www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
N
IERÓWNO ´SCI KWADRATOWE
Nierówno´s´c kwadratowa to
nierówno´s´c
postaci
ax
2
+
bx
+
c
>
0,
(
lub
<
0,
>
0,
6
0
)
.
Przypomnijmy, ˙ze wykresem lewej strony takiej nierówno´sci jest
parabola
, której ramiona
s ˛
a skierowane do góry dla a
>
0 i w dół dla a
<
0. Ponadto
a) parabola nie przecina osi Ox je ˙zeli
∆
<
0;
x
y
x
y
Δ<0
a>0
Δ<0
a<0
+++
+++
---
---
b) przecina o´s Ox w jednym punkcie je ˙zeli
∆
=
0;
x
y
x
y
Δ=0
a>0
Δ=0
a<0
+++
+++
---
---
x
0
x
0
c) przecina o´s Ox w dwóch punktach je ˙zeli
∆
>
0.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
x
y
a<0
Δ>0
x
y
+++
+++
Δ>0
a>0
---
---
---
+++
x
2
x
1
x
1
x
2
Patrz ˛
ac na powy ˙zsze rysunki, bez trudu ustalamy znak wyra ˙zenia ax
2
+
bx
+
c.
a) Je ˙zeli
∆
<
0 to wyra ˙zenie ax
2
+
bx
+
c jest stale dodatnie dla a
>
0 i ujemne dla a
<
0.
b) Je ˙zeli
∆
=
0 to wyra ˙zenie ax
2
+
bx
+
c
=
a
(
x
+
b
2a
)
2
jest równe 0 dla x
0
= −
b
2a
i jest
dodatnie dla a
>
0 (ujemne dla a
<
0) na zbiorze
R
\ {−
b
2a
}
.
c) Je ˙zeli
∆
>
0 i x
1
>
x
2
s ˛
a pierwiastkami, to wyra ˙zenie ax
2
+
bx
+
c
=
a
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)
jest dodatnie dla a
>
0 (ujemne dla a
<
0) na zbiorze
(−
∞, x
1
) ∪ (
x
2
,
+
∞
)
,
oraz ujemne dla a
>
0 (dodatnie dla a
<
0) na zbiorze
(
x
1
, x
2
)
.
Nierówno´s´c
9x
2
−
5x
+
2
>
0
jest zawsze spełniona, gdy ˙z
∆
=
25
−
72
<
0.
Jak to zapami˛eta´c?
Na pierwszy rzut oka mo ˙zna czu´c si˛e zagubionym w tych wszystkich przypadkach, ale
grunt to nie uczy´c si˛e tego na pami˛e´c, tylko wypracowa´c system. Przede wszystkim, zawsze
mo ˙zemy nierówno´s´c sprowadzi´c do postaci z dodatnim współczynnikiem przy x
2
– mo ˙zna
to łatwo zrobi´c mno ˙z ˛
ac nierówno´s´c przez -1. Przy takim zało˙zeniu sprawa zaczyna by´c
prosta.
Funkcja kwadratowa jest ujemna mi˛edzy pierwiastkami i dodatnia na zewn ˛
atrz
od pierwiastków.
W zasadzie to jest wszystko co trzeba pami˛eta´c. Przypadki
∆
<
0 i
∆
=
0 te ˙z podpadaj ˛
a pod
t˛e formułk˛e – dla
∆
<
0 nie ma pierwiastków i funkcja jest cały czas dodatnia, a dla
∆
=
0
funkcja jest dodatnia na zewn ˛
atrz od jedynego pierwiastka.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Spróbujmy rozwi ˛
aza´c nierówno´s´c
x
−
x
2
+
2
>
0
/
· (−
1
)
x
2
−
x
−
2
6
0
∆
=
1
+
8
=
9
⇒
x
1
= −
1,
x
2
=
2
x
∈ h−
1, 2
i
.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
4x
2
−
12x
+
9
>
0
∆
=
144
−
144
=
0
⇒
x
0
=
3
2
x
∈
R
\
3
2
.
Zadania
.info
Podoba Ci się ten poradnik?
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
T
IPS
& T
RICKS
1
Ustalaj ˛
ac znak wyra ˙zenia
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)
, gdzie x
2
>
x
1
, zamiast my´sle´c o paraboli, mo-
˙zemy my´sle´c o iloczynie dwóch liczb: iloczyn jest dodatni gdy obie s ˛
a dodatnie, czyli dla
x
>
x
2
lub gdy obie s ˛
a ujemne: x
<
x
1
. Iloczyn jest ujemny, gdy jedna jest ujemna, a druga
dodatnia, czyli dla x
∈ (
x
1
, x
2
)
.
2
Je ˙zeli wida´c pierwiastki trójmianu gołym okiem, to nie ma potrzeby u ˙zywa´c
∆-y.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
16
−
x
2
<
0
/
· (−
1
)
x
2
−
16
>
0
(
x
−
4
)(
x
+
4
) >
0
x
∈ (−
∞,
−
4
) ∪ (
4,
+
∞
)
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
3
W przypadku nierówno´sci z parametrem, jak zwykle w przypadku zada ´n, w których sto-
sujemy wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego, bardzo wa ˙zne jest sprawdzenie czy
współczynnik przy x
2
jest niezerowy.
