hiperbolicznych soczewek

Obraz bez aberracji

O

n

0

n

1

n

0

n

1

O

O

I

F

F

F

n

0

> n

1

F

F

32

Obrazowanie przez kartezjańskie

powierzchnie refrakcyjne

s

o

s

i

d

i

d

o

x

y

n

o

n

i

I

O

P(x, y)

V



Długość optyczna każdej ścieżki od punktu przedmiotowego O do punktu
obrazowego I - zgodnie z zasadą Fermata – musi być taka sama:

const

o

o

i

i

o o

i i

n d

n d

n s

n s









czyli





2

2

2

2

2

2

const

o

i

o

i

o o

i i

n

x

y

z

n

s

s

x

y

z

n s

n s





















Kartezjańska albo perfekcyjna
powierzchnia obrazująca jest
paraboloidą w trzech wymiarach.
Jednakże zwykle soczewki mają
powierzchnie sferyczne,
ponieważ takie jest łatwiej wykonać.

 przybliżenie sferyczne
albo przyosiowe!

Optyka

33

Pryzmat a soczewka

F

•

Jeżeli złożymy dwa pryzmaty podstawami ku sobie,

to załamane promienie przetną się, ale nie będą ogniskowane.

•

Aby zogniskować promienie świetlne w jednym punkcie, skrajne
promienie muszą być załamane bardziej niż środkowe. Osiąga się to
poprzez oszlifowanie powierzchni. W ten sposób mają one jednorodnie
zgięty przekrój poprzeczny. Soczewka, która skupia równoległe
promienie w jeden punkt, jest nazywana soczewką skupiającą
(converging lens).

Soczewka skupiająca
o powierzchniach sferycznych

Dwa pryzmaty złączone podstawą

Optyka

34

Soczewka

R

1

R

2

Przedmiot

Obraz

T



U

D

V

Długość ogniskowej;





2

1

D M

f

M







1

U M

f

M







1

2

D

f

M

M



 

- dla cienkich soczewek:









1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

n

n

f

R

R

R

R









































- dla grubych soczewek:









1

2

1

2

1

1

1

1

1

T n

n

f

R

R

nR R























Apertura relatywna (f/#);

dlugos ć ogniskowej ( )

#

Średnica soczewki

f

f







Powiększenie:

V

f

V

f

M

U

U

f

f











35

Graficzne wyznaczanie promieni

(dodatnia ogniskowa f >0)

1. Promień przechodzący przez środek soczewki nie ulega załamaniu.
2. Promień padający równoległy do osi optycznej przechodzi przez tylne ognisko.
3. Promień padający przechodzący przez przednie ognisko staje się równoległy do

osi po drugiej stronie soczewki.

4. Dwa promienie równoległe z przodu soczewki przecinają się na powierzchni tylnej ogniskowej.
5. Stąd wniosek, że dwa promienie, które przecinają się na powierzchni przedniej ogniskowej

stają się równoległe po przeciwnej stronie soczewki.

Przedmiot
(Object)

Obraz (Image)

-s

s’

y

-y’

0

y

s

M

y

s











F

F’

o

I

s’

-s

F

F’

Optyka

36

Graficzne wyznaczanie promieni

- ujemne soczewki (-f)

-s

y

y’

-s’

Obraz pozorny

0

y

s

M

y

s











1. Promień przechodzący przez środek soczewki nie ulega załamaniom.
2. Promień padający równoległy do osi optycznej wydaje się jakby wychodził

z przedniego ogniska.

3. Promień padający skierowany do tylnego ogniska staje się równoległy do osi

optycznej.

Optyka

37

Obraz rzeczywisty i pozorny

Optyka

38

Rzeczywiste i pozorne przedmioty i obrazy

-s

-s’

Rzeczywisty przedmiot,
pozorny obraz

s’

s

Pozorny przedmiot,
rzeczywisty obraz

Jeżeli nie możesz zobaczyć światła na ekranie umieszczonym
w płaszczyźnie, na której jest ognisko, to jest to obraz wirtualny.
Jest to równoważne sytuacji, w której potrzebna jest dodatkowa soczewka (np. oko)
aby obraz wirtualny stał się rzeczywisty (widoczny).
A zatem rzeczywiste (wirtualne) obiekty są na lewo (na prawo) od powierzchni,
a rzeczywiste (wirtualne) obrazy są na prawo (na lewo).

