Ć w i c z e n i e 1

ROZKŁAD NORMALNY

1.1. Opis

teoretyczny

Proszę zapoznać się z umieszczonym we Wstępie rozdziałem 2.2.1 zatytułowanym „Probabili-
styczna teoria błędów Gaussa”. Ćwiczenie jest praktyczną ilustracją tej teorii.

Celem ćwiczenia jest otrzymanie eksperymentalnego rozkładu Gaussa (schodkowego), naniesienie
na nim odpowiedniego rozkładu ciągłego i wyznaczenie parametrów rozkładu

)

σ

,

X

(

.

Trzeba zdecydowanie silnie podkreślić, że same parametry rozkładu nie dają pełnej informacji sta-
tystycznej. Taką informacją jest jedynie wykres rozkładu w postaci dyskretnej (tzw. histogram) lub
w postaci ciągłej.

Punkty eksperymentalnie otrzymanego histogramu niejednokrotnie znacznie odbiegają od teore-
tycznej krzywej Gaussa, ponieważ N nie jest wystarczająco duże. W ćwiczeniu w celu ułatwienia
otrzymania docelowej ciągłej krzywej rozkładu stosujemy metodę Simpsona umożliwiającą przeli-
czenie punktów eksperymentalnych P(X

i

) na punkty położone bliżej docelowej krzywej P

S

(X

i

) i w

związku z tym ułatwiające jej znalezienie. Zależność Simpsona ma postać:

[

]

)

P(X

)

P(X

2

)

P(X

0,25

)

(X

P

1

i

i

1

i

i

S

+

−

+

+

=

(1.1)

i jest właściwością krzywej Gaussa określającą współzależność trzech sąsiednich punktów pomia-
rowych.

Parametry rozkładu normalnego można wyznaczyć następującymi sposobami:

a) średnia X :

1) ze wzoru (W-2.2) (ze wstępu Teoria błędów pomiarów)

2) z wykresu rozkładu normalnego - jako miejsce położenia jego maksimum.

b) odchylenie standardowe

σ

1 ) ze wzoru (W-2.4) (ze wstępu Teoria błędów pomiarów

)

2) z wykresu rozkładu normalnego określając położenie punktów przegięć.

W laboratorium znajdują się dwie wersje służące do eksperymentalnego sprawdzenia przytoczonej
wyżej teorii :

wersja A

- badająca staczanie się kulek stalowych po pochylni

wersja B

- badająca dokładność wykonania fabrycznych rezystorów

1.2. Opis układu pomiarowego

W skład zestawu pomiarowego wchodzą:

w

wersji A

:

1) pochylnia do staczania kulek zaopatrzona w 37 przegródek

2) pudełko z kulkami stalowymi (w liczbie około 100).

w

wersji B

:

1) omomierz cyfrowy

2) rezystory fabryczne o rezystancji około 164

Ω w ilości 104 sztuk zamontowane w

obudowie. Każdy z oporów jest podłączony do osobnego gniazda pomiarowego.

1.3. Przeprowadzenie eksperymentu

W e r s j a A

1. Zapoznać się z budową pochylni.

2. Wsypać kulki przez otwór w pudełku do urządzenia pojedyńczo tak aby się nie zderzały ze

sobą.

3. Obliczyć i zapisać ile kulek wpadło do poszczególnych przegródek.

4. Przesypać kulki z powrotem do pudełka.

5. Operacje 2-4 powtórzyć 10-krotnie.

6. Zliczyć ile kulek wpadło do poszczególnych przegródek łącznie w 10 wsypaniach.

W e r s j a B

1. Wykonać pomiary rezystancji 104 rezystorów.

2. Pogrupować wyniki w przedziały o szerokości 0,5

Ω. Wartości minimalna R

min

i

maksymalna R

max

są podane na obudowie.

1.4. Opracowanie wyników pomiarów

W e r s j a A

1.

Narysować schodkowy histogram zależności ilości kulek (N

i

) od numeru przedziału (X

i

) do

którego wpadły tzn. N

i

= f (X

i

). Szerokość przedziału przyjąć równą 1.

W e r s j a B

1.

Narysować schodkowy histogram przypisując każdemu z przedziałów rezystancji o szero-

kości 0,5

Ω (X

i

) zaistniałą ilość rezystorów (N

i

) .

d a l e j w o b u w e r s j a c h p o d o b n i e

2. Stosując zależność Simpsona (1.1) wyznaczyć i nanieść na wykres punkty pomocnicze

[

]

1

i

i

1

i

i

N

2N

N

0,25

N

S

+

−

+

+

=

3. Narysować przypuszczalny kształt ciągłego rozkładu normalnego starając się aby tyle sa-

mo punktów simpsonowskich znalazło się pod co i nad krzywą (patrz rys. 1 we wstę-
pie)

4. Wyznaczyć parametry rozkładu

)

σ

,

X

(

wszystkimi przedstawionymi metodami. Jako

wyniki końcowe podać wartości średnie.

5. Obliczyć bezwzględną i względną (wyrażoną w %) ilość kulek (w wersji B : rezystorów),

które znalazły się w następujących przedziałach:

σ

0,679

X

±

σ

X

±

σ

2

X

±

σ

3

X

±

Porównać z teoretycznymi prawdopodobieństwami wpadnięcia kulek te przedziały (w w
sji B: z prawdopodobieństwami, że rezystancja danego rezystora mieści się w tych prze
działach). Prawdopodobieństwa te wynoszą odpowiednio : 0,5 ; 0,68 ; 0,95 ; 0,997 .

er-

-

6. Wyciągnąć wnioski. Czym można wytłumaczyć zaistniałe odstępstwa od teorii?

1.5. Pytania kontrolne

1. Napisać i objaśnić wzór na rozkład normalny.

2. W jakich przypadkach można stosować rozkład normalny?

3. Omówić sens fizyczny parametrów rozkładu normalnego.

4. Opisać graficzną metodę wyznaczania odchylenia standardowego.

5. Wymienić przykłady zdarzeń losowych, w których można by było zastosować rozkład normal-
ny.

L i t e r a t u r a

[1] Reif E. Fizyka statystyczna, PWN, Warszawa 1975.