Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Schemat statyczny
Zawiera informacje, takie jak:
— geometria i położenie ciał sztywnych (brył, powłok, płyt, prętów)
— połączenia ciał sztywnych ze sobą i z fundamentem
— rodzaj, położenie i wartość obciążeń czynnych
Fundament
(podłoże, ostoja) — dodatkowa nieruchoma tarcza.
Obciążenia czynne
— obciążenia przyłożone do układu.
Przestrzenne modele układów mechanicznych przedstawiamy
w aksonometrii w układzie Oxyz.
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Więz elementarny
pręt pryzmatyczny (fizyczny lub abstrakcyjny) zakończony
przegubami kulistymi
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Więz elementarny
pręt pryzmatyczny (fizyczny lub abstrakcyjny) zakończony
przegubami płaskimi
przegub kulisty pozwala na obrót w dowolnej płaszczyźnie
przechodzącej przez ten przegub
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Więz elementarny
pręt pryzmatyczny (fizyczny lub abstrakcyjny) zakończony
przegubami płaskimi
przegub kulisty pozwala na obrót w dowolnej płaszczyźnie
przechodzącej przez ten przegub
więz przenosi reakcję rozciągającą lub ściskającą
symbol więzu jest analogiczny, jak w układach płaskich
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Geometryczna niezmienność układów przestrzennych
połączenie ciała sztywnego (bryły) z fundamentem
za pomocą więzów elementarnych
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Geometryczna niezmienność układów przestrzennych
układ geometrycznie niezmienny
(
GN
) — układ ciał sztywnych
nieruchomy
względem fundamentu
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Geometryczna niezmienność układów przestrzennych
układ geometrycznie zmienny
(
GZ
) — układ ciał sztywnych
z możliwością ruchu względem fundamentu
ruch układu jest możliwy bez przyłożenia obciążenia czynnego
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Geometryczna niezmienność układów przestrzennych
warunek konieczny geometrycznej niezmienności (GN)
6
e
t
=
zasada 6
e — liczba więzów elementarnych modelujących połączenia
ciał sztywnych ze sobą i z fundamentem
t — liczba ciał sztywnych układu (bez fundamentu)
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Geometryczna niezmienność układów przestrzennych
warunek konieczny GN układu przesztywnionego
6
e
t
>
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Geometryczna niezmienność układów przestrzennych
warunek dostateczny GZ
6
e
t
<
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Statyczna wyznaczalność
układ przestrzenny nazywamy
statycznie wyznaczalnym (SW)
,
jeśli reakcje można wyznaczyć z
równań równowagi statycznej
pojęcie statycznej wyznaczalności (SW) odnosi się
do układów
geometrycznie niezmiennych
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Statyczna wyznaczalność
układ statycznie wyznaczalny (SW)
6 , GN
SW
e
t
=
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Statyczna wyznaczalność
układ statycznie wyznaczalny (SW)
6 , GN
SW
e
t
=
niewiadome 6
równań równowagi statycznej
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
R R R R R R
0
Σ
=
ix
P
,
0
Σ
=
iy
P
,
0
iz
P
Σ
=
0
ix
M
Σ
=
,
0
iy
M
Σ
=
,
0
iz
M
Σ
=
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Statyczna wyznaczalność
układ statycznie niewyznaczalny (SN)
6 , GN
SN
e
t
>
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Statyczna wyznaczalność
układ statycznie niewyznaczalny (SN)
6 , GN
SN
e
t
>
niewiadome 6
równań równowagi statycznej
1
2
3
4
5
6
7
,
,
,
,
,
,
R R R R R R R
0
Σ
=
ix
P
,
0
Σ
=
