Jak Zbiór liczb rzeczywistych
Zakres podstawowy
Zadanie 1.
Oblicz:
a) [8∙3
4
∙3
11
– 9∙(3
4
)
3
]:9
7
;
b)
3
1
5
1
3
2
32
125
,
0
⋅
−
–
2
2
5
12
+
.
Zadanie 2.
Aby wyrazić prędkość 20
s
m
w
h
km
możemy postąpić następująco:
1m =
1000
1
km, 1s =
3600
1
h. Zatem: 20
s
m
=
h
3600
1
km
1000
1
20
⋅
=
h
km
1000
3600
20
⋅
= 72
h
km
.
Postępując podobnie, wyraź prędkość 5
s
cm
w
h
m
.
Zadanie 3.
Dane są liczby: x =
72
80
−
i y =
72
80
+
. Usuń niewymierność z mianownika
wyrażenia
y
x
. Podaj przybliżoną wartość tego wyrażenia, przyjmując, że 10
≈
3,15.
Zadanie 4.
Dane są zbiory: A – zbiór liczb naturalnych nieparzystych, B – zbiór liczb całkowitych
podzielnych przez 3, C – zbiór liczb całkowitych i W – zbiór liczb wymiernych.
a) Wypisz elementy zbioru A i elementy zbioru B.
b) Wypisz wszystkie liczby pierwsze jednocyfrowe należące do zbioru A
∪
B.
c) Sprawdź, czy do zbioru (C
∩
W) – B należy liczba przeciwna do
4
81 .
Zadanie 5.
Dana jest liczba x = 2,(45).
a) Przedstaw tę liczbę w postaci ilorazu dwóch liczb naturalnych.
b) Podaj przykład liczby niewymiernej, większej od 3x.
Zadanie 6.
Pierwszy tokarz wykonałby zamówienie w ciągu 8 godzin, drugi – o pół godziny krócej, a
trzeci potrzebowałby na to tylko 6 godzin 40 minut. Oblicz, jaką część całego zamówienia
wykonają trzej tokarze, pracując równocześnie przez 2
5
2
godziny.
Zadanie 7.***
Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych, których największy wspólny dzielnik jest równy
8, a najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 144
Zadanie 8.
Zapisz liczbę a =
2
,
1
:
96
,
0
4
3
21
:
21
11
33
28
3
35
45
,
0
5
2
125
,
2
−
⋅
−
⋅
w najprostszej postaci, następnie
znajdź liczbę przeciwną do a i odwrotność liczby a.
Zadanie 9.
Uprość wyrażenie: 27(2m – 1) – (2m – 3)
3
– (7m + 2)(7m – 2) + 8m
3
, a następnie oblicz jego
wartość dla m = 2 3 + 1.
Zadanie 10.
Pan Jan i pan Adam chodzą regularnie o tej same porze do tej samej restauracji: pan Jan co 12
dni, a pan Adam co 15 dni.
a) Ile dni upływa między kolejnymi spotkaniami obu panów w tej restauracji?
b) Jeśli ostatnio panowie spotkali się w restauracji w środę, to w jaki dzień tygodnia nastąpi
kolejne spotkanie?
Zadanie 11.
Zbiór A oznacza zbiór liczb naturalnych mniejszych od 10; B oznacza zbiór liczb całkowitych
parzystych, których odległość od 0 na osi liczbowej jest niewiększa od 8.
a) Wypisz elementy zbioru A i elementy zbioru B.
b) Wskaż liczby pierwsze należące do zbioru A.
c) Znajdź zbiory A
∪
B, A
∩
B.
d) Wypisz elementy zbioru A – B i opisz ten zbiór za pomocą symboli.
Zadanie 12.
Prostokątną bibułkę grubości
8
1
mm składamy na pół, potem znów na pół itd. Załóżmy, że
bibułkę udało się złożyć 25 razy. Jaka jest, w przybliżeniu, grubość tak złożonej bibułki?
Wynik podaj w kilometrach, bez użycia potęg. W obliczeniach przyjmij, że 2
10
≈
1000.
Zadanie 13.
