Obliczenia z fizyki I

Kod kursu FZC0110c

LISTA #1

1. Dane są dwa punkty A(–1, 0, 3) i B(0, –2, 5). Określić wektor a = AB, obliczyć jego długość oraz kąty, jakie

tworzy on z osiami układu współrzędnych. Wyznaczyć wektor jednostkowy n kolinearny z wektorem a i o
zwrocie przeciwnym do a.

Odp.: a = (1, –2, 2); 3; 70.5

o

, 131.8

o

, 48.2

o

; n = (–0.333, 0.666, –0.666)

2. Trasa przejazdu rowerzysty przebiegała następująco. Najpierw pokonał odległość 3.5 km jadąc na południe,

następnie 8.2 km jadąc w kierunku północno-wschodnim (45

o

) i w końcu 15 km w kierunku zachodnim. Zna-

leźć wypadkowe przemieszczenie rowerzysty, licząc od punktu startu.

Odp.: 9.48 km

3. Cząstka porusza się na płaszczyźnie x, y i ulega dwom przemieszczeniom. Pierwsze z nich ma długość r

1

=

150 cm i tworzy kąt α

1

= 120

o

z osią x. Wypadkowe przemieszczenie ma długość r

w

= 140 cm i tworzy kąt α

w

= 35

o

z osią x. Podać postać wektora drugiego przemieszczenia, r

2

.

Odp.: r

2

= (189.7, –49.6) [cm]

4. Dane są dwa wektory: a = (3, –4, 4) i b = (2, 3, –7). Określić wektory: c = a + b oraz d = 2a – b oraz obliczyć

wartość kąta ∠(c, d).

Odp.: c = (5, –1, –3); d = (4, –11, 15); 97.1

o

5. W punkcie P przyłożono dwie siły F

1

i F

2

, przy czym kąt ∠(F

1

, F

2

) = 120

o

. Obliczyć wartość wypadkowej tych

sił, F

w

, jeśli wiadomo, że F

1

= 5 i F

2

= 8 jednostek umownych.

Odp.: 7 jednostek umownych

6. Dane są trzy wektory: a = (1, –1), b = (4, 3) i c = (–10, –11). Przedstawić wektor c jako kombinację liniową

wektorów a i b. Podać ilustrację graficzną.

Odp.: c = 2a – 3b

7. Korzystając z definicji iloczynu skalarnego obliczyć kąt między dwusiecznymi kątów, utworzonych przez osie

x,y oraz osie y,z układu współrzędnych x, y, z.

Odp.: 60

o

8. Dane są dwa wektory: a = (2, 1, 1) i b = (1, –1, 2). Rozłożyć wektor a na kierunek wektora b oraz na kierunek

ortogonalny (prostopadły) do b.

Odp.: a

b

= (0.5, –0.5, 1); a

⊥b

= (1.5, 1.5 0)

9. Dany jest trójkąt o wierzchołkach, których współrzędne wynoszą: A(2, 0), B(1, 3) i C(–5, 1). Znaleźć współ-

rzędne wektora jednostkowego n o kierunku dwusiecznej kąta przy wierzchołku B.

Odp.: n = (–0.447, –0.894)

10. Określić wektor jednostkowy n, który jest prostopadły zarówno do wektora a = (3, 6, 8) jak i do osi x.
Odp.: n = (0, 0.8, –0.6) lub n’ = (0, –0.8, 0.6)

11. Znaleźć wektor c o długości

2

wiedząc, że jest on prostopadły do wektorów a = (1, 2, 1) oraz b = (2, -1, 2).

Odp.: c = (1, 0, –1) lub c’ = (–1, 0 1)

12. Korzystając z właściwości iloczynu wektorowego obliczyć pole powierzchni: a) równoległoboku rozpiętego

na wektorach a = (1, 2, 3) i b = (0, -2, 5) oraz b) trójkąta o wierzchołkach A(1, –1, 3) B(0, 2, –3) i C(2, 2, 1).

Odp.:

61

i

285