Optyka

39

Załamanie na powierzchni sferycznej

W punkcie P stosujemy prawo
załamania, otrzymując:

1

1

2

2

sin

sin

n

n







Dla małych kątów zwykle
je upraszczamy do postaci

1 1

2 2

n

n







Zastępując odpowiednio kąty θ

1

i θ

2

,

mamy









1

2

n

n

 













Zaniedbując odległość QV
i pisząc wartości tangensów dla tych
kątów, z kolei mamy

1

2

y

y

y

y

n

n

s

R

s

R





































C

I

O

V

Q

n

2

n

1

R

s

s’

y







’













n

2

>n

1

no

rm

aln

y

P

Optyka

40

Załamanie na powierzchni … cd

1

2

y

y

y

y

n

n

s

R

s

R





































C

I

O

V

Q

n

2

n

1

R

s

s’

y







’













n

2

>n

1

no

rm

aln

y

P

Przekształcamy to równanie do postaci

Stosując tę samą konwencję znaków
jak do zwierciadeł, otrzymamy

1

2

1

2

n

n

n

n

s

s

R









1

2

1

2

n

n

n

n

P

s

s

R











gdzie P (lub D): moc powierzchni załamującej
w dioptriach [m

-1

]









1

2

1

2

1

1

lub

1

1

n

n

n

P

D

n

R

n

R

R

























- moc (zdolność) powierzchni skupiającej.

Optyka

41

Załamanie na powierzchni … przykład

C

I

I’

O

O’

V









Niech: s = 7 cm

R = +8 cm
n

1

=1,0

n

2

= 4,23

Obliczyć s’ = ?

f

Soczewka
wypukła
(dodatnia)

Przykład:

f= 20 cm
P= 1/0,2 m
P= 5 dp

Przykład:

f= -20 cm
P= 1/-0,2 m
P= -5 dp

Soczewka
wklęsła
(ujemna)

f

Optyka

42

Przybliżenie dla powierzchni

sferycznych

Powierzchnia
hiperboliczna

Zwierciadło

paraboliczne

C

V

F





2

R







2

R



C

F

-R

Sferyczna

aberracja

Sferyczna

aberracja

Przybliżenie
przyosiowe

f

Powierzchnie sferyczne są łatwiejsze do wykonania!

O

I

2

R

F





Powstaje błąd
zw. krzywizna
pola

Optyka

43

Przykład analizy powstawania obrazu

n

2

=1,33

n

1

=1

R =5 cm

obiekt

s

1

=30

10

30

40

RO

1

RI

s

2

=30

VO

1

RI

1

s’

2

=9

s’

1

=40

RI

2

10

s

1

=30

Obraz po pierwszym załamaniu
na płaszczyźnie soczewki:

Traktując obraz, otrzymany
powyżej jako obiekt pozorny (

s <0

),

szukamy jego obrazu
po załamaniu promieni
na drugiej powierzchni.

Optyka

44

Wzory dla zwierciadeł i soczewek

Powierzchnia sferyczna

Powierzchnia płaska

Odbicie

Załamanie
na jednej powierzchni

Załamanie
w cienkich soczewkach

- czyli takich, których
grubość jest znacznie
mniejsza od promienia
krzywizny powierzchni
ograniczających soczewkę

1

1

1

,

2

R

f

s

s

f





 



s

m

s



 

s

s

  

1

m  

2

1

n

s

s

n

  

1

m  

1

2

n s

m

n s



 

1

1

1

s

s

f







1

2

2

1

n

n

n

n

s

s

R









2

1

1

1

2

1

1

1

n

n

f

n

R

R



















s

m

s



 

