11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 1/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ
1
• do opisu układów liniowych w dyskretnej dziedzinie czasu wykorzystuje się równania
różnicowe, wiążące z sobą pobudzenie układu
( )
n
x
z jego odpowiedzią
( )
n
y
, postaci
(
)
(
)
∑
∑
=
=
−
=
−
N
k
k
M
k
k
k
n
x
b
k
n
y
a
0
0
skąd
( )
(
)
(
)
∑
∑
=
=
−
+
−
−
=
N
k
k
M
k
k
k
n
x
a
b
k
n
y
a
a
n
y
0
0
1
0
jeżeli współczynniki
{ }
k
a
oraz
{ }
k
b
, opisujące właściwości układu są wartościami
stałymi (nie zależą od czasu dyskretnego) to układ jest stacjonarny
wartość
(
)
N
M ,
max
nazywamy rzędem (stopniem) równania (układu)
równania różnicowe są dyskretnym odpowiednikiem równań różniczkowych, opisujących
układy analogowe
1
opracowano na podstawie [1-6], wersja z dnia 02.10.2014
materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi
jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 2/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• z równań różnicowych wynika bezpośrednio struktura układu (schemat strukturalny),
np. przy założeniu
1
0
=
a
,
1
=
N
oraz
1
=
M
(układ rzędu 1-szego)
( )
(
)
( )
(
)
1
1
1
0
1
−
+
+
−
−
=
n
x
b
n
x
b
n
y
a
n
y
skąd
• wykorzystując związek pomiędzy odpowiedzią układu a jego odpowiedzią impulsową
( )
n
h
i wymuszeniem
( )
n
x
( )
( ) (
)
∑
∞
=
−
=
0
k
k
n
x
k
h
n
y
dokonując przekształcenia
Z
powyższej zależności i wykorzystując twierdzenie
o splocie otrzymujemy relację
( )
( )
[
]
( ) (
)
( ) ( )
z
X
z
H
k
n
x
k
h
n
y
z
Y
n
=
−
=
=
∑
∞
=0
Z
Z
b
1
y(n)
x(n)
b
1
x(n-1)
-a
1
y(n-1)
-a
1
b
0
z
-1
z
-1
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 3/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• funkcję
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
∑
∞
=
−
=
=
=
0
n
n
z
n
h
n
h
z
X
z
Y
z
H
Z
nazywamy transmitancją (inaczej funkcją przenoszenia, przy założeniu zerowych
warunków początkowych) dyskretnego, przyczynowego układu liniowego, niezmiennego
względem przesunięcia; transmitancja układu
( )
z
H
jest transformatą
Z
jego
odpowiedzi impulsowej
( )
n
h
• wyznaczając transformatę
Z
równania różnicowego można wykazać, że transmitancja
układu (wyrażona współczynnikami równania różnicowego)
( )
( )
( )
∑
∑
=
−
=
−
+
=
=
M
k
k
k
N
k
k
k
z
a
a
z
a
b
z
X
z
Y
z
H
1
0
0
0
1
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 4/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• transmitancji układów dyskretnych można nadać „sens” częstotliwościowy jeśli
wykorzystamy związek pomiędzy przekształceniem
Z
a przekształceniem Fouriera
sygnału dyskretnego (
θ
- unormowana pulsacja,
s
T
ω
=
θ
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
θ
∞
−∞
=
θ
−
∞
−∞
=
−
θ
=
∞
−∞
=
−
=
=
=
=
∑
∑
∑
θ
j
n
n
j
n
n
j
e
z
n
n
e
X
e
n
x
e
n
x
z
n
x
z
X
j
(przekształcenie
Z
jest uogólnieniem przekształcenia Fouriera sygnału dyskretnego)
transformata Fouriera jest równoważna transformacie
Z
dla wszystkich
z
należących
do okręgu jednostkowego
funkcja
( )
θ
j
e
X
jest funkcją okresową zmiennej
θ
z okresem
π
2
zatem charakterystyka częstotliwościowa układu dyskretnego
( )
( ) ( )
( )
[
]
θ
θ
θ
θ
=
=
=
j
j
e
H
j
j
j
e
z
e
e
H
e
H
z
H
arg
gdzie:
( )
θ
j
e
H
- charakterystyka amplitudowa układu dyskretnego
( )
[
]
θ
j
e
H
arg
- charakterystyka fazowa układu dyskretnego
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 5/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• dyskretne przyczynowe układy liniowe, niezmienne względem przesunięcia mogą
posiadać odpowiedź impulsową o skończonym lub nieskończonym czasie trwania
• układy o nieskończonej odpowiedzi impulsowej NOI (ang.: IIR – Infinite Impulse
Response) charakteryzowane są równaniami różnicowymi najmniej dla
1
≥
M
,
zakładając
1
0
=
a
otrzymujemy
( )
(
)
(
)
∑
∑
=
=
−
+
−
−
=
N
k
k
M
k
k
k
n
x
b
k
n
y
a
n
y
0
1
oraz
( )
( )
( )
∑
∑
=
−
=
−
+
=
=
M
k
k
k
N
k
k
k
