Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-1
Wykład 27
27.
Optyka geometryczna i falowa
27.1
Wstęp
27.1.1
Odbicie i załamanie
Przypomnienie kilku podstawowych wiadomości:
•
współczynnik załamania; bezwzględny i względny
n = c/
v
, n
2,1
=
v
1
/
v
2
(27.1)
•
prawo odbicia i załamania: promień odbity i załamany leŜą w jednej płaszczyźnie
utworzonej przez promień padający i prostopadłą do powierzchni odbijającej w punkcie
padania (normalna padania) tzn. W płaszczyźnie rysunku poniŜej.
•
dla odbicia
θ
1
=
θ
1
’
•
dla załamania
1
,
2
2
1
sin
sin
n
=
θ
θ
Prawa te moŜna wyprowadzić z równań Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trud-
ne. Jednak te prawa optyki moŜna wyprowadzić w oparciu o prostą (ale waŜną) zasadę
odkrytą w 1650 r przez Pierre Fermata.
27.1.2
Zasada Fermata
Zasadę tę formułujemy w następujący sposób:
Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której
przebycie trzeba zuŜyć w porównaniu z innymi, sąsiednimi drogami, minimum albo
maksimum czasu
.
normalna
promie
ń
odbity
promie
ń
załamany
promie
ń
padaj
ą
cy
θ
1
θ
1
’
θ
2
czoło fali płaskiej
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-2
Np. najkrótszy czas między dwoma punktami w próŜni - linia prosta.
Z tej zasady moŜna wyprowadzić prawa odbicia i załamania.
Na rysunku są przedstawione dwa punkty A i B oraz łączący je promień APB.
Całkowita długość drogi promienia wynosi
2
2
2
2
)
(
x
d
b
x
a
l
−
+
+
+
=
gdzie x jest zmienną zaleŜną od połoŜenia punktu P (punkt odbicia promienia).
Zgodnie z zasadą Fermata punkt P (zmienną x) wybieramy tak, Ŝeby czas przebycia
drogi APB był minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie oznacza
to warunek
0
d
d
=
x
l
czyli
0
)
1
)(
(
2
]
)
(
[
2
1
2
)
(
2
1
d
d
2
/
1
2
2
2
/
1
2
2
=
−
−
−
+
+
+
=
−
−
x
d
x
d
b
x
x
a
x
l
lub przekształcając
2
2
2
2
)
(
x
d
b
x
d
x
a
x
−
+
−
=
+
Porównując z rysunkiem widzimy, Ŝe jest to równowaŜne zapisowi
sin
θ
= sin
θ
’
czyli
θ
=
θ
’
co jest prawem odbicia.
Podobnie postępujemy w celu wyprowadzenia prawa załamania. Rozpatrzmy sytuację
przedstawioną na rysunku poniŜej.
A
B
d-x
x
P
d
a
b
θ
1
’
θ
1
’
θ
1
θ
1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-3
Czas t, przelotu światła, z A do B dany jest wzorem
2
2
1
1
v
v
l
l
t
+
=
Uwzględniając
n = c/
v
moŜemy przepisać to równanie w postaci
c
l
c
l
n
l
n
t
=
+
=
2
2
1
1
Wielkość
l = n
1
l
1
+
n
2
l
2
nazywamy
drogą optyczną promienia
(nie mylić z drogą geome-
tryczną równą
l
1
+
l
2
). Ponownie dobieramy
x (punkt P), aby droga l była minimalna
czyli, aby d
l/dx = 0. PoniewaŜ droga optyczna wynosi
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
)
(
x
d
b
n
x
a
n
l
n
l
n
l
−
+
+
+
=
+
=
otrzymujemy
0
)
1
)(
(
2
]
)
(
[
2
1
2
)
(
2
1
d
d
2
/
1
2
2
2
2
/
1
2
2
1
=
−
−
−
+
+
+
=
−
−
x
d
x
d
b
n
x
x
a
n
x
l
lub po przekształceniu
2
2
2
2
2
1
)
(
x
d
b
x
d
n
x
a
x
n
−
+
−
=
+
Porównując to z rysunkiem otrzymujemy
n
1
sin
θ
1
=
n
2
sin
θ
2
A
B
P
d
v
2
v
1
n
2
n
1
x
d-x
l
1
l
2
θ
1
θ
1
θ
2
θ
2
a
b
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-4
co jest prawem załamania.
W omawianych obu przypadkach czas (i droga) był
minimalny.
