KOD ZDAJ¥CEGO

MMA-P1A1P-021

EGZAMIN MATURALNY

Z MATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

Arkusz I

Czas pracy 120 minut

Instrukcja dla zdaj¹cego

1.

Proszê sprawdziæ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 8 stron.

Ewentualny brak nale¿y zg³osiæ przewodnicz¹cemu zespo³u

nadzoruj¹cego egzamin.

2.

Rozwi¹zania i odpowiedzi nale¿y zapisaæ czytelnie w miejscu

na to przeznaczonym przy ka¿dym zadaniu.

3.

Proszê pisaæ tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisaæ

o³ówkiem.

4.

W rozwi¹zaniach zadañ trzeba przedstawiæ tok rozumowania

prowadz¹cy do ostatecznego wyniku.

5.

Nie wolno u¿ywaæ korektora.

6.

B³êdne zapisy trzeba wyraŸnie przekreœliæ.

7.

Brudnopis nie bêdzie oceniany.

8.

Obok ka¿dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,

któr¹ mo¿na uzyskaæ za jego poprawne rozwi¹zanie.

9.

Podczas egzaminu mo¿na korzystaæ z tablic matematycznych,

cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie mo¿na korzystaæ
z kalkulatora graficznego.

10.

Do ostatniej kartki arkusza do³¹czona jest karta odpowiedzi,

któr¹ wype³nia egzaminator.

¯yczymy powodzenia!

ARKUSZ I

MAJ

ROK 2002

Za rozwi¹zanie

wszystkich zadañ

mo¿na otrzymaæ

³¹cznie 40 punktów

Wpisuje zdaj¹cy przed rozpoczêciem pracy)

PESEL ZDAJ¥CEGO

Miejsce

na naklejkê

z kodem

(Wpisuje zdaj¹cy przed

rozpoczêciem pracy)

Zadanie 1. (3 pkt)

Dana jest prosta

l

o równaniu

2

2

3

−

=

x

y

oraz punkt

(

)

2

,

3

−

−

=

A

. Wykres funkcji liniowej

f

jest prostopad³y do prostej

l

, punkt A

nale¿y do wykresu funkcji f.

Wyznacz:

a) wzór funkcji f,
b) miejsce zerowe funkcji f.

Zadanie 2. (3 pkt)

Dany jest wektor

[

]

4

,

3

−

=

→

AB

oraz punkt

( )

2

,

1

−

=

A

.

Oblicz:

a)

wspó³rzêdne punktu B ,

b) wspó³rzêdne i d³ugoœæ wektora

→

→

⋅

−

=

AB

v

2

.

2

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz I

Zadanie 3. (3 pkt)

W klasie licz¹cej 30 uczniów, dziewiêciu obejrza³o film pt. „Nasz XXI wiek”. Wychowawca

klasy otrzyma³ 4 bilety i zamierza wylosowaæ uczniów, których zaprosi na projekcjê tego

filmu. Oblicz prawdopodobieñstwo zdarzenia, ¿e wœród czterech wylosowanych z tej klasy

uczniów nie ma ucznia, który ju¿ ten film ogl¹da³.

Zadanie 4. (5 pkt)

W pewnej szkole

œredniej po pierwszym pó³roczu przeprowadzono test z matematyki.

Tabelka przedstawia zestawienie wyników testu:

Ocena

1 2 3 4 5 6

Liczba uczniów

10 30 80 30 25 5

a)

Sporz¹dŸ diagram s³upkowy przedstawiaj¹cy zestawienie wyników testu.

b)

Oblicz œredni¹ arytmetyczn¹ uzyskanych ocen.

c)

Oblicz, ilu uczniów uzyska³o ocenê wy¿sz¹ od œredniej arytmetycznej ocen.

Egzamin maturalny z matematyki

3

Arkusz I

Zadanie 5. (4 pkt)

Ania przeczyta³a ksi¹¿kê science-fiction w ci¹gu 13 dni, przy czym ka¿dego dnia czyta³a
o

tak¹ sam¹ liczbê stron wiêcej, ni¿ w dniu poprzednim. Ile stron mia³a ta ksi¹¿ka, je¿eli

wiadomo, ¿e w trzecim dniu Ania przeczyta³a 28 stron a w ostatnim 68?