z
a
z
b
z
X
z
Y
z
H
1
0
1
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 6/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• struktura układu NOI (postać bezpośrednia)
( )
(
)
(
)
∑
∑
=
=
−
+
−
−
=
N
k
k
M
k
k
k
n
x
b
k
n
y
a
n
y
0
1
y(n)
a
1
a
2
b
N
b
0
b
1
b
2
a
M
z
-1
-
x(n)
x(n-1)
x(n-2)
x(n-N)
y(n-1)
y(n-2)
y(n-M)
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 7/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• układy o skończonej odpowiedzi impulsowej SOI (ang.: FIR – Finite Impulse Response)
można zawsze opisać równaniami różnicowymi przy założeniu, że
0
=
M
oraz
przyjmując dodatkowo
1
0
=
a
otrzymujemy
( )
(
)
∑
=
−
=
N
k
k
k
n
x
b
n
y
0
wyrażenie stanowi sumę splotową, zatem dla układów SOI odpowiedź impulsowa jest
określona następująco
( )
=
=
n
N
n
b
n
h
n
h
pozostałyc
dla
dla
0
,...,
2
,
1
,
0
transmitancja układu SOI
( )
( )
∑
=
−
=
N
k
k
k
z
b
z
X
z
Y
0
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
N
N
k
k
N
k
k
k
z
N
h
z
h
h
z
k
h
z
b
z
X
z
Y
z
H
−
−
=
−
=
−
+
+
+
=
=
=
=
∑
∑
...
1
0
1
0
0
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 8/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• struktura układu SOI
( )
(
)
∑
=
−
=
N
k
k
k
n
x
b
n
y
0
y(n)
b
N
b
0
b
1
b
2
x(n)
x(n-1)
x(n-2)
x(n-N)
z
-1
z
-1
z
-1
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 9/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• dyskretne przyczynowe układy liniowe, niezmienne względem przesunięcia, opisywane
równaniem różnicowym postaci (przy założeniu
0
=
M
)
( )
(
)
∑
=
−
=
N
k
k
k
n
x
a
b
n
y
0
0
nazywamy układami nierekursywnymi lub transwersalnymi; ich charakterystyczną
cechą jest brak zależności sygnału wyjściowego w danej chwili od sygnału wyjściowego
w chwilach poprzednich
• dyskretne przyczynowe układy liniowe, niezmienne względem przesunięcia, opisywane
równaniem różnicowym postaci (przy założeniu
1
≥
M
)
( )
(
)
(
)
∑
∑
=
=
−
+
−
−
=
N
k
k
M
k
k
k
n
x
a
b
k
n
y
a
a
n
y
0
0
1
0
nazywamy układami rekursywnymi; ich charakterystyczną cechą jest zależność sygnału
wyjściowego w danej chwili od sygnału wyjściowego w chwilach poprzednich
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 10/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• stacjonarny układ (filtr) liniowy dyskretny opisuje jest równanie różnicowe (
0
0
=
a
)
( )
(
)
(
)
∑
∑
=
=
−
+
−
−
=
N
k
k
M
k
k
k
n
x
b
k
n
y
a
n
y
0
1
(współczynniki
k
a
i
k
b
decydują o właściwościach układu,
(
)
N
M ,
max
- rząd filtru)
• struktura filtru IIR opisana powyższym równaniem przedstawiona jest na schemacie
(1 forma bezpośrednia niekanoniczna)
-a
1
-a
2
b
N
b
0
b
1
b
2
-a
M
y(n)
x(n)
x(n-1)
x(n-2)
x(n-N)
y(n-1)
y(n-2)
y(n-M)
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 11/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• 2 forma bezpośrednia niekanoniczna oraz 2 forma bezpośrednia kanoniczna
-a
1
-a
2
b
N
b
0
b
1
b
2
-a
M
y(n)
x(n)
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
-a
1
-a
2
b
N
b
0
b
1
b
2
-a
M
y(n)
x(n)
z
-1
z
-1
z
-1
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 12/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• ze wzoru Masona (teoria grafów) wynika, że jeśli odwróci się kierunki wszystkich gałęzi
schematu blokowego 2 formy bezpośredniej kanonicznej, transmitancja układu nie
ulegnie zmianie; uzyskuje się w ten sposób odwróconą (transponowaną)
formę 2 bezpośrednią kanoniczną
x(n)
-a
1
-a
2
b
N
b
0
b
1
b
2
-a
M
y(n)
z
-1
z
-1
z
-1
b
2
b
N
-a
M
-a
2
-a
1
b
0
b
1
y(n)
x(n)
z
-1
z
-1
z
-1
b
2
b
N
-a
M
-a
2
-a
1
b
0
b
1
y(n)
x(n)
z
-1
z
-1
z
-1
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 13/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• przy założeniu, że współczynniki
M
k
a
k
...,
,
2
,
1
,
0
=
=
, można otrzymać prostą
bezpośrednią formę kanoniczną filtru FIR
x(n)
-a
1
-a
2
b
N
b
0
b
1
b
2
-a
M