Sprawd´zmy kiedy rozwi ˛
azaniem nierówno´sci
a
2
x
2
+
ax
+
1
6
0
jest zbiór
R. Poniewa˙z
∆
= −
3a
2
6
0,
mogłoby si˛e wydawa´c, ˙ze tak jest zawsze. Jednak dla a
=
0 mamy sprzeczn ˛
a nie-
równo´s´c 1
6
0, czyli odpowiedzi ˛
a jest a
∈
R
\ {
0
}
.
4
Wiele, pozornie bardziej skomplikowanych nierówno´sci, sprowadza si˛e do opisanej sytuacji
nierówno´sci kwadratowej.
Typowy przykład to nierówno´s´c postaci
x
−
3
x
+
1
<
0.
Kiedy ta nierówno´s´c b˛edzie spełniona? – wtedy kiedy licznik i mianownik b˛ed ˛
a
ró ˙znych znaków. Zatem zbiór rozwi ˛
aza ´n jest dokładnie taki sam jak zbiór rozwi ˛
a-
za ´n nierówno´sci
(
x
−
3
)(
x
+
1
) <
0.
Jest to wi˛ec przedział
(−
1, 3
)
.
W przypadku słabej nierówno´sci
x
−
3
x
+
1
6
0
trzeba by´c odrobin˛e ostro ˙zniejszym, bo rozwi ˛
azaniem nierówno´sci
(
x
−
3
)(
x
+
1
) 6
0
jest mi˛edzy innymi x
= −
1, które nie jest rozwi ˛
azaniem wyj´sciowej nierówno´sci
ze wzgl˛edu na x
+
1 w mianowniku. Jest to jednak jedyny problem – wyrzucamy
x
= −
1 ze zbioru rozwi ˛
aza ´n i mamy rozwi ˛
azanie x
∈ (−
1, 3
i
. Inny sposób rozpa-
trywania takiej sytuacji, to osobno rozwa ˙zy´c przypadek
x
−
3
x
+
1
=
0 (czyli x
=
3), a
potem rozwi ˛
azywa´c nierówno´s´c ostr ˛
a
x
−
3
x
+
1
<
0.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Jeszcze jeden przykład:
(
x
−
3
)
2
(
x
+
1
)(
x
−
2
) 6
0.
Czynnik
(
x
−
3
)
2
jest dodatni dla x
6=
3. Pami˛etamy wi˛ec, ˙zeby doło ˙zy´c x
=
3 do
zbioru rozwi ˛
aza ´n (gdyby nierówno´s´c była ostra to nie dokładamy) i dzielimy przez
(
x
−
3
)
2
. Pozostaje nam nierówno´s´c kwadratowa
(
x
+
1
)(
x
−
2
) 6
0.
Rozwi ˛
azaniem jest wi˛ec zbiór
h−
1, 2
i ∪ {
3
}
.
5
Nierówno´sci kwadratowe s ˛
a blisko zwi ˛
azane z nierówno´sciami z warto´sci ˛
a bezwzgl˛edn ˛
a.
Zwi ˛
azek ten pochodzi od równo´sci:
√
a
2
= |
a
|
|
a
|
2
=
a
2
.
Je ˙zeli spierwiastkujemy nierówno´s´c stronami (obie strony s ˛
a nieujemne)
x
2
<
4
/
√
|
x
| <
2,
to widzimy, ˙ze nierówno´sci x
2
<
4 i
|
x
| <
2 s ˛
a sobie równowa ˙zne – rozwi ˛
azaniem
ka ˙zdej z nich jest przedział
(−
2, 2
)
.
Spróbujmy rozwi ˛
aza´c nierówno´s´c
|
x
| +
x
>
2
|
x
| >
2
−
x
/
()
2
Podniesiemy teraz nierówno´s´c do kwadratu, aby to zrobi´c musimy wiedzie´c, ˙ze
prawa strona jest nieujemna, czyli x
6
2 (je ˙zeli prawa strona jest ujemna, to nie-
równo´s´c na pewno nie jest spełniona).
x
2
>
4
−
4x
+
x
2
4x
>
4
x
∈ (
1, 2
i
.
Na koniec podkre´slmy, ˙ze bardzo wa ˙zne było sprawdzenie, kiedy strony nierów-
no´sci s ˛
a nieujemne – inaczej otrzymaliby´smy bł˛edn ˛
a odpowied´z.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
|
x
−
1
| < |
2
−
x
|
.
Podnosimy obie strony do kwadratu.
(
x
−
1
)
2
< (
2
−
x
)
2
x
2
−
2x
+
1
<
4
−
4x
+
x
2
⇐⇒
x
<
3
2
.
6
Nierówno´s´c kwadratowa postaci
(
x
−
a
)
2
>
0
jest niezwykle popularnym motywem w wielu zadaniach na dowodzenie nierówno´sci.
Uzasadnijmy, ˙ze ´srednia arytmetyczna liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich
´sredniej geometrycznej.
a
+
b
2
>
√
ab
a
+
b
>
2
√
ab
()
2
a
2
+
2ab
+
b
2
>
4ab
a
2
−
2ab
+
b
2
>
0
(
a
−
b
)
2
>
0.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
6