iy
P
,
0
iz
P
Σ
=
0
ix
M
Σ
=
,
0
iy
M
Σ
=
,
0
iz
M
Σ
=
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Statyczna wyznaczalność
układ statycznie niewyznaczalny (SN)
6 , GN
SN
e
t
>
stopień statycznej niewyznaczalności
6
h
n
e
t
= −
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Statyczna wyznaczalność
układ geometrycznie zmienny (GZ)
6 , GZ
e
t
<
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Statyczna wyznaczalność
układ geometrycznie zmienny (GZ)
6 , GN
SN
e
t
>
stopień geometrycznej zmienności
6
g
n
t e
=
−
1
=
g
n
mechanizm o jednym stopniu swobody
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora przegubowo-przesuwna
(przesuwna w wybranej płaszczyźnie)
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora przegubowo-przesuwna
(przesuwna w wybranej płaszczyźnie)
umożliwia obrót wokół przegubu A
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora przegubowo-przesuwna
(przesuwna w wybranej płaszczyźnie)
umożliwia obrót wokół przegubu A
i przesuw w wybranej płaszczyźnie
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora przegubowo-przesuwna
(przesuwna w wybranym kierunku) / łożysko przegubowo-przesuwne
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora przegubowo-przesuwna
(przesuwna w wybranym kierunku) / łożysko przegubowo-przesuwne
umożliwia obrót wokół przegubu A
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora przegubowo-przesuwna
(przesuwna w wybranym kierunku) / łożysko przegubowo-przesuwne
umożliwia obrót wokół przegubu A
i przesuw w wybranym kierunku
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora przegubowa
(nieprzesuwna)
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora przegubowa
(nieprzesuwna)
umożliwia tylko obrót ciała sztywnego wokół dowolnej osi
przechodzącej przez przegub kulisty A
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora przegubowa
(nieprzesuwna)
umożliwia tylko obrót ciała sztywnego wokół dowolnej osi
przechodzącej przez przegub kulisty A
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Łożysko przegubowe
(nieprzesuwne)
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora przegubowa
(nieprzesuwna)
umożliwia tylko obrót ciała sztywnego wokół dowolnej osi
przechodzącej przez przegub kulisty A
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora przegubowa
(nieprzesuwna)
umożliwia tylko obrót ciała sztywnego wokół dowolnej osi
przechodzącej przez przegub kulisty A
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora sztywna
(sztywne zamocowanie)
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora sztywna
(sztywne zamocowanie)
całkowicie unieruchamia ciało sztywne
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora sztywna
(sztywne zamocowanie)
całkowicie unieruchamia ciało sztywne
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Podpory — połączenia ciał sztywnych z fundamentem (podłożem)
Podpora sztywna
(sztywne zamocowanie)
całkowicie unieruchamia ciało sztywne
teoretycznym punktem zamocowania jest punkt A
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Połączenia ciał sztywnych ze sobą
ciała sztywne połączone przegubowo
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Połączenia ciał sztywnych ze sobą
ciała sztywne połączone przegubowo
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Połączenia ciał sztywnych ze sobą
ciała sztywne połączone przegubowo
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Obciążenia czynne (układy przestrzenne)
siła
skupiona
moment
skupiony
[N] [N·m]
...
,
,
,
,
i
P
G
Q
P
...