y(n)
z
-1
z
-1
z
-1
y(n)
x(n-N)
x(n)
b
N
b
0
b
1
b
2
x(n-2)
x(n-1)
z
-1
z
-1
z
-1
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 14/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• korzystając ze wzoru Masona z powyższej formy można otrzymać odwróconą
bezpośrednią formę kanoniczną filtru FIR
y(n)
x(n)
b
N
b
0
b
1
b
2
z
-1
z
-1
z
-1
b
N
y(n)
x(n)
b
0
b
1
b
2
z
-1
z
-1
z
-1
b
N
b
2
b
0
b
1
y(n)
x(n)
z
-1
z
-1
z
-1
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 15/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• jeśli
( )
n
h
układu FIR spełnia warunek symetrii
( ) (
)
>
∈<
−
=
N
n
n
N
h
n
h
,
0
dla
to układ posiada liniową charakterystykę fazową
• uproszczona struktura filtru FIR o liniowej charakterystyce fazowej dla parzystej liczby
ogniw filtru (
N
nieparzyste)
( )
( ) (
)
( ) (
) (
)
[
]
∑
∑
−
=
=
+
−
+
−
=
−
=
2
1
0
0
N
k
N
k
k
N
n
x
k
n
x
k
h
k
n
x
k
h
n
y
x[n-(N+1)/2)-1]
x[n-(N+1)/2)]
x[n-(N-1)/2)]
x(n-N)
x(n-1)
y(n)
x(n)
h(0)=
h(n-N)
x(n-N+1)
x[n-(N-1)/2)+1]
h(1)=
h(n-N+1)
h[(N-1)/2+1]=
h[(N-1)/2-1]
h[(N-1)/2]=
h[(N+1)/2]
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 16/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• uproszczona struktura filtru FIR o liniowej charakterystyce fazowej (
( ) (
)
n
N
h
n
h
−
=
) dla
nieparzystej liczby ogniw filtru (
N
parzyste)
( )
( ) (
)
( ) (
) (
)
[
]
−
+
+
−
+
−
=
−
=
∑
∑
−
=
=
2
2
1
2
0
0
N
n
x
N
h
k
N
n
x
k
n
x
k
h
k
n
x
k
h
n
y
N
k
N
k
• przedstawione realizacje nie mają znaczenia praktycznego, zwłaszcza gdy rząd filtru
przekracza wartość 3-5; dla realizacji filtrów wyższych rzędów, dla zmniejszenia ich
wrażliwości na zmiany wartości współczynników stosuje się kaskadowe lub równoległe
połączenia sekcji drugiego rzędu, tzw. sekcji bikwadratowych o transmitancji postaci
( )
2
2
1
1
2
2
1
1
0
1
−
−
−
−
−
−
+
+
=
z
a
z
a
z
b
z
b
b
z
H
bi
x(n-N/2)
x(n-N)
x(n-1)
y(n)
x(n)
h(0)=
h(n-N)
x(n-N+1)
x(n-N/2-1)
h(1)=
h(n-N+1)
h(N/2-1)=
h(N/2+1)
h(N/2)
z
-1
z
-1
z
-1
z
-1
x(n-
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 17/18
PODSTAWY FILTRACJI CYFROWEJ (cd)
• porównanie właściwości filtrów IIR i FIR
Cecha
IIR
FIR
możliwość użycia procedur FFT
nie
tak
liniowa charakterystyka fazowa
nie
zagwarantowana
możliwość uzyskania dowolnych kształtów
charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej
ograniczona
duża
liczba mnożeń przy realizacji algorytmu
mała
duża
wrażliwość na kwantyzację współczynników filtru
może być duża
bardzo mała
prawdopodobieństwo wystąpienia błędów przepełnienia
może być duże
bardzo małe
stabilność
projektowana
zagwarantowana
sprzętowe wymagania dla pamięci
małe
duże
sprzętowa złożoność układu sterowania filtrem
umiarkowana
mała
dostępność oprogramowania wspomagającego
projektowanie
dobra
bardzo dobra
łatwość projektowania z użyciem oprogramowania
wspomagającego
umiarkowana
prosta
analiza problemu szumu kwantyzacji
bardzo skomplikowana
nieskomplikowana
możliwość realizacji algorytmów filtracji adaptacyjnej
tak
tak
11. Podstawy filtracji cyfrowej.doc, 18/18
BIBLIOGRAFIA
1. Proakis J.G., Manolakis D.G.: Digital signal processing. Principles, Algorithms, and
Applications. Third Edition. Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 1996.
2. Lyons R.G.: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów.
WKŁ, Warszawa, 2003.
3. Smith S.W.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Praktyczny poradnik dla inżynierów i
naukowców. Wydawnictwo BTC, Warszawa, 2007.
4. Zieliński T.P.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań.
WKŁ, Warszawa 2005.
5. Oppenheim A.V.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. WKŁ, Warszawa, 1979.
6. Dąbrowski A. (redaktor): Przetwarzanie sygnałów przy użyciu procesorów sygnałowych.
Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, 1997.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron