Za rozwiàzanie

wszystkich zadaƒ

mo˝na otrzymaç

∏àcznie 50 punktów.

Autor: Anna Jatczak

ARKUSZ II

TEST PRZED PRÓBNÑ MATURÑ 2007

PRZYK¸ADOWY ARKUSZ

EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

Arkusz II

POZIOM ROZSZERZONY

Czas pracy: 150 minut

Instrukcja dla zdajàcego

1. Prosz´ sprawdziç, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 11

stron. Ewentualny brak nale˝y zg∏osiç przewodniczàcemu
zespo∏u nadzorujàcego egzamin.

2. Rozwiàzania zadaƒ i odpowiedzi nale˝y zapisaç w miejscu

na to przeznaczonym.

3. W rozwiàzaniach zadaƒ trzeba przedstawiç tok rozumowa-

nia prowadzàcy do ostatecznego wyniku.

4. Prosz´ pisaç czytelnie; u˝ywaç d∏ugopisu/pióra tylko

z czarnym tuszem/atramentem.

5. Nie wolno u˝ywaç korektora. B∏´dne zapisy trzeba wyraê-

nie przekreÊliç.

6. Zapisy w brudnopisie nie b´dà oceniane.
7. Obok ka˝dego zadania podana jest maksymalna liczba punk-

tów, którà mo˝na uzyskaç za jego poprawne rozwiàzanie.

8. Podczas egzaminu mo˝na korzystaç z zestawu wzorów

matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

˚yczymy powodzenia!

Arkusz przygotowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON na wzór oryginalnego arkusza maturalnego.

w w w. o p e r o n . p l

Zadanie 11 (4 pkt)

Przygotowane na loteri´ losy umieszczone w urnach dwóch typów: I i II. W ka˝dej urnie typu I jest

20

losów, wÊród których 5 jest pe∏nych, natomiast w ka˝dej urnie typu II jest 15 losów, wÊród których 3
sà pe∏ne. Urn typu I jest trzy razy wi´cej ni˝ urn typu II. Z losowo wybranej urny wyjmujemy jeden
los. Oblicz prawdopodobieƒstwo, ˝e jest to los pe∏ny.

Matematyka. Arkusz II

2

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Arkusz II

3

Zadanie 12 (6 pkt)

Rysunek przedstawia wykres funkcji

f x

^ h. Jej wykres powsta∏ z przesuni´cia wykresu funkcji

g x

x

2

=

^ h

, x

0

! o wektor v.

a) Znajdê wspó∏rz´dne wektora v.

b) Wiedzàc, ˝e funkcj´ f x

^ h mo˝na opisaç wzorem postaci f x

x

c

ax

b

=

+

+

^ h

, wyznacz wspó∏czynniki a,

b, c we wzorze funkcji f x

^ h.

c) Wyznacz argumenty x, dla których wartoÊci funkcji f x

^ h sà nie mniejsze od wartoÊci funkcji g x

^ h.

0

1

y = f(x)

X

Y

w w w. o p e r o n . p l

Zadanie 13 (4 pkt)

Aby wyznaczyç

tg15c mo˝emy postàpiç w podany sposób.

1. Rysujemy trójkàt prostokàtny, w którym jeden kàt ostry ma miar´ 30c. Boki tego trójkàta mo˝emy

oznaczyç przez a, a 3, a

2 , gdzie a jest przeciwprostokàtnà le˝àcà naprzeciw kàta 30c.

2. KreÊlimy dwusiecznà kàta 30c, która dzieli go na dwa kàty o mierze 15c, a przeciwleg∏à przyprosto-
kàtnà na odcinki x i a

x

- .

3. Korzystamy z nast´pujàcego twierdzenia o dwusiecznej kàta w trójkàcie. Dwusieczna kàta w trój-
kàcie dzieli przeciwleg∏y bok trójkàta na odcinki, które sà proporcjonalne do tych boków trójkàta,
do których przylegajà.

Zatem:

a

x

a

a

x

3

2

=

-

.

