LABORATORIUM METOD STEROWANIA
AUTOMATYCZNEGO
INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA nr 4
-
KOREKCJA WŁASNOŚCI UKŁADU REGULACJI
opr. dr inż Krzysztof Kula
1.Wstęp
Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z metodami korekcji własności dynamicznych i
statycznych zamkniętego układu regulacji
Zadanie 1.
Transmitancja układu otwartego jest równa
5
)
(
5
.
0
)
(
2
5
)
(
2
3
s
B
A
s
A
B
s
A
s
G
o
. Należy
dobrać szeregowo włączony proporcjonalny człon korekcyjny, aby w układzie tym zapewnić zapas
fazy
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie Pomocnicze 2
Wyznaczyć asymptotyczną logarytmiczną charakterystykę modułu członu przyspieszającego fazę.
Rozwiązanie
Rozpatrujemy człon korekcyjny PD o transmitancji operatorowej
s
T
1
s
aT
1
a
1
s
G
2
2
kPD
)
(
którą przy
założeniu, że
1
T
T
a
2
1
przedstawić można również w innej postaci
s
T
s
T
T
T
s
G
kPD
2
1
1
2
1
1
)
(
.
Należy zwrócić na to uwagę, że stała czasowa licznika
2
1
aT
T
w przypadku korektora PD powinna
być większa od stałej mianownika .
Wyznaczamy transmitancję widmową
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
)
1
(
)
(
)
1
(
log
20
)
(
T
T
T
T
T
Lm
=
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
)
(
1
1
1
)
(
T
T
T
j
T
T
T
T
j
T
j
T
T
T
j
G
kPD
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
4
2
2
2
1
1
1
2
2
log
20
T
T
T
T
T
T
T
T
T
2
1
2
1
1
)
(
)
(
)
(
T
T
T
T
arctg
P
Q
arctg
Traktujemy ten człon jako szeregowe połączenie 3 członów
)
1
(
1
1
)
(
1
2
1
2
j
T
j
T
T
T
j
G
kPD
. Charakterystyka wypadkowa będzie zatem równa sumie trzech
charakterystyk członów składowych
1
2
1
)
(
T
T
s
G
,
s
T
s
G
1
2
1
)
(
oraz
)
(
1
1
)
(
2
3
s
T
s
G
co
przedstawiono na rys.
1
2
1
)
(
T
T
s
G
przy warunku, że
2
1
T
T
będzie ona leżała poniżej osi odciętych.
Załamania wypadają w punktach
1
1
1
T
oraz
2
2
1
T
. Charakterystyka fazowa tego członu ma
przebieg podany na rys.:
.
Rys.10 Charakterystyka asymptotyczna modułu członu korekcyjnego PD,
Rys. 11 Charakterystyka fazowa korekcyjnego członu przyspieszającego fazę.PD
Maksymalna wartość przyspieszenia fazowego przypada na pulsację
2
1
1
T
T
r
a jego wartość z
przedziału (0,90
o
) zależy od różnicy między
1
a
2
a konkretnie od stosunku
2
1
T
T
a
. Stała czasowa
T
1
musi być większa od T
2
zatem
ω
1
powinna być mniejsza niż ω
2.
w
1
w
2
20lgT
2
T
1
Lm
w
0
+20 dB/dek
G1
G2
G3
G
PD
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
w
fmax
r
Gdy wyznaczymy fazę dla pulsacji odcięcia układu otwartego
o
, to dla żądanego zapasu fazy
układu
wymagany kąt przesunięcia fazowego
o
max
(1)
Gdy znana jest wartość wymaganego przesunięcia
max
, to współczynnik
a
powinien być równy
max
max
sin
sin
1
1
a
(2)
Zadanie pomocnicze 3
Dany jest układ regulacji o schemacie jak na rys.12
Rys. 12 Schemat blokowy układu regulacji
Należy dobrać transmitancję członu korekcyjnego H(s), podłączonego w sprzężeniu zwrotnym obejmującym
obiekt regulacji ( rys.13 ), który zapewni układowi skorygowanemu wymaganą dokładność statyczną a także
odpowiedni zapas fazy i modułu.