Wklęsłe: f<0
Wypukłe: f>0,

Wklęsłe: f > 0, R <0
Wypukłe: f <0, R >0

7 przypadków dla soczewek

skupiających (P>0):

1

1

1

1

1

1

1

1

2 ;

2

2

;

;

0

0

s

s

f

s

f

f

s

f

s

f

f

s

f

s

s

 



















2 przypadki dla soczewek

rozpraszających (P < 0):

1

1

0;

0

s

s





Optyka

45

Soczewki Fresnela

Augustin-Jean Fresnel (1788–1827)

www.edmundoptics.eu

46

Soczewka rzeczywista

jako element układu optycznego – definicje parametrów

h

i

h

o

Obiekt

Obraz

Układ

optyczny

(soczewek)

Rozdzielczość

NA

O

NA

I

Rodzaje układów optycznych:

skończony-skończony nieskończony-nieskończony nieskończony-skończony

h

o

- wysokość obiektu (

h

i

-

obrazu), a dokładnie jego połowa geometryczna

s, s’ – najkrótsza odległość soczewki od obiektu (obrazu),

f

o,

f

i

- odległość ogniskowej soczewki od strony obiektu (obrazu),

f

- efektywna odległość ogniskowej od środka całego układu optycznego,

M – powiększenie (pomniejszenie) uzyskane w układzie,
d – odległość pomiędzy dwoma elementami układu,
 – pełen kąt stożka światła przyjmowanego lub wysyłanego przez układ,



O,



i

- kątowa połowa pola widzenia w nieskończonym układzie sprzężonym.

NA

o

- apertura

numeryczna obiektu

NA

i

- apertura

numeryczna obrazu

Punkty:
kardynalne=

główne

+

węzłowe

układu

Optyka

47

Układ optyczny

Układ optyczny

np. mikroskop,

teleskop

Obiekt
O

Obraz

I

Czoła fali: sferyczne powierzchnie normalne do promieni światła

Wg zasady Fermata: wszystkie drogi optyczne są pokonywane w tym samym czasie.

Układ optyczny

np. mikroskop,

teleskop

Obiekt

O

Obraz
I

Po zastosowaniu zasady odwracalności:

Punkty O i I są nazywane punktami koniugacyjnymi.

Optyka

48

Składanie układów optycznych

1

2

3

...

P

P

P

P









1

2

3

1

1

1

1

...

f

f

f

f









x

x’

f

f

y

o

y

i

h

i

F

F

Wzór Newtona dla cienkich soczewek:

2

xx

f

 

h

o

s

s’

- co można zapisać także w postaci:







2

s

f

s

f

f









Optyka

49

Przysłona (the stop)

• Jasność i pole widzenia obrazu są określone przez przysłony.
• Przysłony mogą być użyte do zmniejszenia aberracji.
• Przysłona jest regulowanym otworem (brew jej nazwie) w wielu

soczewkach, zwierciadłach, diafragmach itp.

• Przysłona jest zatem ograniczeniem strumienia światła przechodzącego

przez soczewkę, w diafragmach i filmach.

Optyka

50

Przysłona aperturowa i obrazowa

Przysłona

aperturowa

Przysłona

obrazowa

(filmu)

Optyka

51

Aberracja chromatyczna

• Biały przedmiot zatem nie da białego obrazu.

Taki obraz będzie zniekształcony z tęczowymi krawędziami.

Ponieważ długość ogniska soczewki zależy
od współczynnika załamania (n),
a ten z kolei zależy od długości fali n=n(



),

światło o różnych barwach promieniujące z obiektu
dolatuje do ogniska w różnych punktach.

Dla diamentu:









2

2

2

2

2

2

2

0, 3306

4, 3356

1

175 nm

106 nm

n









 







- równanie Sellmeiera

Optyka

52

Usuwanie aberracji

Jednym ze sposobów zmniejszenia tej aberracji
jest użycie szkieł o różnej dyspersji
w dublecie (podwójnym układzie optycznym)
lub innej kombinacji.

