Zmiana orbity przy 

wykorzystaniu silników o 

małym ciągu 

Ruch rakiety z małym ciągiem w polu grawitacyjnym można 
przyjąć jako ruch po orbicie kołowej z ciągłą zmianą promienia 
orbity.  

Ciągła zmiana orbity 

Całkowita energia rakiety będącej na danej orbicie. 

2

2

V

m

r

m

E

E

E

k

p

c













W ruchu po orbicie kołowej 

Zatem  

r

V





2

r

m

E

c

2







Zmiana energii całkowitej względem promienia  

2

2r

m

dr

dE

c





Tak więc 

dr

r

m

dE

c

2

2





Zmiana energii jest równa pracy wykonanej przez rakietę 

dl

dt

dm

I

dr

r

m

w



2

2



gdzie  I

w

 – impuls właściwy rakiety 

 

dm/dt – wydatek czynnika roboczego silnika rakietowego 

 

dl – przemieszczenie elementarne rakiety 

Ponieważ  

r

V

dt

dl







Otrzymujemy  

r

dm

I

dr

r

m

w







2

2

m

dm

I

dr

r

w



2

3

2



Po przekształceniach otrzymujemy  



































2

1

1

1

R

R

I

m

k

o

w

e

m

m



gdzie:  m

o

 – masa początkowa 

 

m

k

 – masa końcowa 

 

 

Całkując obie strony równania 







k

o

m

m

w

R

R

m

dm

I

dr

r

2

1

2

3

2



Impulsowa zmiana orbity 

Impulsowa zmiana orbity jest przeprowadzana przy użyciu 
przejściowej orbity eliptycznej, której apogeum znajduje się na 
wysokości równej promieniowi orbity docelowej. Poniższy 
schemat ukazuje tą operację 

Stosunek masy początkowej do masy końcowej rakiety przy 
impulsowej zmianie orbity można wyrazić wyrażeniem powstałym 
z przekształcenia wzoru Ciołkowskiego. 

w

C

I

V

k

o

e

m

m

















Porównanie 

Przypadek zmiany z orbity kołowej blisko ziemskiej na orbitę  
geostacjonarną 

Dane: 
R

1

 = 6 578 km (200km na Ziemią) 

R

2

 = 42 164 km (geostacjonarna) 

I

w

 = 3 km/s  

1. Impulsowa zmiana 
V

1

 = 7,737 km/s 

V

2

 = 3,075 km/s 

V

1e

 = 10,169 km/s  

V

2e

 = 1,606 km/s 

ΔV

1

 = 2,432 km/s  

 ΔV

2

 = 1,469 km/s 

w

w

C

I

V

V

I

V

k

o

e

e

m

m

2

1

























68

,

3

00

,

3

901

,

3

















e

m

m

k

o

2. Ciągła zmiana 
 

8

,

4

2

1

1

1





































R

R

I

m

k

o

w

e

m

m



zmiana orbity z zastosowaniem silnika jonowego 

Iw = 30 000 m/s 

158

,

1

2

1

1

1





































R

R

I

m

k

o

w

e

m

m



Zestawienie 

Masa satelity 

[T] 

Masa 

konstrukcji 

[T] 

Masa materiału 

pędnego  

[T] 

Masa rakiety 

[T] 

1  

1  

1  

Ciągła zmiana 

orbity 

(chemiczny silnik 

rakietowy) 

Impulsowa zmiana 

orbity (chemiczny 

silnik rakietowy)  

0,73  

0,43  

6,57  

3,83  

8,3  

5,26  

Ciągła zmiana 

orbity 

(silnik jonowy)  

0,016  

1,158  

0,142  

Podsumowanie i wnioski 

 

W przestrzeni okołoziemskiej wykorzystanie 

silników chemicznych o małym ciągu do 

zmiany orbit może nie znaleźć uzasadnienia. 

 

W przestrzeni kosmicznej zastosowanie 

jonowych silników o małym ciągu jest 

wskazane i opłacalne.