Rys. 13 Schemat blokowy układu z członem korekcyjnym włączonym w wewnętrzną pętlę sprzężenia
zwrotnego
Wypadkowa transmitancja Laplace’a obiektu skorygowanego będzie równa
)
(
)
(
1
)
(
)
(
s
H
s
G
s
G
s
G
ob
ob
obk
Tę samą transmitancję widmową mnożąc licznik i mianownik przez transmitancję sprzężenia
zwrotnego przy oznaczeniu za transmitancję układu otwartego obiektu korygowanego
)
(
)
(
)
(
j
H
j
G
j
G
ob
ot
przedstawić możemy w następującej formie
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
j
G
j
G
j
H
j
G
ot
ot
obk
. Jeżeli moduł transmitancji układu otwartego obiektu
skorygowanego będzie bardzo mały, to transmitancja obiektu skorygowanego będzie w
przybliżeniu równa
)
(
)
(
)
(
)
(
j
G
j
H
j
G
j
G
ob
ot
obk
. Jeśli zaś moduł ten będzie bardzo duży, to
)
(
j
G
obk
aproksymować można wyrażeniem
1
)
(
1
)
(
j
H
j
G
obk
.Transmitancję układu otwartego,
odpowiednio dla obu przypadków, można wyznaczyć następująco:
G
r
(s)
G
uw
(s)
G
ob(
s)
X
u
y
+
-
G
r
(s)
G
uw
(s)
G
ob(
s)
X
u
y
+
-
H(s)
+
-
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
j
G
dla
j
G
j
G
j
G
dla
j
G
j
G
j
G
j
G
j
G
ot
ot
o
ot
o
ob
uw
r
s
(3)
Korektor w ujemnym sprzężeniu zwrotnym tworzy dodatkowy wewnętrzny układ regulacji . Jego
transmitancję można również wyznaczyć analitycznie. Jest jednak ważne, aby przy projektowaniu
układu uwzględnić fizyczną realizowalność korektora. Najwygodniej jest założyć, że poszukujemy
korektora szeregowego, którego zastosowanie ma nadać układowi otwartemu odpowiednie własności,
a następnie wyznaczenie transmitancji członu umieszczanego w sprzężeniu zwrotnym, który zapewni
układowi podobną transmitancję jak po dokonaniu projektowanej korekcji szeregowej. Załóżmy, że
chcemy dokonać korekcji w układzie o schemacie z rys.12
Niech żądana transmitancja po korekcji
jednego z elementów układu będzie równa
)
(s
G
zad
Zastępcza transmitancja widmowa układu z wewnętrzną pętlą sprzężenia zwrotnego jest określona wzorem
)
(
)
(
1
)
(
)
(
s
H
s
G
s
G
s
G
sz
(4)
Aby
)
(
)
(
s
G
s
G
sz
zad
transmitancja korektora powinna być równa
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
G
s
G
s
G
s
G
s
H
zad
zad
(5)
Transmitancję
)
(s
G
zad
określić można również na podstawie żądanego przebiegu logarytmicznych
charakterystyk Bodego.
Zadanie 4
Sporządzić tablicę, której argumentem jest stosunek stałych czasowych członu korekcyjnego
przyspieszającego fazę a wartością funkcji maksymalna wartość fazy .
W celu wykreślenia charakterystyk Bode’a korzystamy z polecenia
>>bode(Gpd)
Oczywiście wcześniej trzeba zdefiniować transmitancję członu korekcyjnego PD . Zakładamy stała
wartość T1=1 a T2<T1 sukcesywnie zmniejszamy. Oczywiście wartość stałych czasowych nie ma
wpływu na maksymalną wartość fazy a jedynie ich wzajemny stosunek ( współczynnik
a
) .
Zadanie 5 Transmitancja układu otwartego jest równa
)
(s
G
o
. Należy dobrać szeregowo włączony
człon korekcyjny o transmitancji:
1
s
T
1
s
T
K
s
G
2
1
kor
k
)
(
, aby w układzie tym zapewnić zapas fazy
, zapas modułu
M
i jak najlepszą dokładność statyczną ( uchyb ustalony
0
ust
e
).
Zastosowć następujący algorytm:
1.Określamy w układzie nieskorygowanym pulsację
2.Dobierzmy człon korekcyjny PD tak, aby
)
1
(
2
1
max
T
T
=
o
współczynnik
a
wyznaczyć z (2) a następnie
a
1
T
2
(6)
3.Po zastosowaniu korekcji szeregowej z tak dobranym członem PD otrzymujemy charakterystykę
Bodego układu otwartego skorygowanego, z której możemy odczytać, że odpowiadający tej pulsacji
moduł
o
180
)
(
1
jest równy
)
(
1
Lm
. Aby zachować warunek na zapas fazy,
można by jeszcze zwiększyć dokładność w zakresie niskich częstotliwości o
)
(
1
Lm
dB. Przed tą
czynnością zapas modułu wynosiłby dB ( rys.14).