Optyka

53

Aberracja sferyczna

• Ten efekt odnosi się do promieni, które biegną pod dużym kątem względem osi
optycznej układu.
• Matematycznie można wykazać, że to zjawisko wynika z faktu, że soczewka ma
sferyczną a nie paraboliczną powierzchnię.
• Promienie o znacząco dużym kącie względem osi optycznej są skierowane do
różnych ognisk.

Marginalne

ognisko

promieni

Wzdłużna aberracja

sferyczna

Paraksjalne

ognisko

promieni

Poprzeczna aberracja

sferyczna

Okrąg

o najmniejszej

konfuzji

Optyka

54

Koma

(z greki: włos, warkocz, kometa)

Ten typ zniekształcenia obrazu występuje wówczas,
gdy używamy wiązek padających skośnie do osi optycznej.

Obraz A1 na ekranie przyjmuje kształt ogona komety (stąd nazwa tej aberracji).

Obraz jasnego punktu
zniekształconego komą

Optyka

55

Krzywizna pola

A

B

B’

A’

R

P

ow

ie

rz

ch

ni

a

os

tr

oś

ci

Przedm

io

t

Optyka

56

Liczba przesłony f/#

Liczba przesłony (przesłona; f/# - f-number)
jest stosunkiem ogniskowej do średnicy przesłony:

f/# =

f/D

.

f/4

D

f

f/2

Optyka

57

Liczba przesłony f/# i jasność obiektywu

Jasność obrazu jest określona przez ilość światła
padającego na film.
Każdy punkt na filmie jest oświetlony
kątem bryłowym

Irradiancja każdego punktu na filmie
jest proporcjonalna do (D/f)

2

2

2

2

2

2

π

π

4

4

dA

D

D

d

r

s

f











D’

s’= F

D

Przes

ło

na

Definicja liczby f/# poprzez A= F/D

2

1

e

E

A



Jest to zatem miara migawki dla obiektywu.
Mała liczba przesłony f# (duża apertura) daje dużą wartość E,
krótki czas ekspozycji.
I odwrotnie, duża f# (mała apertura), to E małe i długi czas t.

Standardowe apertury i oświetlenia w obiektywach

A= f

(A=f)

2

E

e

1 1 E

0

1,4 2 E

0

/2

2 4 E

0

/4

2,8 8 E

0

/8

4 16 E

0

/16

5,6 32 E

0

/32

8 64 E

0

/64

11 128 E

0

/128

16 256 E

0

/256

22 512 E

0

/512

Dobre obiektywy mają

f#

=1,2 lub 1,8 (bardzo szybkie)

Trudno uzyskać

f#

=1

Czasy ekspozycji 1/1000, 1/500, 1/250, 1/100, 1/50

2

[J/m ]

e

E

E t





Energia:

Film

Optyka

58

Głębia ostrości

Rozważmy określoną płaszczyznę obrazową.
Dystans w przestrzeni przedmiotu, w której punkty przedmiotowe są
w akceptowanym ognisku na płaszczyźnie obrazowej
(dopuszczalnie rozmazane – parametr d) jest określany głębią pola









2

2

1

4

2

2 2

2

glebia pola

o

o

o

Ads

s

f

f

s

s

f

A d s















M

O

N

N’

O’

M’

D



d

s

2

s

0

s’

0

s

1

x

x

Optyka

59

Głębia ogniska (focus)

depth of focus

2x



M

O

N

N’

O’

M’

D



d

s

2

s

0

s’

0

s

1

x

x

Rozważmy ustaloną płaszczyznę przedmiotową (obiektu).
Dystans w przestrzeni obrazowej, w którym punkty obiektu są
w akceptowanym ognisku w płaszczyźnie obrazowej

(the allowable blurring parameter, d) jest określany jako głębia ogniska
(the

depth of focus)

:

Optyka

60

Dystorsja:

Przysłona

Przysłona

Przysłona

Prz

y

s

łona

beczkowa

(ujemna)

rogalowa

(dodatnia)

brak

dystorsji

61

Od soczewki do obiektywu - historia

menisk

(monokl)

