Egzamin

rok 2010/2011

Zadanie 1 :

Wiedząc , że f (x , y , z)=x

2

yz−1 jest potencjałem pola wektorowego ⃗

F

wyznaczyć pole ⃗F , sprawdzić , czy jest ono bezźródłowe orazobliczyć

∫

L

⃗F∘ d ⃗r ,gdzie L jest

łukiem kawałkamigładkim o początku w punkcie A (1,−1,1) i końcu w punkcie B(2,1 ,3).
Obliczyć f

⃗a

'

(1,−1,1), jeżeli ⃗a=[1,−1,1].

Rozwiązanie:

1. Wyznaczanie pola wektorowego ⃗

F :

f

x

=2xyz

f

y

= x

2

z

f

z

= x

2

y

⃗

F=[2xy , x

2

z , x

2

y ]

2. Sprawdzenie , czy pole ⃗

F jest bezźródłowe :

Pole ⃗

F nazywamy bezźródłowym, jeżelidiv ⃗

F( A)=0 dla każdego punktu A∈D

div ⃗

F =2yz+ 0+ 0=2yz

div ⃗

F ( A)≠0

Pole wektorowe nie jest bezźródłowe (jest źródłowe )

3. Z twierdzenia o niezależności całki od drogi( pole ⃗

F jest potencjalne i ⃗

F=grad f ):

∫

L

⃗

F ∘d

⃗r= f (B)− f (A)

f ( B)=2

2

⋅1⋅3−1=11

f ( A)=1

2

⋅(−1)⋅1−1=−2

∫

L

⃗

F ∘ d ⃗

r = f ( B)− f ( A)=11−(−2)=13

4. Pochodna kierunkowa.

⃗a=[1,−1,1]

∣⃗a∣=

√

1

2

+ (−1)

2

+ 1

2

=

√

3

grad f (1,−1,1)=[ 2⋅1⋅(−1) ,1

2

⋅1, 1

2

⋅(−1)]

f

⃗a

'

= 1

√

3

⋅[1,−1,1]∘[−2,1 ,−1]1= 1

√

3

⋅(−2−1−1)

f

⃗a

'

=−4⋅

√

3

3

Odpowiedź:

Pole wektorowe jest równe : ⃗

F=[2xy , x

2

z , x

2

y]. Nie jest bezźródłowe.

∫

L

⃗

F ∘d ⃗

r=13. Pochodna kierunkowa wynosi f

⃗a

'

=−4⋅

√

3

3

Autor: Iwona Priebe grupa 9

17.12.2013