27.2
Warunki stosowalności optyki geometrycznej
Omawiając odbicie i załamanie fal (płaskich) posługiwaliśmy się pojęciem
pro-
mienia
. Ta wygodna konstrukcja myślowa przydatna do opisu tych zjawisk nie jest po-
mocna przy opisie
ugięcia światła
(fal) gdyŜ niemoŜliwe jest wydzielenie pojedynczego
promienia z padającej fali płaskiej. śeby to sprawdzić prześledźmy zachowanie fali pła-
skiej padającej na szczeliny o róŜnej szerokości. To zachowanie jest przedstawione
schematycznie na rysunku poniŜej dla szczelin o szerokości a = 5
λ
, a = 3
λ
oraz a =
λ
.
Widzimy, Ŝe ugięcie staje się coraz bardziej wyraźne gdy a/
λ
→
0.
To ugięcie jest charakterystyczne dla
wszystkich rodzajów fal
. Dzięki temu moŜemy np.
słyszeć fale głosowe znajdując się za załomem muru.
Ugięcie fal na szczelinie (albo przeszkodzie) wynika z zasady Huyghensa.
a=5
λ
a=3
λ
a=
λ
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-5
27.2.1
Zasada Huyghensa
W tej teorii światła podanej przez Christiana Huyghensa w 1678 r. zakłada się,
Ŝ
e światło jest falą ( a nie strumieniem cząstek). Nie wspomina ona o elektromagne-
tycznym charakterze światła ani nie wyjaśnia, Ŝe światło jest falą poprzeczną. Teoria
Huyghensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasadą Huyghensa), która
pozwala przewidzieć gdzie znajdzie się czoło fali w dowolnej chwili w przyszłości, je-
Ŝ
eli znamy jej obecne połoŜenie. Zasada ta głosi, Ŝe
wszystkie punkty czoła fali moŜna
uwaŜać za źródła nowych fal kulistych. PołoŜenie czoła fali po czasie t będzie dane
przez powierzchnię styczną do tych fal kulistych
. PoniŜej przedstawiony jest na rysunku
elementarny przykład obrazujący, za pomocą elementarnych fal Huyghensa, rozchodze-
nie się fali płaskiej w próŜni.
Dane jest czoło fali płaskiej w próŜni. Zgodnie z zasadą Huyghensa kilka dowolnie wy-
branych punktów na tej powierzchni traktujemy jako źródła fal kulistych. Po czasie t
promienie tych kul będą równe ct, gdzie c jest prędkością światła. Powierzchnia styczna
do tych kul po czasie t jest nową powierzchnią falową. Oczywiście powierzchnia falowa
fali płaskiej jest płaszczyzną rozchodzącą się z prędkością c.
Uwaga: MoŜna by oczekiwać ( w oparciu o tę zasadę), Ŝe wbrew obserwacji fala Huy-
ghensa moŜe się rozchodzić zarówno do tyłu jak i do przodu. Tę „trudność” w modelu
eliminuje się poprzez załoŜenie, Ŝe natęŜenie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia się
w sposób ciągły od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla kierunku „w tył”.
Metoda Huyghensa daje się zastosować jakościowo do
wszelkich zjawisk falowych
.
MoŜna przedstawić za pomocą fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie fal jak
i ich załamanie.
My zastosujemy je do wyjaśnienia ugięcia fal na szczelinie (przeszkodzie).
ct
czoło fali
w chwili
t = 0
nowe poło
Ŝ
enie
czoła fali
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27-6
Rozpatrzmy czoło fali dochodzącej do szczeliny. KaŜdy jej punkt moŜemy potraktować
jako źródło fal kulistych Huyghensa. Jednak przez szczelinę przechodzi tylko część fal.
Fale leŜące poza brzegami szczeliny zostają wyeliminowane i z tym jest związane zagi-
nanie wiązki w obszar tzw. cienia geometrycznego. Szczegóły dotyczące fal ugiętych
zostaną przedstawione dokładnie w dalszych wykładach. Tutaj zwróćmy jedynie uwagę
na to, Ŝe gdy szerokość szczeliny staje się duŜa (w stosunku do długości fali) a >>
λ
to
ugięcie moŜna zaniedbać. Wydaje się, Ŝe światło rozchodzi się po liniach prostych co
moŜna przedstawić w postaci promieni podlegających prawom odbicia i załamania.
Mówimy, Ŝe mamy do czynienia z
optyką geometryczną
.
Warunkiem stosowalności optyki geometrycznej jest więc aby wymiary liniowe wszyst-
kich obiektów (soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) były o wiele większe od długości
fali.
JeŜeli tak nie jest to nie moŜemy przy opisie światła posługiwać się promieniami, lecz
trzeba wziąć pod uwagę
falowy charakter światła
. Widać jak znaczące jest ugięcie fali
gdy szczelina ma rozmiar porównywalny z długością fali.
Mamy wtedy do czynienia z
optyką falową
.
Optyka geometryczna jest więc szczególnym (granicznym) przypadkiem optyki falowej.
Zajmiemy się teraz właśnie optyką falową.