Aberracja
chromatyczna
i sferyczna
Krzywizna pola
Dystorsja
Astygmatyzm
Koma

achromat

aplant

podwójny anastygmat

Tessar (1905)

Zakłady C Zeissa

Błędy optyczne:

Aberracja
chromatyczna
i sferyczna
Krzywizna pola
---
Astygmatyzm
Koma

---
---
---
Krzywizna pola
Dystorsja
Astygmatyzm
Koma (+/-)

---
---
---
Krzywizna pola

---

Astygmatyzm

---
---
---
---
---
---

---
---
---
---
Dystorsja(+/-)
---
---

Skorygowane błędy optyczne:

---
---
---
---
---
---

---
---
---
Dystorsja
---
Koma

zmniejszona

Aberracja
chromatyczna
i sferyczna
Krzywizna pola
---
---
---

Aberracja
chromatyczna
i sferyczna

---

Dystorsja

---

Koma

Aberracja
chromatyczna
i sferyczna
Krzywizna pola
Dystorsja
Astygmatyzm
Koma

Aberracja
chromatyczna
i sferyczna
Krzywizna pola
Dystorsja (zmn. dużo)
Astygmatyzm
Koma

peryskop

Optyka

62

Możliwości oka ludzkiego jako

soczewki

Mały przedmiot (obiekt) o wysokości

y

jest umieszczony w pobliżu punktu oka

(s

near pt

= 25 cm). Kąt widzenia przedmiotu

wynosi



0

=y/25.

Zatem kątowe powiększenie soczewki:

Oglądając obraz przy s’= =∞ ((s = f) ,

mamy

0

25

25

M

y

s

y

s









Oglądając obraz przy s’ = -25 cm uzyskamy:

0

25

25

1

25

M

f

s

M

f

f















y

y



0



m

s

25 cm

0

25

25

25

M

y

s

M

y

s

f













Optyka

63

Powiększenie wizualne

Widzenie bez przyrządów

Widzenie z soczewką

Powiększenie wizualne M

V

jest porównaniem wymiaru obrazu na ludzkiej siatkówce

(retina) z instrumentem optycznym przy oku do wymiaru obrazu tego samego obiektu
bez instrumentu. Zauważyć, że jest on w tym przypadku dodatni.
We wszystkich użytecznych instrumentach powiększenie |M

V

| > 1.

2

1

V

y

M

y







Oko

Obiekt

Obraz

y

Oko

Obraz

y

1

y



2

y



Optyka

64

Daleko- i krótkowzorczność

D>0

D<0

1

1

1

s

s

f







V

V

P







Odwrotności

Zdolność skupiająca

:

Vergence (V) : krzywizna czoła fali

na soczewce
-moc załamania (P).

Dioptria (D) :

miara krzywizny

(odwrotność długości w [m])

1 m

0,5 m

1 dioptria

12 dioptrii

1 m

-1 dioptria

Dalekowzroczność

i jej korekcja

Bliskowzroczność

i jej korekcja

Optyka

65

Układy optyczne skończone

s

s’

f

s s

f

s

s











s’

s

d

h

o

h

i

f

o

f

i

o

i

o

i

f

f

f

f

f

d









h

i

h

o





i

o

h

s

f

M

s

f

s

h











i

i

o

o

f

h

s

M

s

f

h











d

P

1

P

2

H

1

f

n- współczynnik

załamania

Takie obliczenia można zastosować
dla układu dwóch soczewek,
podstawiając n=1,
albo dla grubej soczewki
dając wartość n>1.
Wówczas moce optyczne są mocami
optycznymi powierzchni.

