Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Krzysztof Rębilas

DEFINICJA POCHODNEJ

Pochodna funkcji f (x) w punkcie x określona jest jako

granica:

lim

∆x

→0

f (x + ∆x)

− f(x)

∆x

.

(1)

Oznaczamy ją symbolami:

f

′

(x)

lub

df

dx

.

(2)

Dla przykładu obliczmy pochodną funkcji f (x) = x

2

. Na

podstawie definicji (1) mamy:

df

dx

= lim

∆x

→0

(x + ∆x)

2

− x

2

∆x

=

= lim

∆x

→0

(

x

2

+ 2x∆x + (∆x)

2

)

− x

2

∆x

=

= lim

∆x

→0

2x∆x + (∆x)

2

∆x

=

= lim

∆x

→0

(2x + ∆x) = 2x.

(3)

Otrzymany wynik na pochodną funkcji f (x) = x

2

zapi-

sujemy w postaci:

(x

2

)

′

= 2x

(4)

W podobny sposób można na podstawie definicji (1)

znaleźć wzory na pochodne podstawowych fukcji mate-
matycznych. Poniżej przedstawiamy gotowe rezultaty ob-
liczeń dla wybranych funkcji (a oraz n oznaczają stałe):

(a)

′

=0

(x

n

)

′

=n

· x

n

−1

(sin x)

′

= cos x

(cos x)

′

=

− sin x

(ln x)

′

=

1

x

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Łatwo sprawdzić, że znaleziony przez nas wynik na po-
chodną funkcji f (x) = x

2

(wzór (4)) jest szczególnym

przypadkiem ogólnego wzoru (6), w którym należy pod-
stawić n = 2. Dla przykładu obliczmy jeszcze pochod-
ną funkcji f (x) = x

4

. Korzystając z wzoru (6), mamy:

(x

4

)

′

= 4x

3

.

Użyteczne są również wzory pozwalające obliczać po-

chodne wyrażeń złożonych będących iloczynem stałej a
i funkcji f , sumą lub różnicą dwóch funkcji f i g oraz
iloczynem lub ilorazem funkcji f i g:

(a

· f)

′

=a

· (f)

′

(f

± g)

′

=f

′

± g

′

(f

· g)

′

=f

′

· g + f · g

′

(

f

g

)

′

=

f

′

· g − f · g

′

g

2

(10)

(11)

(12)

(13)

Wzór (10) wykorzytujemy na przykład dla oblicznia

pochodnej funkcji f (x) = 4x

3

:

(4x

3

)

′

= 4(x

3

)

′

= 4

· 3x

2

= 12x

2

.

(14)

Wzór (11) jest użyteczny na przykład w następującym

przypadku:

(2x

3

+ 6x

5

)

′

= (2x

3

)

′

+ (6x

5

)

′

= 2

· 3x

2

+ 6

· 5x

4

. (15)

Wzór (11) zastosowaliśmy identyfikując odpowiednie
funkcje jako: f = 2x

3

oraz g = 6x

5

. Ostatnia równość

w powyższym równaniu wynika z wzorów (6) i (10).

Poniżej mamy przykład zastosowania wzoru (12):

(x

3

· sin x)

′

= (x

3

)

′

· sin x + x

3

· (sin x)

′

=

= 3x

2

· sin x + x

3

· cos x,

(16)

gdzie odpowiednie funkcje mają postać: f = x

3

oraz g =

sin x.

2

Wzór (13) należy zastosować w przypadku:

(

2x

4

− 7x

3x

2

+ x

3

)

′

=

=

(2x

4

− 7x)

′

· (3x

2

+ x

3

)

− (2x

4

− 7x) · (3x

2

+ x

3

)

′

(3x

2

+ x

3

)

2

=

=

(2

· 4x

3

− 7) · (3x

2

+ x

3

)

− (2x

4

− 7x) · (3 · 2x + 3x

2

)

(3x

2

+ x

3

)

2

= ...,

gdzie przyjęliśmy f = 2x

4

− 7x oraz g = 3x

2

+ x

3

.

GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA

POCHODNEJ

W definicji pochodnej (1) występuje stosunek zmiany

wartości funkcji ∆f = f (x+∆x)

−f(x) do zmiany warto-

ści argumentu ∆x. Na Rys. (1) pokazano wykres funkcji

P

R

x

x+ x

D

f(x)

f(x+ x)

D

f

x

y= x+b

a

Rysunek 1. Sieczna przechodząca przez punkty P i R w gra-
nicy ∆x

→ 0 staje się styczną do wykresu w punkcie x.

f (x), na którym zaznaczono sieczną przecinającą funkcję
w punktach P =

[

x, f (x)

]

i R =

[

x + ∆x, f (x + ∆x)

]

.

Sieczna jako prosta opisana jest równaniem postaci y =
ax + b, gdzie a to tzw. współczynnik kierunkowy prostej,
którego wartość dana jest przez stosunek a = ∆y/∆x. Na
podstawie Rys. (1) widzimy, że iloraz ∆f /∆x to właśnie
współczynnik kierunkowy siecznej przecinającej wykres
funkcji w punktach P i R.

W granicy ∆x

→ 0 punkty P i R zlewają się i siecz-

na staje się styczną do wykresu w punkcie P . Oznacza
to, że w granicy ∆x

→ 0 stosunek ∆f/∆x (czyli po-

chodna funkcji) staje się współczynnikiem kierunkowym
stycznej. A zatem:

Pochodna funkcji df /dx w punkcie x ma wartość
współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu
funkcji f poprowadzonej w punkcie P =

[

x, f (x)

]

.

RÓŻNICZKA FUNKCJI

Różniczka funkcji df przy zmianie jej argumentu o ∆x

określona jest jako iloczyn pochodnej df /dx i zmiany ∆x,
czyli:

df =

df

dx

∆x.

(17)

Zauważmy, że różniczka funkcji df jest równa zmianie

wartości stycznej w punckie x następującej na odcinku
od x do x + ∆x (patrz Rys. (2)). Wynika to stąd, że
zmiana wartości stycznej o równaniu y = ax + b wyno-
si ∆y = a∆x, a współczynnik kierunkowy stycznej, jak
pokazano powyżej, ma wartość pochodnej: a = df /dx li-
czonej w miejscu x.

Na podstawie Rys. (2) można się przekonać, że dla ma-

P

x

x+ x

D

f(x)

f(x+ x)

D

f

x

Df

df

y= x+b

a

Rysunek 2. Graficzne przedstawienie różniczki funkcji df .

łych wartości ∆x różniczka funkcji df jest bardzo dobrym
przybliżeniem zmiany wartości funkcji ∆f :

∆f ∼

= df.

(18)

A zatem, stosując powyższe przybliżenie, zmianę warto-
ści funkcji ∆f przy zmianie argumentu o ∆x możemy
obliczać z wzoru:

∆f ∼

=

df

dx

∆x.

(19)

PRZYKŁAD

Przybliżenie (19) wykorzystujemy przy obliczaniu błę-

dów pomiarowych wielkości mierzonych pośrednio. Na
przykład chcąc wyznaczyć objętość kuli mierzymy jej
promień r i wstawiamy do wzoru:

V =

4

3

πr

3

.

(20)

3

W ten sposób pomiar objętości kuli jest pomiarem po-
średnim, a wielkością mierzoną bezpośrednio jest promień
r. Załóżmy, że znamy maksymalny błąd pomiaru bezpo-
średniego, czyli znamy ∆r. Pamiętamy, że oznacza to, iż
prawdziwa wartość promienia r mieści się gdzieś w prze-
dziale

(

r

−∆r, r+∆r

)

. Stawiamy pytanie: w jakim prze-

dziale dopuszczalnych wartości znajduje się prawdziwa
wartość objętości kuli?

Jak pokazuje Rys. 3, przedziałowi możliwych warto-

r

V

V

r

Dr

Dr

Dr

V=4/3

r

p

3

dV

dr

DV

DV

Rysunek 3. Przedziałowi możliwych wartości promienia kuli

(

r

− ∆r, r + ∆r

)

, odpowiada pewien przedział możliwych

wartości objętości (V

− ∆V, V + ∆V ). Wielkość ∆V moż-

na z bardzo dobrym przybliżeniem uznać za równą różniczce
funkcji V (r), czyli ∆V = dV /dr

· ∆r.