Rys. 14. Charakterystyki Bode’a układu otwartego po korekcji PD
Aby zachowany był warunek, że minimalny zapas modułu ma wynosić
M
dB charakterystykę
modułu można by teraz przesunąć w górę o wartość K
y
dB. Zatem wzmocnienie członu korekcyjnego
kor
K
może być większe o
20
K
y
10
K
.
Zadanie 6
Sprawdzić w Matlabie, czy obliczony w poprzednim zadaniu człon korekcyjny spełnia postawione
przed nim zadania.
Rys.15 Charakterystyki Bodego układu nieskorygowanego, korektora i czlonu po korekcji
Szeregowe włączenie członu korekcyjnego o transmitancji obliczonej w zadaniu 3 członu
korekcyjnego pozwala na spełnienie wszystkich wymagań stawianych przed układem.
Zadanie dodatkowe 7
-40
-30
-20
-7.6
-15
0
10
20
M
a
g
n
itu
d
e
(
d
B
)
10
-1
10
0
10
1
-270
-225
-180
-150
-90
-45
0
45
P
h
a
s
e
(
d
e
g
)
po korekcji
kor PD
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
System: G1k
Frequency (rad/sec): 2.58
Magnitude (dB): -0.0742
System: G1k
Frequency (rad/sec): 4
Magnitude (dB): -7.41
M
a
g
n
itu
d
e
(
d
B
)
10
0
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
System: G1k
Frequency (rad/sec): 2.58
Phase (deg): -150
System: G1k
Frequency (rad/sec): 4
Phase (deg): -180
P
h
a
s
e
(
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Założyć, że realizacja korekcji w zadaniu 4 ma się odbyć przy pomocy członu korekcyjnego
włączanego w sprzężenie zwrotne. Wyznaczyć transmitancję tego członu .
Rozwiązanie
Ponieważ nie mamy informacji o transmitancjach elementów układu otwartego, zakładamy, że
korekcją objęty będzie człon o transmitancji G(s)=1
Niech zatem
)
(
)
(
s
G
s
G
korPD
zad
. Na podstawie wzoru (5) z zadania pomocniczego 3 obliczamy
transmitancję członu korekcyjnego w sprzężeniu zwrotnym
)
(s
H
>> H=tf([ ], [ ] )
% transmitancja członu korekcyjnego ze sprzężenia zwrotnego
>> GkorPD= *tf([ 1],[ 1 ],’inputdelay’,2)
% opóźnienie w czasie o 2 sek
>> step(GkorPD,1/(1+H))
% wykreślenie charakterystyki skokowej członu
korekcynego szeregowego i charakterystyki członu
umieszczonego w sprzężeniu zwrotnym, która przesunięta jest o 2 sekundy względem tej pierwszej.
Rys. 16 Przebiegi charakterystyk skokowych obu członów korekcyjnych. Charakterystyka skokowa
członu szeregowego przesunięta
LABORATORIUM MSA
...................................................................
Gdynia dn. ...............20013.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Step Response
Time (sec)
A
m
p
lit
u
d
e
charakterystyka korektora
szeregowego
przesunieta w czasie
o 2 sekundy
Imię nazwisko studenta
P R O T O K Ó Ł ćw. 1
Zadane parametry A= B=
zadany zapas
fazy
Zadany zapas modułu
dB
M
Zadany uchyb ustalony
0
ust
e
Transmitancja układu otwartego jest równa
s
s
s
s
G
o
2
3
)
(
Zadanie 1
Charakterystyki logarytmiczne Bodego układu otwartego bez korekcji oraz układu po korekcji P
Zadanie 2
Zależność pomiędzy stosunkiem
2
1
T
T
a
)
1
(
2
1
max
T
T
. Przyjąc T1=1, T2=(0.8-0.01)
Tab.1 Zależność maksymalnego przyspieszenia fazy od stosunku stałych czasowych członu
korekcyjnego PD
1
T
2
T
2
1
T
T
1
2
dek, okt
)
1
(
2
1
max
T
T
1
1
1
1
1
1
1
1
10
Zadanie 5
Wyznaczone parametry członu korekcyjnego
....
..........
max
o
a
2
T
=
1
T
=
20
K
y
10
K
....
kor
K
Transmitancja członu korekcyjnego PD, aby spełniła stawiane przed nią wymagania, powinna być
równa
s
1
s
1
s
G
kPD
.
)
(
Zadanie 6
Rys. Charakterystyka członu skorygowanego przy pomocy członu korekcyjnego PD
Zadanie 7
Rys. Przebiegi charakterystyk skokowych obu członów korekcyjnych. Charakterystyka
skokowa członu szeregowego przesu