4. Obliczamy d∏ugoÊç odcinka x:

ax

a

a

x

2

3

=

-

^

h

ax

a

x

a

2

3

3

2

+

=

ax

a

2

3

3

2

+

=

_

i

x

a

a

a

a

2

3

3

2

3 2

3

3 2

3

4

3

3 2

3

2

=

+

=

+

-

-

=

-

-

_

_

_

_

_

i

i

i

i

i

x

a 3 2

3

=

-

_

i

5. Obliczamy:

a

x

a

a

15

3

3

3 2

3

tg

c =

=

-

_

i

15

2

3

tg

c =

-

W analogiczny sposób oblicz

'

tg 22 30

c

.

2 a

a – x

a

x

a 3

30°

15°

Matematyka. Arkusz II

4

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Arkusz II

5

Zadanie 14 (4 pkt)

Dane jest równanie

log

log

log x

2

1

0

,

8

0 25

2

+

+

=

^

h

7

A

.

a) Podaj za∏o˝enia konieczne do okreÊlenia dziedziny równania.
b) Rozwià˝ równanie.
c) Sprawdê, czy rozwiàzanie równania spe∏nia za∏o˝enia dotyczàce jego dziedziny.

w w w. o p e r o n . p l

Zadanie 15 (7 pkt)

Dana jest prosta :

k x

y

3

4

7

0

-

+

=

i punkt

;

A

2

3

=

-

^

h. Z punktu A poprowadzono dwie proste m i n ta-

kie, ˝e:
– prosta m przecina prostà k w punkcie B i jest prostopad∏a do niej,
– prosta n przecina prostà k w takim punkcie C nale˝àcym do pierwszej çwiartki uk∏adu wspó∏rz´d-
nych, ˝e ACB

E

ma miar´ 30c.

Wyznacz wspó∏rz´dne punktów B i C.

Matematyka. Arkusz II

6

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Arkusz II

7

Zadanie 16 (6 pkt)

Rysunek przedstawia wykres funkcji f x

x

ax

bx

c

3

2

=

+

+

+

^ h

,

x

R

! .

a) Wyznacz wspó∏czynniki a, b, c we wzorze funkcji f x

^ h.

b) Wyznacz maksymalny przedzia∏, w którym funkcja f x

^ h jest malejàca.

1

– 5

–8

y = f(x)

X

Y

w w w. o p e r o n . p l

Zadanie 17 (4 pkt)

Przedstawiona na rysunku choràgiewka ma kszta∏t trójkàta równoramiennego, którego ramiona majà
d∏ugoÊç

cm

40

i tworzà kàt 30c. Choràgiewka ta zosta∏a wykonana z dwóch kawa∏ków tkaniny: jedne-

go w kolorze czarnym i drugiego w kolorze bia∏ym, przy czym cz´Êç w kolorze bia∏ym stanowi

%

62

powierzchni choràgiewki. Oblicz d∏ugoÊç odcinka, wzd∏u˝ którego zosta∏y po∏àczone oba kawa∏ki
tkanin.

Matematyka. Arkusz II

8

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Arkusz II

9

Zadanie 18 (3 pkt)

Wyznacz trzeci wyraz rozwini´cia dwumianu x

y

n

2

+

_

i

, wiedzàc, ˝e wspó∏czynnik przy czwartym wy-

razie tego rozwini´cia stanowi

7

4

wspó∏czynnika przy wyrazie piàtym.

w w w. o p e r o n . p l

Zadanie 19 (6 pkt)

Rysunek przedstawia fragment nieskoƒczonego ciàgu kwadratów

,

,

,...

K K

K

1

2

3

^

h

umieszczonego

w trójkàcie prostokàtnym o bokach d∏ugoÊci 3, 4, 5. Oblicz sum´ pól tego ciàgu kwadratów.

K

1

K

2

K

3

Matematyka. Arkusz II

10

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Arkusz II

11

Zadanie 20 (6 pkt)

Oblicz

x

tg , wiedzàc, ˝e sin y

10

1

=

i

x

y

2

4

+

= r i ,

;

x y

0

2

!

r

b

l

.