Optyka

66

Grube soczewki

Długość ogniskowej f względem tej drugiej
płaszczyzny kardynalnej wynosi

Grube soczewki mogą być opisywane za pomocą równań dla soczewki cienkiej,
jeżeli odległości są mierzone od hipotecznych płaszczyzn kardynalnych.
Moc soczewki względem drugiej płaszczyzny kardynalnej H2
jest określona równaniem Gullstranda:

Formy równania Gullstranda są stosowane do obu oddzielnych soczewek
i do pojedynczych soczewek grubych. Ponieważ moce i ogniskowe Gullstranda
są mierzone względem płaszczyzny hipotetycznej, to często wygodniej jest stosować

przednią i tylną ogniskową wierzchołkową:

front and back vertex focal lengths

.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/geoopt/gullcal.html#c1

1

2

1 2

d

P

P

P

P P

n







1 2

1

2

2

f f

f

d

f

f

n







2

1

2

1

f

P

P

P

P d

n







Front vertex power:

1

2

1

1

b

P

P

P

Pd

n







d

P

1

P

2

H

1

f

Back vertex power:

n- współczynnik

załamania

Optyka

67

Przybliżenie Gaussa - paraksjalne:



do 20

o

s

h

a

O

s



Ośrodek z n

1

Ośrodek z n

2

P

O

I

C









R

s’

s – odległość przedmiotu
s’ - odległość obrazu

R - promień powierzchni sferycznej

C – środek sfery

Optyka

68

Soczewka w przybliżeniu paraksjalnym

Propagacja

liniowa

Propagacja

liniowa

Propagacja

liniowa

Załamanie

na granicy ośrodków

Idealizowanej przez

płaszczyznę

Załamanie

na granicy ośrodków

Idealizowanej przez

płaszczyznę

Szkło

Powietrze

Powietrze

Optyka

69

Opis macierzowy

-

definicje

z

- oś optyczna

n

1

n

2

R

y



2



1

F

ro

n

t f

a

li

s

fe

ry

c

z

n

e

j 

O

0

O -

środek fali sferycznej



o

–

P

ła

szczy

zna

o

dnie

sienia

Niech wektor promienia:

gdzie V=n



y

Y

V

 
 

 



Przybliżenie przyosiowe (optyka I rzędu),
gdy

1

1

1 1

1

2

2 2

2

2

sin

sin

n

n

V V

n

n



















- wg prawa Snelliusza.

Zatem przy przejściu promienia
przez płaszczyznę normalną do osi 0z
o współczynnikach n

1

i n

2

wektor promienia nie ulega zmianie:

1

2

2

1

2

1

2

2

1

0

0

1

y

y

y

Y

Y

V

V

V

























































Optyka

70

Macierz ABCD –

wpływ elementów optycznych na promienie

2

1

2

1

y

y

A

B

V

C

D

V







































Właściwości:

1

A

B

AD

BC

C

D







1. Jeżeli , to

0

D 

2

1

y

Cy



2. Jeżeli , to

0

B 

2

1

y

Ay



3. Jeżeli , to

0

C 

2

1

y

DY



4. Jeżeli , to

0

A 

2

1

y

BY



y

1

y

2

Układ optyczny



1

>0



2

<0

Pł.

wyjściowa

Pł.

wejściowa

z

Ważne w przybliżeniu przyosiowym

- zakładamy, że



jest małe, to

Pro

mie

ń

Oś optyczna

2

1

1

2 2

1 1

1 1

y

y

y

A

B

n

C

D

n

n



























































M

2

2

2

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

y

y

y

y

y

y

y







































sin

tg











Optyka

71

Interpretacja elementów macierzy

2

1

2 2

1 1

y

y

A

B

n

C

D

n











































2

1

WY

WE

WY

WE

C

B

y

n

D

A

y

n











































WY

WE

y

y





1

WY

WE

y

n







2

WY

WE

n

y







2

1

WY

WE

n

n









Powiększenie przestrzenne

Powiększenie kątowe

2

2

2

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

y

y

y

y

y

y

y







































Optyka

72

Cienka soczewka oraz zwierciadło o f=R/2

2

1

2

arctg

y

y

f

f

y

y

y







 

 













f

y



1

=0



2

1

0

1

1

0

y

y

y

f

f







  











 











  









d

d

d

f

1

f

2

d

R

1

=2f

1

R

2

=2f

2

R

System periodyczny dwóch soczewek:

Optyka

73

Najważniejsze macierze ABCD

n

1

=1

n

2

=n

n

1

=1

z

1

z

2

d

R

R

n

1

n

2

Translacja

w wolnej

przestrzeni

Cienka

soczewka

Zwierciadło

sferyczne

Sferyczna

powierzchnia

miedzy

dielektrykami

1

0

1

1

f



















1

0

1

d

n

















1

0

2

1

R



















1

2

1

2

2

1

0

n

n

n

n R

n



















n

1

=1

n

1

=1

z

1

z

2

d

1

0

1

d













n

1

=1

Translacja

ośrodku

o współ. n

Refrakcja

na płaskiej

powierzchni

n

1

n

2

1

2

1

0

0

n

n

















R>0 dla pł. wypukłej
R<0 dla pł. wklęsłej

f>0 dla soczewki wypukłej
f<0 dla soczewki wklęsłej

1

2

1

0

1

1

1

f

f

































f

1

f

2

1

0

1

1

f



















R

1

n

2

n

1

n

1

2

1

1

1

2

1

1

1

n

n

f

n

R

R



















R

2

Optyka

74

Promienie i płaszczyzny

2

1

Y

Cy



y

1



2

z

y

1

z

y

2



2

z



1



z



z



1

y

2

Jeżeli D=0,
to

Jeżeli B=0,
to

Płaszczyzny

węzłowe

Jeżeli C=0,
to

Jeżeli A=0, to

2

1

y

Ay



2

1

Y

DY



2

1

y

BY



A jest miarą
powiększenia
liniowego.

, czyli

2

2

1 1

n

Dn







Przekształcenie

wiązki równoległej
we wiązkę równoległą
- z możliwą zmianą kąta.

Wejściowa pł. odniesienia

jest wejściową pł. ogniskową układu.

Wiązka

zbieżna

Wyjściowa pł. odniesienia

jest wyjściową pł. ogniskową układu.

Optyka

75

Macierz przesunięcia (translacji)

z =z

1

z =z

2

n

y

1

y

2



1



2

d

Ośrodek jednorodny

2

1

1

1

1

tg

y

y

d

y

d













2

1

2

1

albo

n

n

Y

Y









2

1

2

1

1

0

1

d

y

y

n

Y

Y













 



























1

1

0

1

0

1

d

b

n









 



















T



gdzie

- macierz
przesunięcia.

d

b

n



- zredukowana długość
ośrodka

76

Macierz załamania (refrakcji)

+R



1



2



t



p

n

1

n

2

C

A



y

1

=y

2

=y

sin

y

R









Wg prawa Sneliusza:

1

2

p

t

n

n







oraz na podstawie geometrii:

1

p











2

t











z

Zatem przy y

1

= y

2

:

1

1

1

1

2

2

2

2

p

t

n x

n

Y

R

n x

n

Y

R













1

2

2

1

1

n

n

Y

y

Y

R







W ten sposób pełen układ równań jest postaci:

2

1

2

1

1

0

1

y

y

Y

Y

p









































gdzie

2

1

n

n

p

R





oraz

1

0

1

p





 









R

- macierz refrakcji.

- przyosiowa moc optyczna:

1 D (dioptria) = 1 m

-1

.

Pamiętajmy, że jest to
przybliżenie przyosiowe
-daje dobre wyniki przy



1

< 100 mrad.

Promień krzywizny powierzchni ma wartość
dodatnią +R, jeżeli środek krzywizny powierzchni
leży na prawo od jej wierzchołka, tj. jej przecięcia

z osią optyczną.