Dany jest zbiór A =
π
−
)
34
(
,
1
;
3
;
16
9
;
8
3
3
;
0
;
2
;
8
3
1
2
1
3
.
a) Wypisz liczby niewymierne, które należą do zbioru A.
b) Ustaw liczby wymierne należące do zbioru A w kolejności od najmniejszej do największej.
c) Podaj przykład liczby rzeczywistej x, która spełnia warunek:
11
7
x
11
3
11
6
<
+
<
.
Zadanie 14.***
Dane są dwie kolejne liczby naturalne, które nie dzielą się przez 3. Wyznacz resztę z dzielenia
sumy kwadratów tych liczb przez 9.
Zadanie 15.
Zaznacz na osi liczbowej przedziały: A = (–
∞
, 3
〉
i B =
〈
–4, 7).
a) Wyznacz zbiory A
∪
B oraz A – B.
b) Zapisz za pomocą sumy przedziałów zbiór X = {x: x
∈
R – A
∧
x
≠
1
∧
x
≠
5}.
Zadanie 16.
a) Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej, rozwiąż równanie:
|2 + x| – 3 = 0.
b) Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności: 0
≤
|x| – 1.
c) Wyznacz wszystkie możliwe wartości wyrażenia: |3 – |x||, jeśli x
∈
(–5, –1)
∩
C.
Zadanie 17.
Miesięczna składka członkowska pewnego stowarzyszenia w 2005 roku wynosiła 25 zł.
Poniższa tabela przedstawia faktyczne wpłaty wszystkich członków z tego tytułu do końca
2005 roku.
Całkowita kwota składek
wpłacona przez 1 osobę (zł)
100
125
150
200
225
275
300
Liczba osób, które wpłaciły
określoną kwotę składek
5
3
10
8
1
9
12
a) Oblicz średnią wpłaconych składek za 2005 r. przypadającą na jednego członka
stowarzyszenia z dokładnością do 1 grosza.
b) Ile procent wszystkich osób wpłaciło więcej, niż 150 zł?
c) O ile procent mniej (z dokładnością do 0,5%) zebrano składek w 2005 roku niż
planowano?
Zadanie 18.
Oblicz:
a) średnią geometryczną liczb: 7, 8, 14, 49;
b) średnią harmoniczną liczb:
3
4
,
4
1
,
2
5
2
1
1
−
, 2.
Zadanie 19.
Ustal zbiór rozwiązań nierówności: (x + 3)
2
≥
(x + 2)(x – 2) + 6x.
Zadanie 20.***
Uzasadnij, że liczba
2
6
11
+
–
2
2
3
−
jest liczbą naturalną.
Zadanie 21.
Rozwiąż równanie:
2
3
x
+
=
3
2
i zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań.
Zadanie 22.
Napisz taką nierówność z wartością bezwzględną, aby jej zbiorem rozwiązań był zbiór:
(–
∞
, –7)
∪
(3, +
∞
).
Zadanie 23.
Dane są zbiory: A = {x: x
∈
R
∧
x < 2}, B = {x: x
∈
R
∧
|x|
≤
3}.
a) Wyznacz zbiory A – B i B
∩
A.
b) Wypisz wszystkie liczby naturalne, które należą do zbioru A
∪
B.
Zadanie 24.
Pan Rafał postanowił wpłacić do banku na rok 3000 zł. Bank A oferuje, przy rocznej lokacie,
oprocentowanie 4% w stosunku rocznym, z kapitalizacją odsetek co pół roku. Bank B po roku
dopisuje 4,5% odsetek. W którym banku pan Rafał uzyska więcej odsetek, i o ile więcej?
Zadanie 25.
Cenę pewnego towaru obniżono najpierw o 10%, a następnie podniesiono o 20%. O ile
procent należałoby jednorazowo podnieść cenę początkową tego towaru, aby uzyskać ten sam
efekt?
Zadanie 26.
Średni wiek uczestników wycieczki jest równy 18 lat. Najstarszy uczestnik ma 50 lat, a średni
wiek pozostałych jest równy 17 lat. Ile osób jest na wycieczce?
Zadanie 27.***
W trójkącie prostokątnym o polu 12 2 cm
2
poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta
prostego, która dzieli przeciwprostokątną w stosunku 1:2. Oblicz długość tej wysokości.