ści r odpowiada pewien przedział (V

− ∆V, V + ∆V ), w

którym może się znajdować prawdziwa wartość objętości.
Podczas dobrze zaplanowanych pomiarów, błędy pomia-
rowe są zwykle niewielkie. Zakładamy więc, że błąd ∆r
jest nieduży i stosując wzór (19) wielkość ∆V przybliża-
my przez różniczkę funkcji V (r), czyli:

∆V =

dV

dr

∆r.

(21)

Tak określona wartość ∆V wyznacza nam tzw. błąd mak-
symalny pomiaru objętości.

Wykonajmy obliczenia dla przykładowych wartości

liczbowych. Niech w wyniku pomiaru uzyskana wartość
promienia i błąd pomiaru wynoszą:

r = 2, 64 cm,

∆r = 0, 01 cm.

(22)

Ze wzoru (20) otrzymujemy wtedy:

V = 24, 53299 cm

3

.

(23)

Aby oszacować błąd ∆V najpierw znajdujemy wzór na
pochodną dV /dr. W tym celu korzystamy z tabeli wyżej

podanych wzorów (wzór (6)) i otrzymujemy:

dV

dr

=

(

4

3

πr

3

)

′

=

4

3

π

· 3 · r

2

= 4πr

2

.

(24)

Wstawiając ten wynik do wzoru (21), mamy::

∆V = 4πr

2

· ∆r,

(25)

co po podstawieniu wartości liczbowych daje ∆V = 0, 88
cm

3

. Ostatecznie zatem po zaokrągleniu wyniku (23):

V = (24, 53

± 0, 88) cm

3

.

(26)

POCHODNA CZĄSTKOWA

Dla funkcji wielu zmiennych f (x, y, z), jako uogólnienie

pojęcia pochodnej, określona jest tzw. pochodna cząst-
kowa. Pochodna cząstkowa po zmiennej x (ozn. ∂f /∂x)
zdefiniowana jest jako granica:

∂f

∂x

= lim

∆x

→0

f (x + ∆x, y, z)

− f(x, y, z)

∆x

.

(27)

Analogicznie określona jest pochodna cząstkowa po
zmniennej y i po zmniennej z:

∂f

∂y

= lim

∆y

→0

f (x, y + ∆y, z)

− f(x, y, z)

∆y

,

(28)

∂f

∂z

= lim

∆z

→0

f (x, y, z + ∆z)

− f(x, y, z)

∆z

.

(29)

Z definicji pochodnej cząstkowej wynika, że obliczanie
pochodnej cząstkowej po jakiejś zmiennej nie różni się
od obliczania zwykłej pochodnej, przy czym pozostałe
zmienne należy w trakcie obliczania pochodnej trakto-
wać jako wielkości stałe.

Na przykład, jeśli wykonujemy pochodną po zmien-

nej x, wówczas y i z uznajemy za stałe, czyli funkcja
f (x, y, z) na czas liczenia pochodnej staje się jakby funk-
cją tylko jednej zmennej x. Wszystkie podane wcześniej
wzory (5)-(13) na pochodne funkcji jednej zmiennej mają
zatem zastosowanie również przy obliczaniu pochodnych
cząstkowych.

Podajmy

kilka

przykładów

obliczania

pochodnej

cząstkowej.

4

Przykład 1:

f = x

2

+ y

3

+ z

4

∂f

∂x

=

∂

∂x

(x

2

) +

∂

∂x

(y

3

) +

∂

∂x

(z

4

) =

= 2x + 0 + 0 = 2x,

∂f

∂y

=

∂

∂y

(x

2

) +

∂

∂y

(y

3

) +

∂

∂y

(z

4

) =

= 0 + 3y

2

+ 0 = 3y

2

,

∂f

∂z

=

∂

∂z

(x

2

) +

∂

∂z

(y

3

) +

∂

∂z

(z

4

) =

= 0 + 0 + 4z

3

= 4z

3

.

Wykorzystaliśmy tu własność (11), że pochodna sumy
jest sumą pochodnych, oraz fakt, że pochodna ze stałej
wynosi zero.