Zadanie 6. (3 pkt)

Je¿eli x

1

= 2, x

2

= 3 i x

3

= –

1 s¹ miejscami zerowymi wielomianu

d

cx

bx

ax

x

W

+

+

+

=

2

3

)

(

,

gdzie

0

≠

a

oraz

2

)

4

(

=

W

, to wspó³czynnik

a

mo¿na wyznaczyæ postêpuj¹c w nastêpuj¹cy

sposób:

Wielomian

W

zapisujemy w postaci iloczynowej:

( ) (

)(

)(

)

1

3

2

+

−

−

=

x

x

x

a

x

W

i wykorzystuj¹c warunek

( )

2

4

=

W

otrzymujemy równanie:

(

)(

)(

)

1

4

3

4

2

4

2

+

−

−

=

a

,

st¹d

5

1

=

a

.

Postêpuj¹c analogicznie, wyznacz wspó³czynnik

a

wielomianu

( )

d

cx

bx

ax

x

W

+

+

+

=

2

3

,

wiedz¹c, ¿e jego miejsca zerowe to

2

1

−

=

x

,

1

2

=

x

,

2

3

=

x

oraz

( )

3

1

=

−

W

.

4

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz I

Zadanie 7. (4 pkt)

Planuj¹c czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczy³a pewn¹ kwotê na

wy¿ywienie. W pierwszym tygodniu wydano

%

30

zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o

60 z³otych mniej ni¿ w pierwszym, w trzecim po³owê reszty pieniêdzy. Na czwarty tydzieñ

zosta³o 270 z³otych. Oblicz kwotê, któr¹ rodzina Kowalskich przeznaczy³a na wy¿ywienie.

Zadanie 8. (5 pkt)

Funkcja kwadratowa

3

)

(

2

−

+

=

bx

ax

x

f

, gdzie

0

>

b

posiada dwa ró¿ne miejsca zerowe,

których iloczyn jest równy (

3

−

). Wiedz¹c, ¿e funkcja ta przyjmuje najmniejsz¹ wartoœæ

równ¹ ( 4

−

), wyznacz:

a) wspó³czynniki

a

i

b

,

b) miejsca zerowe funkcji f.

Egzamin maturalny z matematyki

5

Arkusz I

Zadanie 9. (5 pkt)

Zaplanowano zalesiæ ugór w

kszta³cie trójk¹ta równoramiennego, którego d³ugoœæ

najd³u¿szego boku, na planie w skali 1:1500, jest równa 12 cm i jeden z k¹tów ma miarê

°

120

.W

szkó³ce leœnej zamówiono sadzonki, w iloœci pozwalaj¹cej obsadziæ obszar wielkoœci

40 arów. Oblicz, czy zamówiona iloœæ sadzonek jest wystarczaj¹ca do zalesienia ugoru.

Zadanie 10. (5 pkt)

Dane s¹ dwie bry³y: sto¿ek, w którym d³ugoœæ promienia podstawy jest równa dm

4

i

wysokoœæ ma d³ugoœæ

dm

18

π

oraz ostros³up prawid³owy czworok¹tny, w którym krawêdŸ

podstawy ma d³ugoœæ

dm.

3

4

Wiedz¹c, ¿e objêtoœci tych bry³ s¹ równe, wyznacz k¹t

nachylenia œciany bocznej ostros³upa do jego podstawy.

6

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz I

MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA

ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO I - POZIOM PODSTAWOWY

Numer

czynnoœci

Opis wykonywanej czynnoœci

Liczba

punktów

Modelowy wynik etapu (czynnoœci)

1.1

Podanie równania rodziny prostych

prostopad³ych do prostej l (za wyznaczenie

wspó³czynnika kierunkowego przyznajemy
1 p.).

1 p

b

x

y

+

−

=

3

2

1.2

Wyznaczenie wspó³czynnika

b

1 p

4

−

=

b

1.3

Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji f.

1 p

6

0

−

=

x

2.1

Obliczenie wspó³rzêdnych punktu

B

1 p

(

)

2

,

2

−

=

B

2.2

Obliczenie wspó³rzêdnych wektora

→

v

1 p

[ ]

8

,

6

−

=

→

v

2.3

Obliczenie d³ugoœci wektora

→

v

1 p

10

=

→

v

3.1

Obliczenie liczby wszystkich wyników

doœwiadczenia polegaj¹cego na wylosowaniu
czterech uczniów klasy

1 p









=

Ω

4

30

3.2

Obliczenie liczby wyników sprzyjaj¹cych
zdarzeniu

A

polegaj¹cego na wylosowaniu

czterech uczniów, którzy nie ogl¹dali jeszcze

filmu

1 p









=

4

21

A

3.3

Obliczenie prawdopodobieñstwa zdarzenia

A

1 p

( )

87

19

=

A

P

4.1

Wybór i wyskalowanie osi

1 p

4.2

Sporz¹dzenie diagramu

1 p

4.3

Wyznaczenie liczby wszystkich uczniów

1 p

180

4.4

Wyznaczenie œredniej.

1 p

3,25

4.5

Obliczenie liczby uczniów, którzy uzyskali

ocenê powy¿ej œredniej

1 p

60

5.1

Zauwa¿enie, ¿e liczby stron przeczytanych
w

kolejnych dniach to wyrazy ci¹gu

arytmetycznego i przyjêcie oznaczeñ

1 p.

np.

1

a

- liczba stron przeczytanych w pierwszym

dniu,

r

-

ró¿nica liczby stron przeczytanych w

kolejnych dniach

5.2

U³o¿enie uk³adu równañ (1) pozwalaj¹cego
wyznaczyæ

1

a

i

r

.

1 p.

(1)







=

+

=

+

68

12

28

2

1

1

r

a

r

a

5.3

Rozwi¹zanie uk³adu równañ (1)

1 p







=

=

4

20

1

r

a

5.4

Obliczenie liczby stron ksi¹¿ki

1 p

572

6.1

Przedstawienie wielomianu

W

w

postaci

iloczynowej .

1 p

6.2.

Wykorzystanie warunku

( )

3

1

=

−

W

do

u³o¿enia równania (2).

1 p

(2)

(

)(

)(

)

2

1

1

1

2

1

3

−

−

−

−

+

−

=

a

6.3

Rozwi¹zanie równania (2)

1 p

2

1

=

a

Egzamin maturalny z matematyki – maj 2002

1

2

Egzamin maturalny z matematyki – maj 2002

7.1 1

p

np.

x

- szukana kwota

x

3

,

0

- wydatki w pierwszym tygodniu

60

3

,

0

−

x

- wydatki w drugim tygodniu

7.2

Analiza zadania i przyjêcie oznaczeñ

1 p

(

)

[

]

60

3

,

0

3

,

0

2

1

−

+

−

x

x

x

- (lub

1

540

2

⋅

z³) wydatki w

trzecim tygodniu

7.3

U³o¿enie równania pozwalaj¹cego

wyznaczyæ szukan¹ kwotê.

1 p

(

)

[

]

x

x

x

x

x

x

=

+

−

+

−

+

−

+

270

60

3

,

0

3

,

0

2

1

60

3

,

0

3

,

0

7.4

Rozwi¹zanie równania i odpowiedŸ

1 p

1200

=

x

z³

8.1

Zapisanie warunku pozwalaj¹cego

wyznaczyæ

a

1 p

3

3

−

=

−

a

8.2

Zapisanie warunku pozwalaj¹cego
wyznaczyæ

b

1 p

4

4

−

=

∆

−

a

8.3

Wyznaczenie

a

1 p

1

=

a

8.4

Wyznaczenie

b

1 p

2

=

b

8.5

Obliczenie miejsc zerowych funkcji

f

.

1 p

3

1

−

=

x

,

1

2

=

x

9.1

Wyznaczenie d³ugoœci odcinków

potrzebnych do obliczenia pola dzia³ki na
planie.

1 p

9.2

Obliczenie pola dzia³ki na planie

1 p

3

12

=

P

P

cm

2

9.3

Obliczenie pola dzia³ki w rzeczywistoœci

1 p

6

27 10

3

P

=

⋅

cm

2

9.4

Zamiana jednostek

1 p np.

3

27

=

P

a

9.5

Porównanie 40 arów z polem dzia³ki
i

stwierdzenie, ¿e iloœæ sadzonek jest

niewy

starczaj¹ca.

1 p

40

3

27

>

10.1

Obliczenie objêtoœci sto¿ka

1 p

96

=

V

dm

3

10.2

Obliczenie pola powierzchni podstawy

ostros³upa

1 p

48

=

P

dm

2

10.3

Obliczenie d³ugoœci wysokoœci ostros³upa

1 p

6

=

H

dm

10.4

Wyznaczenie jednej z funkcji

trygonometrycznych k¹ta nachylenia

œciany bocznej ostros³upa do jego
podstawy

1 p

3

tg

=

α

10.5

Wyznaczenie k¹ta nachylenia œciany

bocznej ostros³upa do jego podstawy

1 p

°

=

60

α