Semestr

zimo

wy

2007/2008

Analiza

Ma

tema

ty zna

3

Lista

zada«

nr

2

¢w.

1

Udo

w

o

dni¢:

a)

∀

n∈N

a

n

>

M

=⇒

lim

n→∞

a

n

>

M

.

b)

Ci¡

g

a

n

= 2 +

1

√

n

sp

eªnia

w

arunek

Cau

h

y'ego.

)

Je±li

i¡

g

{a

n

}

jest

malej¡ y

i

ograni zon

y

,

to

jest

zbie»n

y

.

d)

Je±li

wszystkie

wyrazy

i¡

gu

{a}

s¡

nieujemne

i

i¡

g

jest

nierosn¡ y

,

to

jest

zbie»n

y

i

jego

grani a

jest

wiksza

b¡d¹

ró

wna

0

.

¢w.

2

P

o

da¢

przykªad

a)

i¡

gu,

który

który

za

wiera

dokªadnie

dw

a

p

o

d i¡

gi

zbie»ne,

b)

i¡

gu,

który

jest

ograni zon

y

i

nie

jest

zbie»n

y

,

)

i¡

gu,

który

jest

ograni zon

y

,

nie

jest

zbie»n

y

i

który

ma

p

o

d i¡

g

zbie»n

y

do

0

,

d)

funk

ji,

której

zbiór

w

arto± i

A

na

przedziale

(0, 1)

jest

ograni zon

y

ale

nie

ma

punktu

a

∈ (0, 1)

takiego,

»e

f

(a) = sup A

(funk

ja

nie

osi¡

ga

kresu

górnego

na

przedziale

(0, 1)

).

¢w.

3

Znale¹¢

i¡

g

rosn¡ y

{a

n

}

taki,

»e

lim

n→∞

cos a

n

= 1

.

¢w.

4

Udo

w

o

dni¢,

»e

szereg

∞

P

k=1

1

√

k

nie

jest

zbie»n

y

.

¢w.

5

K

orzysta

j¡

ze

wzoru

T

a

ylora,

udo

w

o

dni¢,

»e

szereg

∞

X

k=1

x

n

n

!

jest

zbie»n

y

dla

do

w

olnej

w

arto± i

x

∈ R

.

Ile

wynosi

suma

tego

szeregu?

zd.

1

Udo

w

o

dni¢,

»e

funk

ja

i¡

gªa

na

przedziale

domknit

ym

przyjm

uje

sw

o

je

minim

um.

zd.

2

Udo

w

o

dni¢,

»e

szereg

∞

P

k=0

x

k

jest

zbie»n

y

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

|x| < 1

.

Obli zy¢

∞

P

k=3

2

3

k

.

zd.

3

P

o

da¢

przykªad

(lub

do

wie±¢,

»e

nie

istnieje)

i¡

gu

{a

n

}

takiego,

»e

a)

a

n

>

1

n

dla

niesk

o« zenie

wielu

n

,

wszystkie

wyrazy

i¡

gu

s¡

do

datnie

i

szereg

∞

P

n=100

a

n

jest

zbie»n

y

b)

a

n

= 3

−n

dla

niesk

o« zenie

wielu

n

i

szereg

∞

P

n=1

a

n

jest

zbie»n

y

)

∀

n∈N

a

n

2

=

1

n

oraz

∞

P

n=1

a

n

= 0

d)

dla

k

a»dego

n

jest

a

n

∈ Z

,

a

n

= n

dla

n 6

100

i

szereg

∞

P

n=1

a

n

jest

zbie»n

y

.

e)

szereg

∞

P

n=1

a

n

jest

zbie»n

y

i

szereg

∞

P

n=1

a

2
n

jest

rozbie»n

y

.

zd.

4

Udo

w

o

dni¢,

»e

je±li

szereg

∞

P

n=1

a

n

jest

zbie»n

y

,

to

lim

n→∞

a

n

= 0

.

Czy

implik

a ja

o

dwrotna

jest

pra

wdziw

a?