Przykład 2:

f =

x

2

+ y

3

y

4

+ z

5

∂f

∂x

=

∂

∂x

(

x

2

y

4

+ z

5

)

+

∂

∂x

(

y

3

y

4

+ z

5

)

=

=

1

y

4

+ z

5

∂

∂x

(x

2

) + 0 =

2x

y

4

+ z

5

,

∂f

∂y

=

∂

∂y

(x

2

+ y

3

)

· (y

4

+ z

5

)

− (x

2

+ y

3

)

·

∂

∂y

(y

4

+ z

5

)

(y

4

+ z

5

)

2

=

=

(3y

2

)

· (y

4

+ z

5

)

− (x

2

+ y

3

)

· (4y

3

)

(y

4

+ z

5

)

2

,

∂f

∂z

=

∂

∂z

(x

2

+ y

3

)

· (y

4

+ z

5

)

− (x

2

+ y

3

)

·

∂

∂z

(y

4

+ z

5

)

(y

4

+ z

5

)

2

=

=

0

· (y

4

+ z

5

)

− (x

2

+ y

3

)

· (5z

4

)

(y

4

+ z

5

)

2

=

−(x

2

+ y

3

)

· (5z

4

)

(y

4

+ z

5

)

2

.

Przy liczeniu pochodnej cząstkowej po y i z zastosowali-
śmy wzór na pochodną ilorazu (13).

Przykład 3:

f =

xy

x + y

∂f

∂x

=

∂

∂x

(xy)

· (x + y) − (xy) ·

∂

∂x

(x + y)

(x + y)

2

=

=

(y)

· (x + y) − (xy) · (1 + 0)

(x + y)

2

=

y

2

(x + y)

2

,

∂f

∂y

=

∂

∂y

(xy)

· (x + y) − (xy) ·

∂

∂y

(x + y)

(x + y)

2

=

=

(x)

· (x + y) − (xy) · (0 + 1)

(x + y)

2

=

x

2

(x + y)

2

.

Przy liczeniu pochodnej

∂

∂x

(xy) skorzystaliśmy z wzoru

(6). Dzięki temu, pamiętając że y jest traktowane teraz
jak stała, mamy:

∂

∂x

(xy) = y

·

∂

∂x

(x) = y

· 1 = y. Analo-

gicznie postąpiliśmy licząc pochodną cząstkową

∂

∂y

(xy),

co dało nam w wyniku:

∂

∂y

(xy) = x

·

∂

∂y

(y) = x

· 1 = x.

RÓŻNICZKA ZUPEŁNA FUNKCJI

Różniczką zupełną df funkcji f (x, y, z) nazywamy wy-

rażenie:

df =

∂f

∂x

∆x +

∂f

∂y

∆y +

∂f

∂z

∆z.

(30)

Jak widać jest to uogólniennie pojęcia różniczki funkcji
dla funkcji wielu zmiennych.

Jeżeli zmiana argumentów funkcji ∆x, ∆y, ∆z jest nie-

wielka, wówczas różniczka zupełna funkcji df jest bardzo
dobrym przybliżeniem zmiany wartości funkcji ∆f wy-
wołanej zmianą wartości jej argumentów, czyli:

∆f ∼

=

∂f

∂x

∆x +

∂f

∂y

∆y +

∂f

∂z

∆z.

(31)

ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ W

RACHUNKU BŁĘDÓW POMIAROWYCH

Przybliżenie (31) wykorzystywane jest w rachunku błę-

dów pomiarowych. Niech jakaś wielkość fizyczna dana
jest poprzez wyrażenie funkcyjne od wielkości mierzo-
nych bezpośrednio. Na przykład, używając wahadła ma-
tematycznego można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie
g, mierząc bezpośrednio jego długość l oraz okres T i
wstawiając do wzoru:

g =

4π

2

l

T

2

(32)

5

Powiedzmy, że znamy maksymalne błędy pomiarowe dłu-
gości ∆l oraz okresu ∆T . Jak obliczyć maksymalny błąd
wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego ∆g? Odwołując
się do przykładu z wyznaczaniem objętości poprzez po-
miar promienia, wydawać by się mogło, że należy, na
zasadzie uogólnienia wzoru (21), zastosować teraz wzór
(31), czyli:

∆g =

∂g

∂l

∆l +

∂g

∂T

∆T

wzór błędny!

