Próbkowanie

czyli „cięcie” dziedziny sygnału

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Plan prezentacji:

Wątpliwości związane z procesem próbkowania
Wykorzystanie analizy widmowej
Dlaczego sinusoida idzie na pierwszy ogień
Spostrzeżenia z analizy widmowej próbkowanej sinusoidy
Nowe problemy

Próbkowanie sygnału analogowego

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Próbkowanie sygnału (pomiar jego wartości chwilowej)
odbywa się w dyskretnych punktach oddalonych od
siebie o stałą odległość nazywaną krokiem lub okresem
próbkowania. Próbkowanie równomierne (ze stałym T)
jest najpopularniejszą

choć

nie jedyną

techniką.

Niejednoznaczność próbkowania

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Czy

proces

próbkowania

jest

wiarygodny?

Intuicyjnie sygnał po prawej stronie jest bardziej narażony
na straty informacji. Związane jest to z obecnością
oscylacji pomiędzy punktami próbkowania. Badaniem
oscylacji

zajmuje

się

analiza

widmowa.

Czarna skrzynka

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Póki nie wiemy nic więcej, na zasadzie czarnej skrzynki
wykorzystamy

procedurę

analizy

widmowej

w

ś

rodowisku LabVIEW aby zaobserwować

co jest

rezultatem jej działania.

Nowy
element

widmo

Anatomia programu

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

sygnał

widmo
amplitudowe

∆

t

∆

f

Widmo jest alternatywnym sposobem
przedstawienia sygnału w dziedzinie
częstotliwości. Zarówno sygnał jak
jego widmo mają naturę dyskretną.
Procedura automatycznie i podaje
odległość między punktami (próbkami)
widma ∆f na podstawie wejściowej
wartości

kroku

próbkowania

∆

t.

Zastosowanie
struktury („klastra”)
do

prawidłowego

wyskalowania osi
odciętych

na

wykresie
dyskretnym

Fala sinusoidalna

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Widmo jest rezultatem zastosowania procedury z
poprzedniego slajdu. Dla sygnału sinusoidalnego
wyznaczone widmo amplitudowe ma postać jednego
prążka.

Częstotliwość z widma

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Położenie prążka na osi częstotliwości odpowiada
częstotliwości fali. Jest to nieco łatwiejszy sposób od
pomiaru

okresu

sinusoidy.

Nie

zawsze

działa

poprawnie!

Amplituda z widma

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Jak sama nazwa wskazuje, procedura obliczania widma
amplitudowego powinna umożliwiać określenie amplitudy
przebiegu sinusoidalnego. Wynikiem działania wariantu
wykorzystanego w LabVIEW jest widmo wartości
skutecznej.

Faza fali

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Fala sinusoidalna posiada również fazę początkową,
która mówi jak układają się jej minima i maksima
względem początku układu współrzędnych. Faza fali
sinus wynosi zero a cosinus 90 stopni. Widmo
amplitudowe nie wykazuje żądnych różnic pomiędzy tymi
falami.

Przebiegi o innym kształcie

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Sygnał sinusoidalny jest dla wykorzystywanej obecnie
procedury

analitycznej

sygnałem

o

najprostszej

strukturze widma (jeden prążek). Widmo innych sygnałów
jest bardziej skomplikowane.

Wnioski

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Procedura obliczenia widma pozwala przedstawić

własności

sygnałów

w

dziedzinie

częstotliwości.

Widmo sygnału sinusoidalnego ma najprostszą postać, ponieważ
składa

się

z

jednego

prążka.

Położenie prążka widmowego na osi odciętych zgadza się
częstotliwością fali sinusoidalnej (wkrótce stwierdzimy, że jest to
prawdą

tylko

w

pewnym

zakresie

częstotliwości).

Amplituda fali sinusoidalnej jest zgodna z wysokością prążka.
Faza sygnału sinusoidalnego nie jest odzwierciedlana przez widmo
amplitudowe.

Próbki to za mało…

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Sygnał dyskretny stanowi zbiór próbek wartości chwilowej
sygnału ciągłego. Nie można jednoznacznie określić
częstotliwości sygnału analogowego na podstawie
znajomości jedynie jego próbek. Nie wiemy czy interwał
między próbkami wynosi 1 sekundę czy godzinę. Brakuje
informacji

o

częstości

próbkowania.

