www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

N

IERÓWNO ´SCI KWADRATOWE

Nierówno´s´c kwadratowa to

nierówno´s´c

postaci

ax

2

+

bx

+

c

>

0,

(

lub

<

0,

>

0,

6

0

)

.

Przypomnijmy, ˙ze wykresem lewej strony takiej nierówno´sci jest

parabola

, której ramiona

s ˛

a skierowane do góry dla a

>

0 i w dół dla a

<

0. Ponadto

a) parabola nie przecina osi Ox je ˙zeli

∆

<

0;

x

y

x

y

Δ<0

a>0

Δ<0

a<0

+++

+++

---

---

b) przecina o´s Ox w jednym punkcie je ˙zeli

∆

=

0;

x

y

x

y

Δ=0

a>0

Δ=0

a<0

+++

+++

---

---

x

0

x

0

c) przecina o´s Ox w dwóch punktach je ˙zeli

∆

>

0.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

x

y

a<0

Δ>0

x

y

+++

+++

Δ>0

a>0

---

---

---

+++

x

2

x

1

x

1

x

2

Patrz ˛

ac na powy ˙zsze rysunki, bez trudu ustalamy znak wyra ˙zenia ax

2

+

bx

+

c.

a) Je ˙zeli

∆

<

0 to wyra ˙zenie ax

2

+

bx

+

c jest stale dodatnie dla a

>

0 i ujemne dla a

<

0.

b) Je ˙zeli

∆

=

0 to wyra ˙zenie ax

2

+

bx

+

c

=

a

(

x

+

b

2a

)

2

jest równe 0 dla x

0

= −

b

2a

i jest

dodatnie dla a

>

0 (ujemne dla a

<

0) na zbiorze

R

\ {−

b

2a

}

.

c) Je ˙zeli

∆

>

0 i x

1

>

x

2

s ˛

a pierwiastkami, to wyra ˙zenie ax

2

+

bx

+

c

=

a

(

x

−

x

1

)(

x

−

x

2

)

jest dodatnie dla a

>

0 (ujemne dla a

<

0) na zbiorze

(−

∞, x

1

) ∪ (

x

2

,

+

∞

)

,

oraz ujemne dla a

>

0 (dodatnie dla a

<

0) na zbiorze

(

x

1

, x

2

)

.

Nierówno´s´c

9x

2

−

5x

+

2

>

0

jest zawsze spełniona, gdy ˙z

∆

=

25

−

72

<

0.

Jak to zapami˛eta´c?

Na pierwszy rzut oka mo ˙zna czu´c si˛e zagubionym w tych wszystkich przypadkach, ale
grunt to nie uczy´c si˛e tego na pami˛e´c, tylko wypracowa´c system. Przede wszystkim, zawsze
mo ˙zemy nierówno´s´c sprowadzi´c do postaci z dodatnim współczynnikiem przy x

2

– mo ˙zna

to łatwo zrobi´c mno ˙z ˛

ac nierówno´s´c przez -1. Przy takim zało˙zeniu sprawa zaczyna by´c

prosta.

Funkcja kwadratowa jest ujemna mi˛edzy pierwiastkami i dodatnia na zewn ˛

atrz

od pierwiastków.

W zasadzie to jest wszystko co trzeba pami˛eta´c. Przypadki

∆

<

0 i

∆

=

0 te ˙z podpadaj ˛

a pod

t˛e formułk˛e – dla

∆

<

0 nie ma pierwiastków i funkcja jest cały czas dodatnia, a dla

∆

=

0

funkcja jest dodatnia na zewn ˛

atrz od jedynego pierwiastka.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Spróbujmy rozwi ˛

aza´c nierówno´s´c

x

−

x

2

+

2

>

0

/

· (−

1

)

x

2

−

x

−

2

6

0

∆

=

1

+

8

=

9

⇒

x

1

= −

1,

x

2

=

2

x

∈ h−

1, 2

i

.

Rozwi ˛

a ˙zmy nierówno´s´c

4x

2

−

12x

+

9

>

0

∆

=

144

−

144

=

0

⇒

x

0

=

3
2

x

∈

R

\

 3

2



.

Zadania

.info

Podoba Ci się ten poradnik?

Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!

T

IPS

& T

RICKS

1

Ustalaj ˛

ac znak wyra ˙zenia

(

x

−

x

1

)(

x

−

x

2

)

, gdzie x

2

>

x

1

, zamiast my´sle´c o paraboli, mo-

˙zemy my´sle´c o iloczynie dwóch liczb: iloczyn jest dodatni gdy obie s ˛

a dodatnie, czyli dla

x

>

x

2

lub gdy obie s ˛

a ujemne: x

<

x

1

. Iloczyn jest ujemny, gdy jedna jest ujemna, a druga

dodatnia, czyli dla x

∈ (

x

1

, x

2

)

.

2

Je ˙zeli wida´c pierwiastki trójmianu gołym okiem, to nie ma potrzeby u ˙zywa´c

∆-y.

Rozwi ˛

a ˙zmy nierówno´s´c

16

−

x

2

<

0

/

· (−

1

)

x

2

−

16

>

0

(

x

−

4

)(

x

+

4

) >

0

x

∈ (−

∞,

−

4

) ∪ (

4,

+

∞

)

.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

3

W przypadku nierówno´sci z parametrem, jak zwykle w przypadku zada ´n, w których sto-
sujemy wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego, bardzo wa ˙zne jest sprawdzenie czy
współczynnik przy x

2

jest niezerowy.