(33)

Z pewnych wzgledów powyższy wzór nie jest jednak po-
prawnym wzorem na błąd maksymalny ∆g.

Otóż błędy ∆l i ∆T są z założenia wielkościami do-

datnimi. Wzór (33) jest poprawnym wzorem na zmianę
funkcji g(l, T ) właśnie przy zmianie argumentów o +∆l
i +∆T . Tymczasem zmierzone wartości l i T mogą się
różnić od rzeczywistych wartości długości nici i okresu
o

±∆l i ±∆T . W zależności od wyboru znaku przy ∆l

i ∆T , uzyskujemy różne wyniki na zmianę funkcji ∆g.
Niestety nie wiemy jaka jest wartość rzeczywista mierzo-
nych wielkości fizycznych l i T , więc nie wiemy jaki znak
wybrać. Jednakże przy pewnym wyborze znaków przy ∆l
i ∆T , odchyłka ∆g przybierze wartość maksymalną. Ta
właśnie maksymalna wartość ∆g określa nam błąd mak-
symalny pomiaru przyspieszenia ziemskiego g.

Oczywiście ∆g będzie maksymalne, gdy oba wyrazy

po prawej stronie równania (33) będą dodatnie. W na-

szym przykładzie, ponieważ

∂g

∂l

=

4π

2

T

2

> 0 oraz

∂g

∂T

=

−8π

2

l

T

3

< 0, ∆g będzie maksymalne, gdy do wzoru (33)

wstawimy +∆l i

−∆T . Jednak by uniknąć dwukrotne-

go pisania znaku ”minus” (przy pochodnej i przy ∆T ),
wzór (33) zapisujemy dla przypadku maksymalnego ∆g
w następujący sposób:

∆g =





∂g

∂l



∆l +





∂g

∂T



∆T.

(34)

Określona wzorem (34) maksymalna możliwa odchyłka
∆g zmierzonej wartości g od wartości rzeczywistej spo-
wodowana błędami

±∆l i ±∆T jest poprawnym osza-

cowaniem błędu maksymalnego pomiaru przyspieszenia
ziemskiego g.

Wstawiając do wzoru (34) znalezione wyrażenia na po-

chodne cząstkowe, otrzymujemy jawny wzór na błąd ∆g:

∆g =





4π

2

T

2



∆l +





−8π

2

l

T

3



∆T,

(35)

do którego należy podstawić zmierzone wartości l i T oraz
wartości błędów ∆l i ∆T .

Ogólnie, jeśli jakaś wielkość fizyczna wyraża się w for-

mie zależności funkcyjnej f (x, y, z) od mierzonych bez-
pośrednio wielkości x, y, z, które znamy z błędem mak-
symalnym, odpowiednio ∆x, ∆y, ∆z, wówczas błąd mak-
symalny ∆f określamy wzorem:

∆f =





∂f

∂x



∆x +





∂f

∂y



∆y +





∂f

∂z



∆z.

(36)

W stosunku do wzoru na różniczkę zupełną mamy tu-
taj wartości bezwzględne pochodnych cząstkowych, bo-
wiem przy szacowaniu błędu maksymalnego ∆f zakła-
damy sytuację najmniej korzystną, kiedy to przyczynki
pochodzące od błędów

±∆x, ±∆y, ±∆z się kumulują.

Obliczanie błędu maksymalnego za pomoca wzoru

(36) nazywa sie metodą różniczki zupełnej.

Uwaga:
Jeśli zależność funkcyjna jest postaci:

f (x, y, z) = kx

a

y

b

z

c

,

(37)

gdzie a, b, c, k to stałe, wówczas po wyliczeniu pochod-
nych, wstawieniu do wzoru (36) i podzieleniu obustron-
nym równania przez f otrzymamy:

∆f

f

=

|a|





∆x

x



 + |b|





∆y

y



 + |c|





∆z

z



.

(38)

Jest to wygodny wzór do wyliczana błędu względnego
∆f /f dla wielkości danych wzorem (37).

Ponieważ wzór (38) można uzyskać przez zlogarytmo-

wanie wzoru (37) i obustronne zróżniczkowanie, oblicza-
nie błędu maksymalnego przy użyciu wyrażenia (38) na-
zywane jest metodą pochodnej logarytmicznej.