,
,
i
M
M
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
Wyznaczyć reakcje w podporach A, B i C
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
1. Narysować schemat statyczny układu
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
2. Narysować schemat obliczeniowy układu
— przyjąć układ współrzędnych
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
2. Narysować schemat obliczeniowy układu
— podpory/więzy zastąpić reakcjami (uwolnić z więzów),
zwroty reakcji dowolne
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
Σ
= 0 :
ix
P
A
B
12
0
x
x
R
R
P
+
−
=
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
iy
P
Σ
=
A
3
0
y
R
P
−
=
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
iz
P
Σ
=
A
B
C
9
0
z
z
z
R
R
R
P
+
+
−
=
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
ix
M
Σ
=
B
6
z
R
l
⋅
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
ix
M
Σ
=
B
6 9
6
z
R
l
P
l
⋅ −
⋅
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
ix
M
Σ
=
B
6 9
6
3
3
z
R
l
P
l
P
l
⋅ −
⋅ +
⋅
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
ix
M
Σ
=
B
6 9
6
3
3
45
0
z
R
l
P
l
P
l
P l
⋅ −
⋅ +
⋅
−
=
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
iy
M
Σ
=
C
4
z
R
l
−
⋅
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
iy
M
Σ
=
C
4 72
0
z
R
l
P l
−
⋅ −
=
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
iz
M
Σ
=
B
6
x
R
l
−
⋅
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
iz
M
Σ
=
B
6 12
6
x
R
l
P
l
−
⋅ +
⋅
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
iz
M
Σ
=
B
6 12
6
3
4
x
R
l
P
l
P
l
−
⋅ +
⋅ −
⋅
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
3. Napisać równania równowagi statycznej
0 :
iz
M
Σ
=
B
6 12
6
3
4 12
0
x
R
l
P
l
P
l
P l
−
⋅ +
⋅ −
⋅
−
=
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
4. Rozwiązać równania równowagi statycznej
A
B
12
0
x
x
R
R
P
+
−
=
(1)
A
3
0
y
R
P
−
=
(2)
A
B
C
9
0
z
z
z
R
R
R
P
+
+
−
=
(3)
B
6
9
6
3
3
45
0
z
R
l
P
l
P
l
P l
⋅ −
⋅ +
⋅ −
=
(4)
C
4
72
0
z
R
l
P l
−
⋅
−
=
(5)
B
6
12
6
3
4 12
0
x
R
l
P
l
P
l
P l
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
(6)
z (2):
A
3
y
R
P
=
z (4)/l :
B
6
54
9
45
90
z
R
P
P
P
P
=
−
+
=
B
15
z
R
P
=
(7)
z (5)/l:
C
4
72
z
R
P
= −
C
18
z
R
P
= −
(8)
z (6)/l:
B
6
72
12
12
48
x
R
P
P
P
P
=
−
−
=
B
8
x
R
P
=
(9)
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
4. Rozwiązać równania równowagi statycznej
A
B
12
0
x
x
R
R
P
+
−
=
(1)
A
3
0
y
R
P
−
=
(2)
A
B
C
9
0
z
z
z
R
R
R
P
+
+
−
=
(3)
B
6
9
6
3
3
45
0
z
R
l
P
l
P
l
P l
⋅ −
⋅ +
⋅ −
=
(4)
C
4
72
0
z
R
l
P l
−
⋅
−
=
(5)
B
6
12
6
3
4 12
0
x
R
l
P
l
P
l
P l
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
(6)
(9) do (1):
A
8
12
0
x
R
P
P
+
−
=
A
4
x
R
P
=
(7), (8) do (3):
A
15
18
9
0
z
R
P
P
P
+
−
−
=
A
12
z
R
P
=
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Wyznaczanie reakcji w układach przestrzennych (GN, SW) – przykład
4. Rozwiązać równania równowagi statycznej
Rozwiązanie końcowe
A
4
x
R
P
=
,
A
3
y
R
P
=
,
A
12
z
R
P
=
2
2
2
2
2
2
A
A
A
A
4
3
12
13
x
y
z
R
R
R
R
P
P
=
+
+
=
+
+
=
B
8
x
R
P
=
,
B
15
z
R
P
=
2
2
2
2
B
B
B
8
15
17
x
z
R
R
R
P
P
=
+
=
+
=
C
18
z
R
P
= −
(zwrot do dołu)
C
C
18
z
R
R
P
=
=
A
13
R
P
=
,
B
17
R
P
=
,
C
18
R
P
=
Modelowanie przestrzenne układów mechanicznych.
mechanika techniczna | statyka
6
Bibliografia
Klasztorny M., Niezgoda T., Mechanika ogólna. Podstawy teoretyczne,
zadania z rozwiązaniami, OW PW, Warszawa 2006.
Klasztorny M., Mechanika ogólna, DWE, Wrocław 2005.