Sprawd´zmy kiedy rozwi ˛

azaniem nierówno´sci

a

2

x

2

+

ax

+

1

6

0

jest zbiór

R. Poniewa˙z

∆

= −

3a

2

6

0,

mogłoby si˛e wydawa´c, ˙ze tak jest zawsze. Jednak dla a

=

0 mamy sprzeczn ˛

a nie-

równo´s´c 1

6

0, czyli odpowiedzi ˛

a jest a

∈

R

\ {

0

}

.

4

Wiele, pozornie bardziej skomplikowanych nierówno´sci, sprowadza si˛e do opisanej sytuacji
nierówno´sci kwadratowej.

Typowy przykład to nierówno´s´c postaci

x

−

3

x

+

1

<

0.

Kiedy ta nierówno´s´c b˛edzie spełniona? – wtedy kiedy licznik i mianownik b˛ed ˛

a

ró ˙znych znaków. Zatem zbiór rozwi ˛

aza ´n jest dokładnie taki sam jak zbiór rozwi ˛

a-

za ´n nierówno´sci

(

x

−

3

)(

x

+

1

) <

0.

Jest to wi˛ec przedział

(−

1, 3

)

.

W przypadku słabej nierówno´sci

x

−

3

x

+

1

6

0

trzeba by´c odrobin˛e ostro ˙zniejszym, bo rozwi ˛

azaniem nierówno´sci

(

x

−

3

)(

x

+

1

) 6

0

jest mi˛edzy innymi x

= −

1, które nie jest rozwi ˛

azaniem wyj´sciowej nierówno´sci

ze wzgl˛edu na x

+

1 w mianowniku. Jest to jednak jedyny problem – wyrzucamy

x

= −

1 ze zbioru rozwi ˛

aza ´n i mamy rozwi ˛

azanie x

∈ (−

1, 3

i

. Inny sposób rozpa-

trywania takiej sytuacji, to osobno rozwa ˙zy´c przypadek

x

−

3

x

+

1

=

0 (czyli x

=

3), a

potem rozwi ˛

azywa´c nierówno´s´c ostr ˛

a

x

−

3

x

+

1

<

0.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

4

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Jeszcze jeden przykład:

(

x

−

3

)

2

(

x

+

1

)(

x

−

2

) 6

0.

Czynnik

(

x

−

3

)

2

jest dodatni dla x

6=

3. Pami˛etamy wi˛ec, ˙zeby doło ˙zy´c x

=

3 do

zbioru rozwi ˛

aza ´n (gdyby nierówno´s´c była ostra to nie dokładamy) i dzielimy przez

(

x

−

3

)

2

. Pozostaje nam nierówno´s´c kwadratowa

(

x

+

1

)(

x

−

2

) 6

0.

Rozwi ˛

azaniem jest wi˛ec zbiór

h−

1, 2

i ∪ {

3

}

.

5

Nierówno´sci kwadratowe s ˛

a blisko zwi ˛

azane z nierówno´sciami z warto´sci ˛

a bezwzgl˛edn ˛

a.

Zwi ˛

azek ten pochodzi od równo´sci:

√

a

2

= |

a

|

|

a

|

2

=

a

2

.

Je ˙zeli spierwiastkujemy nierówno´s´c stronami (obie strony s ˛

a nieujemne)

x

2

<

4

/

√

|

x

| <

2,

to widzimy, ˙ze nierówno´sci x

2

<

4 i

|

x

| <

2 s ˛

a sobie równowa ˙zne – rozwi ˛

azaniem

ka ˙zdej z nich jest przedział

(−

2, 2

)

.

Spróbujmy rozwi ˛

aza´c nierówno´s´c

|

x

| +

x

>

2

|

x

| >

2

−

x

/

()

2

Podniesiemy teraz nierówno´s´c do kwadratu, aby to zrobi´c musimy wiedzie´c, ˙ze
prawa strona jest nieujemna, czyli x

6

2 (je ˙zeli prawa strona jest ujemna, to nie-

równo´s´c na pewno nie jest spełniona).

x

2

>

4

−

4x

+

x

2

4x

>

4

x

∈ (

1, 2

i

.

Na koniec podkre´slmy, ˙ze bardzo wa ˙zne było sprawdzenie, kiedy strony nierów-
no´sci s ˛

a nieujemne – inaczej otrzymaliby´smy bł˛edn ˛

a odpowied´z.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

5

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Rozwi ˛

a ˙zmy nierówno´s´c

|

x

−

1

| < |

2

−

x

|

.

Podnosimy obie strony do kwadratu.

(

x

−

1

)

2

< (

2

−

x

)

2

x

2

−

2x

+

1

<

4

−

4x

+

x

2

⇐⇒

x

<

3
2

.

6

Nierówno´s´c kwadratowa postaci

(

x

−

a

)

2

>

0

jest niezwykle popularnym motywem w wielu zadaniach na dowodzenie nierówno´sci.

Uzasadnijmy, ˙ze ´srednia arytmetyczna liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich

´sredniej geometrycznej.

a

+

b

2

>

√

ab

a

+

b

>

2

√

ab

()

2

a

2

+

2ab

+

b

2

>

4ab

a

2

−

2ab

+

b

2

>

0

(

a

−

b

)

2

>

0.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

6