Proste przykłady

Translacje przez dwie warstwy równoległe z tego samego materiału:

d

d

1

d

2

n

n





1

1

,

y Y





,

a

a

y Y





2

2

,

y Y

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

a

a

d

d

d

y

y

y

n

n

n

Y

Y

Y







 





















 

























 





















 







1

1

2

1

2

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

d

d

d

d

n

n

n









 









 















 





 







T

T T

Pojedyncza soczewka

n

1

n

2

n

1

d

R

1

R

2

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

d

n

n

n

n

n

R

R

































































S

RT R

- b. cienka soczewka w powietrzu, czyli d0 i n

1

=1:

2

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

p

p













 

























S

czyli:

1

1

1

n

p

R





2

2

1

n

p

R









1

2

2

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

p

p

p

p

f











 









 





 



















 











S



gdzie:

gdzie: f długość ogniskowej:





1

2

1

1

1

1

n

f

R

R



















Optyka

78

Złożenia transformacji - soczewka

Pojedyncza bardzo cienka soczewka w powietrzu

n

1

n

2

n

1

d

R

1

R

2

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

d

n

n

n

n

n

R

R

































































S

R T R

czyli d0 i n

1

=1:

2

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

p

p













 

























S

czyli:

1

1

1

n

p

R





2

2

1

n

p

R









1

2

2

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

p

p

p

p

f











 









 





 



















 











S



gdzie:

gdzie: f długość ogniskowej:





1

2

1

1

1

1

n

f

R

R



















refrakcja na pł.2 translacja refrakcja na pł.1

Optyka

79

Promienie poprzez cienkie soczewki

f

f

f

f

f

z

z

z

z

z

z

f > 0

f < 0

1

0

y













1

1

y

y

f



















1

0

Y

 
 

 

1

0

Y

 
 

 

1

0

Y

 
 

 

1

0

Y

 
 

 

1

1

y

y

f

















1

0

y













1

0

y













1

1

y

y

f

















Optyka

80

Obraz przekształcony przez cienką

soczewkę

f

z

f

s

s’

O

O’

I’

I

Przedmiot
- Object

Obraz - Image

1

0

1

1

1

1

0

1

0 1

1

1

1

o

o

o

o

y

y

z

s

Y

Y

f

sz

z

s

z

y

f

f

s

Y

f

f









 



















 















 







 













 



































Jeżeli obiekt jest punktem na osi 0z,
to y

o

=0 i obraz też będzie punktem

w odległości z =s’, a wtedy ze wzoru
obok otrzymamy, że

1

1

1

s

s

f







- wzór dla cienkiej soczewki.

Optyka

81

Powiększenie przez cienką soczewkę

f

z

f

s

s’

O

O’

I’

I

Przedmiot
Object

Obraz - Image

Korzystając ze wzoru i ostatniej transformaty,

w płaszczyźnie obrazu przy z= s’ otrzymamy wektor-promień

1

1

1

s

s

f







0

'

1

0

1

1

i

o

i

s

y

y

f

Y

s

Y

f

f











 











 









 

















W tym miejscu dla , mamy także

0

o

x 

'

1

i

o

s

f

s

f

s

f

f

f

x

M

x

s

s





 





 





- nazywane

powiększeniem

.

Optyka

82

Transformacje zwierciadła

R

1

R

2

n

b



1



2

12

1

2

1

0

1

0

1

1

1

2

2

1

1

0

1

0

1

0

1

b

b

b

n

n

n

n

n

R

R

































 





















































M

83

Definicje parametrów zastępczych:

F

– punkt ogniskowy

F’-

punkt ogniskowy

y

o

y’

o

y’

i

y

i

H

H’

S’

S

h

1

h

2

f =FH

f ‘=F’H’

S’F’

SF

0

o

y













0

i

y

 
 

 

0

o

o

y

A

B

y

Y

C

D









 











 











 



0

i

i

i

y

D

B

y

Y

C

A





 



  



 



  





  

 

z

Ogniskowa obrazowa:

1

o

o

y

f

H F

Y

C







 









Ogniskowa przedmiotowa:

1

i

i

y

f

HF

Y

C











Zbiegowa ogniskowa obrazowa:

o

o

y

A

S F

Y

C







  





Zbiegowa ogniskowa przedmiotowa:

i

i

y

D

SF

Y

C







Macierz transformacji pomiędzy punktami F i F’:

Punkty główne

(węzłowe):

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

FF

f

S F

A

B

SF

C

C

D

C

f













 







 

 



















 

 















 

 













M