Egzamin z Algebry Abstrakcyjnej

(do wykładu Prof. dr hab. Adama Pawła Wojdy)

termin 2

18 września 2006r.

Zadanie 1 Wykaż, iż liczba

√

2+

√

5 jest algebraiczna nad ciałem Q. Podaj bazę i wymiar rozsze-

rzenia Q(

√

2,

√

5). Wykaż iż rozszerzenia Q(

p

7 + 2

√

10) oraz Q(

p

7 − 2

√

10) są izomorficzne.

Zadanie 2 Udowodnij, że każda podgrupa grupy Z jest postaci nZ dla n ∈ N ∪ {0}.

Zadanie 3 Wykonaj następujące polecenia:

• wykaż, że (1 + i

√

2)Z[i

√

2] jest ideałem pierścienia Z[i

√

2].

• opisz pierścień ilorazowy Z[i

√

2]/(1 + i

√

2)Z[i

√

2] (z tabelkami działań).

• odpowiedz czy ideał (1 + i

√

2)Z[i

√

2] jest pierwszy?

• rozstrzygnij dla jakiego m istnieje izomorfizm pomiędzy Z

m

a (1 + i

√

2)Z[i

√

2].

Zadanie 4 Dany jest kod:
Words – 1, Numbers – 2, Problems – 3, Modular Equalities – 4, Reasons – 5, Calculus – 6
oraz funkcja kodująca E(M ) = M

2

(mod77) gdzie 77 = 11 · 7. Stosując metodę Rabina odkoduj

liczbę 36 i uzupełnij hasło:
In a multitude of ......... there will certainly be an error :)

Zadanie 5 Podaj grupę Galois dla domknięcia normalnego ciała K = Q(

√

3, i).

Skład komputerowy w systemie L

A

TEX

Mateusz Zakrzewski