Algebra — materiały pomocnicze do nauki do egzaminu

ver. 1.0

25 czerwca 2011

1

Spis treści

1

Przestrzenie wektorowe

3

2

Macierze

4

2.1

Wyznaczniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Rząd macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3

Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.4

Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3

Odwzorowania liniowe

5

3.1

Macierz odwzorowania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.2

Diagonalizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4

Geometria

7

4.1

Krzywe stożkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2

1

Przestrzenie wektorowe

Def. przestrzeni wektorowej.
Def. generowania wektora przez inne wektory.
Def. bazy w R

n

.

Tw. o równoliczności baz (dow. z tw. Steinitza).
Def. wymiaru przestrz. wekt.
Def. repera bazowego.
Def. współrzędnych wektora w bazie.
Tw. o jednoznaczności współrzędnych w bazie.
Def. podprzestrzeni wektorowej, wkw, uogólnione wkw.
Tw. część wspólna podp. wektorowych też jest podp. wekt.
Def. powłoki liniowej.
Tw. o powłoce liniowej (najmn. podp. zawierająca dane wektory).
Def. podprzestrzeni rozpiętej przez wektory.
Tw. Steinitza (z Wikipedii, dowód wygląda prościej niż nasz) :
Teza
Załóżmy, że X = {v

1

, . . . , v

n

} jest bazą przestrzeni V oraz układ wektorów Y = {w

1

, . . . w

s

}

jest liniowo niezależny. Wtedy:

ˆ s 6 n

ˆ Spośród wektorów v

1

, . . . , v

n

można wybrać n − s wektorów, które wraz z wektorami

w

1

, . . . w

s

tworzą bazę V , czyli: ∃

X

0

⊂X

|X

0

| = n − shX

0

∪ Y i = V

Dowód
Ustalmy n. Dowód indukcyjny po t = |Y |.
Dla t = 0, Y jest zbiorem pustym, więc wystarczy wziąć X = X

0

.

Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich Y takich, że |Y | = t − 1. Pokażemy

prawdziwość twierdzenia dla |Y | = t.

Ustalmy Y = {w

1

, . . . w

s

}, |Y | = s = t. Niech Y

1

= {w

1

, . . . w

s−1

}. Z założenia indukcyjnego

mamy s − 1

6 n oraz ∃

X

0

1

⊂X

|X

0

1

| = n − (s − 1)hX

0

1

∪ Y

1

i = V . Aby uprościć zapis, przyjmijmy,

że X

0

1

= {v

1

, . . . , v

n−s+1

}.

Wówczas mamy, że hX

0

1

∪ Y

1

i = hv

1

, . . . , v

n−s+1

, w

1

, . . . w

s−1

i. Stąd w

s

= α

1

v

1

+ . . . +

α

n−s+1

v

n−s+1

+ β

1

w

1

+ . . . β

s−1

w

s−1

dla pewnych α

i

, β

i

.

Zauważmy, że istnieje takie i, że α

i

6= 0, gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy w

s

= β

1

w

1

+

. . . β

s−1

w

s−1

, co przeczyłoby liniowej niezależności Y . Bez straty ogólności, załóżmy, że α

n−s+1

6=

0.

Wówczas mamy: v

n−s+1

= α

−1
n−s+1

(w

s

− α

1

v

1

− . . . − α

n−s

v

n−s

− β

1

w

1

− . . . β

s−1

w

s−1

). Stąd

V = hv

1

, . . . , v

n−s

, w

1

, . . . w

s

i, gdyż dla każdego v ∈ V istnieją takie α

0
i

, β

0

i

, że v = α

0
1

v

1

+ . . . +

α

0
n−s+1

v

n−s+1

+ β

0

1

w

1

+ . . . β

0

s−1

w

s−1

.

Wystarczy wziąć X

0

= {v

1

, . . . , v

n−s

}. Wówczas hX

0

∪ Y i = V .

Zauważmy, że s − 1¡n. W przeciwnym razie, gdyby s − 1 = n, mielibyśmy X

0

1

= ∅, więc

hY

0

1

i = V , więc w

s

∈ hY

0

1

i, co przeczy liniowej niezależności Y

0

1

. Skoro s − 1¡n to s

6 n.

Tw. równoważne definicje bazy R

n

.

Tw. każda niezerowa podprzestrzeń ma bazę.
Tw. o uzupełnianiu do bazy.
Tw. V ⊂ U ⊂ R

n

=⇒ dim V ¬ dim U ¬ n ∧ (dim V = dim U =⇒ V = U ). (dow. z tw.

Steinitza).

Tw. (analogiczne do war. równoważnych dla bazy, ale dla podprzestrzeni wekt.)

3

2

Macierze

Def. macierzy.
Def. rodzaje macierzy (zerowa, kwadratowa, trójkątna górna/dolna, diagonalna, jednostko-

wa, symetryczna).

Def. działania na macierzach + dowody prostych twierdzeń od tych działaniach.
Def. transpozycji.

2.1

Wyznaczniki

Przykład z polem równoległoboku i objętością równoległościanu.
Def. permutacji.
Def. działań złożenia i permutacji odwrotnej.
Def. inwersji.
Def. transpozycji.
Def. znaku permutacji.
Tw. Transpozycja zmienia znak permutacji (dow. z wypisania co ona robi).
Tw. permutacja jest złożeniem transpozycji.
Def. parzystości permutacji.
Tw. parzystość a składanie / permutacja odwrotna.
Def. Wyznacznika.
Tw. wyznacznik macierzy transponowanej.
Tw. Laplace’a o liczeniu wyznacznika.
Tw. o wyznaczniku macierzy trójkątnej/diagonalnej.