… dużo za mało

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

...ale próbki nie określają

sygnału jednoznacznie

Definiujemy szybkość
próbkowania. W tym
przypadku wynosi 5
Hz…

Podejście rachunkowe

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

T

f

1

=

p

s

p

T

f

f

1

=

=

)

2

sin(

)

(

ft

t

s

π

=

sygnał ciągły

N

k

f

fk

k

s

p

K

0

)

/

1

2

sin(

]

[

=

⋅

=

π

Próbki dyskretne sygnału:

)

2

/

2

sin(

)

4

/

2

sin(

)

2

/

2

sin(

)

/

1

2

sin(

]

[

π

π

π

π

π

π

π

⋅

+

=

+

=

+

=

⋅

=

m

k

f

f

k

f

f

k

f

f

f

fk

k

s

p

p

p

p

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Sygnał

dyskretny

s[k]

powstały

przez

próbkowanie z częstotliwością fp sinusoidy s(t) o
częstotliwości

f

opisuje

zbiór

sinusoid

o

częstotliwościach:

)

2

/

2

sin(

]

[

π

π

⋅

+

=

mk

k

f

f

k

s

p

)]

(

/

2

sin[

]

[

p

p

mf

f

f

k

k

s

+

=

π

czas

częstotliwość

Niech „m” stanowi

wielokrotność indeksu „k”

m

f

f

p

+

gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą

Weryfikacja

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Hz

f

1

=

Hz

f

p

5

=

Na okres fali przypada 5 próbka. Ta w
wartości jeden przypada już

na

następny. Częstotliwość

„szybszej”

sinusoidy wynosi:

Hz

Hz

Hz

f

6

5

1

1

2

=

⋅

+

=

Widmo sinusoidy cyfrowej

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Widmo sygnału dyskretnego (czyli próbek s[k]) jest
okresowe. Co jedną częstotliwość próbkowania trafiamy
na sinusoidę przechodzącą dokładnie przez wartości
próbek. Zjawisko to nazywa się powieleniem widma. Nie
ma sensu próba pomiaru częstotliwości powyżej f

p.

częstotliwość

„o

b

e

c

n

o

ś

ć

s

in

u

s

o

id

y

o

d

a

n

e

j

c

z

ę

s

to

tl

iw

o

ś

c

i”

0

Hz

1

Hz

f

p

5

=

f

f

p

+

1

p

f

2

f

f

p

+

2

p

f

−

f

f

p

+

−

Efekt działa też odwrotnie (aliasing)

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Próbkujemy ton sinusoidalny (sygnał o ściśle
określonej

częstotliwości

6

Hz)

ale

z

częstotliwością 5 Hz. Widmo sygnału cyfrowego
zawiera fałszywy prążek widmowy 1 Hz (alias)

0

f

f

p

+

−

Hz

f

p

5

=

Hz

6

p

f

2

f

f

p

+

p

f

−

f

f

p

+

− 2

Maskowanie widma

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

•Pomiar zakłóceń sieciowych (50 Hz) z częstotliwością
próbkowania 1000 Hz (po lewej) i 40 Hz (po prawej).

Wstępna konkluzja

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Dla

uniknięcia

maskowania

widma

(aliasingu)

wskazane

jest,

żeby

częstotliwość próbkowania była wyższa
od częstotliwości próbkowanego sygnału
analogowego.

Błąd maskowania widma jest o tyle
nieprzyjemny, że nie mamy pewności
czy w mierzonym sygnale nie znajduje
się zakłócenie, którego obecność ujawnia
się przy dziwnej częstotliwości.

Niestety to nieprawda…

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Na tym zrzucie
widać,

ż

e

chociaż
częstotliwość
sygnału

jest

mniejsza od f

p

jego
interpretacja
przez
urządzenie
cyfrowe

jest

całkowicie
błędna!

Kto (co) kłamie?

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Procedura obliczania widma wykorzystywana do tej pory
ma

umożliwiać

maksymalnie

wygodną

pracę

użytkownikowi i ukrywa przed nim pewne fakty
ograniczając automatycznie skalę osi częstotliwościowej.
Tam należy szukać obcego odpowiedzialnego za fiasko za
dotychczasowej teorii.

widmo fazowe

Podsumowanie

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Szybkość

próbkowania

ogranicza

możliwy

do

prawidłowego pomiaru zakres częstotliwości sygnałów
analogowych.
Nieprzestrzeganie reguł próbkowania może prowadzić do
błędu złej interpretacji częstotliwości przez układ cyfrowy.
Zjawisko

powielenia

widma

jest

związane

z

ograniczeniem

wprowadzanym

przez

częstotliwość

próbkowania

ale

nie

tłumaczy

go

całkowicie.