Wydział WiLiŚ, Budownictwo, sem.3

dr Jolanta Dymkowska

Jednowymiarowa zmienna losowa

Zad.1 W grupie studenckiej przeprowadzono kolokwium. Niech zm. los. X przyjmuje warości otrzymywanych ocen

(skala 4-ro stopniowa). Wiedząc, że stosunek ocen 5, 4, 3, 2 jest równy 1:3:4:2, wyznaczyć:

a) funkcję p-stwa,

b) dystrybuantę zm. los. X ,

c) p-stwo P (X < 3, 5) i P (3

6 X < 4, 5) (korzystając z funkcji p-stwa i z dystrybuanty).

Ponadto:

e) zinterpretować na wykresie dystrybuanty p-stwo P (X = 3) ,

f) obliczyć EX oraz EY , gdzie Y = X

2

− 4X .

Zad.2

Na loterię pieniężną przygotowano 200 losów, w tym dwa wygrywające po 1000 zł, osiem po 500 zł, dziesięć

po 200 zł, dwadzieścia po 100 zł i sześćdziesiąt po 10 zł. Reszta losów jest pusta. Niech zm. los. X oznacza
wygraną na loterii (każdy losuje jeden los). Należy:

a) przedstawić rozkład zm. los. w formie tabeli,

b) wyznaczyć dystrybuantę zm. los. X ,

c) znaleźć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standartowe zm. los. X .

Zad.3 Dany jest rozkład zm. los. X :

X :

x

i

−2

−1

0

4

6

p

i

1
8

1
8

1
2

3

16

1

16

a) Oblicz P (X > −1) i P (0

6 X < 5) .

b) Wyznacz dystrybuantę zm. los. X .

c) Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standartowe zm. los. X .

d) Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standartowe zm. los. Y , jeżeli Y = 3X + 2 .

Zad.4 Wydrukowano rozkład pewnej zm. los. X w postaci tabeli. Jednak z przyczyn technicznych wartość realizacji

zm. los. X = x

3

oraz P (X = x

3

) nie zostały wydrukowane. Uzupełnij puste miejsca w tabeli, jeżeli wiadomo,

że EX =

5
4

.

X :

x

i

−2

0

12

p

i

1
2

1
4

1

16

Zad.5 Rozkład zm. los. X jest dany w postaci tabeli:

X :

x

i

−2

−1

−0, 5

0, 5

1

2

p

i

0, 1

0, 1

0, 2

0, 4

0, 1

0, 1

Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = X

2

−

1

X

2

, jej wartość oczekiwaną i wariancję.

Zad.6 Zmienna losowa X ma rozkład:

P ( X = n ) =

c

3

n

,

n = 0, 1, 2, 3, . . . .

Wyznaczyć:

a) stałą c,

b) P (5

6 X 6 10) i P (X > 100) ,

c) wartość oczekiwaną zm. los. X .

1

d) dystrybuantę zm. los. X .

Zad.7 Dana jest dystrybuanta zm. los. X :

F (x) =















0

x 6 −2

0, 2

−2 < x 6 1

0, 8

1 < x 6 3

1

x > 3

Oblicz, korzystając z dystrybuanty, P (−1

6 X < 2) . Wyznacz rozkład zm. los. X .

Zad.8 Dana jest funkcja gęstości pewnej zmiennej losowej X :

f (x) =







0

x 6 0

Ax

0 < x 6 1

0

x > 1

Należy:

a) wyznaczyć stałą A,

b) obliczyć P (

1
2

< X 6

3
4

) ,

c) obliczyć wartość oczekiwaną zm. los. X ,

d) wyznaczyć dystrybuantę zm. los. X .

Zad.9 Dla jakich wartości parametru B funkcja:

f (x) =







0

x 6 1

Bx

2

1 < x 6 3

0

x > 3

jest gęstością pewnej zm. los. X ? Wyznacz dystrybuantę i wartość oczekiwaną tej zmiennej.

Zad.10 Dana jest funkcja:

f (x) =



0

|x| < 1

A

x

4

|x| > 1

Dla jakiej wartości A funkcja ta jest gęstością p-stwa zm. los. X ? Wyznacz dystrybuantę i wartość oczekiwaną
tej zmiennej.

Zad.11 Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest w postaci:

F (x) =







0

x 6 0

1

27

x

3

0 < x 6 3

1

x > 3

Znaleźć funkcję gęstości tej zmiennej.

Zad.12 Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja

F (x) = A + B arctg x,

x ∈ R

była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X . Wyznaczyć funkcję gęstości tej zmiennej.

Zad.13 Dana jest funkcja gęstości pewnej zmiennej losowej X :

f (x) =



1

π

√

4−x

2

|x| < 2

0

|x| > 2

Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej.

2