Tw. Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy.

h

A 0

−I B

i

∼

h

A AB

−I

0

i

przez dodawanie do

kolumn prawej strony kombinacji liniowych kolumn z lewej o wsp. b

ij

.

2.2

Rząd macierzy

Def. rzędu kolumnowego/wierszowego.
Def. operacji elementarnych na wierszach/kolumnach macierzy.
Tw. o niezmienniczości rzędów względem operacji elementarnych.
Def. Postaci schodkowej.
Tw. o równości rzędu kolumnowego i wierszowego (poprzez sprowadzenie do postaci schod-

kowej).

Def. rzędu macierzy.
Tw. rząd macierzy nieosobliwej jest równy licznie wierszy/kolumn.
Tw. rząd macierzy a liczba kolumn/wierszy, transpozycja, suma, iloczyn macierzy.

2.3

Macierz odwrotna

Def. macierzy odwrotnej.
Tw. jedyność macierzy odwrotnej (dow nwp z C = CI = CAB = IB = B)
Tw. o odwracalności macierzy o niezerowym wyznaczniku i postaci współczynników mac.

odwrotnej (dow. z tw. Cauchy’ego i rozw. Laplace’a).

Def. macierzy nieosobliwej.
Tw. macierz odwrotna a transpozycja, iloczyn przez skalar/macierz, potęgowanie.

4

2.4

Układy równań liniowych

Def. układu równań liniowych.
Def. rozwiązania układu.
Def. macierzy współczynników układu/macierzy wyrazów wolnych/macierzy uzupełnionej.
Def. układu jednorodnego, oznaczonego, nieoznaczonego, sprzecznego, kwadratowego.
Def. układu Cramera.
Tw. Cramera o układach Cramera (dow. z rozpatrzenia układu jako kombinacji liniowej

kolumn).

Tw. Kroneckera-Capellego.
Tw. o układach niesprzecznych (rozszerzenie tw. K-C).
Tw. układy równań liniowych mogą być tylko sprzeczne, oznaczone bądź nieoznaczone.
Tw. układy jednorodne są niesprzeczne.
Uwaga o wzorach Cramera.
Metoda Gaussa rozwiązywania układów równań.
Tw. o podprzestrzeni rozwiązań układu jednorodnego i jej wymiarze.
Tw. o układach niejednorodnych i stowarzyszonych z nimi układach jednorodnych.
[dow. Tw. Steinitza, ale brzydki]

3

Odwzorowania liniowe

Def.oOdwzorowania liniowego.
Tw. obraz wektora zerowego i przeciwnego.
Tw. wkw i uogólniony wkw liniowości odwzorowania.
Tw. o zadaniu odwzorowania poprzez podanie wartości na wektorach z bazy dziedziny.
Def. jądra i obrazu.
Tw. jądro i obraz są podprzestrzeniami liniowymi dziedziny/obrazu.
Tw. o generatorach obrazu.
Def. rzędu odwzorowania.
Tw. o wymiarach jądra i obrazu.
Tw. o sumie wymiarów jądra i obrazu. (dow. — uzupełniamy do bazy R

n

)

Def. monomorfizmu, epimorfizmu, izomorfizmu, endomorfizmu, automorfizmu.
Tw. wkw na epimorficzność (rząd odwz. = dim przeciwdziedziny)
Tw. wkw na monomoficzność (rząd = dim dziedziny oraz ker f = {0})
Tw. wkw na izomorficzność / automorficzność.
Def. działania na odwzorowaniach.
Tw. suma/iloczyn przez odwz. liniowego skalar są liniowe.
Def. złożenia odwzorowań.
Tw. złożenie odwz. lin. jest liniowe.
Def. odwzorowania odwrotnego.
Tw. odwz. odwrotne do automorfizmu jest automorfizmem.
Def. forma liniowa, funkcjonał liniowy.

3.1

Macierz odwzorowania liniowego

Def. macierzy odwz. liniowego.
Tw. o jednoznaczności macierzy odwz. lin. w danych bazach.
Tw. o odwzorowaniu liniowym zadanym macierzą.
Def. macierz endomorfizmu w takich samych bazach w dziedzinie i przeciwdziedzinie.
Tw. o macierzy identyczności w dowolnej bazie.

5

Lemat o liniowej niezależności wektorów współrzędnych w bazie.
Tw. o równości rzędu odwzorowania i jego macierzy.
Tw. o macierzy złożenia odwzorowań.
Tw. o macierzy odwzorowania odwrotnego.
Uzasadnienie odwracania macierzy szukaniem odwzorowania odwrotnego.
Uzasadnienie poprawności algorytmu Gaussa (AX = Y , [A, I]

h

X

Y

i

= 0, [I, B]

h

X

Y

i

= 0

operacjami elementarnymi jak w Gaussie ⇒ równoważne układy ).

Def. macierzy przejścia.
Tw. o macierzy przejścia i wektorach kolumnowych współrzędnych wektora w bazie.
Tw. o zmianie odwzorowania przy zmianie baz przestrzeni.
Def. macierzy równoważnych i podobnych.
Tw. macierze tego samego odwzorowania są równoważne, a tego samego endomorfizmu przy

jednakowych bazach w dziedzinie i przeciwdziedzinie podobne.

Tw. wkw na równoważność macierzy (to z rzędem).
Wniosek z dowodu tw. o wkw na równoważność macierzy.
Tw. o wyznaczniku macierzy podobnych.
Def. śladu macierzy.
Tw. o śladzie iloczynu macierzy (dow. z rozpisania obu stron).
Tw. o śladzie macierzy podobnych.

3.2

Diagonalizacja

Def. wartości własnej, wektora własnego, widma.
Tw. wartości własne a podprzestrzenie.
Def. podprzestrzeni własnej.
Tw. podp. własna jako jądro pewnego odwzorowania.
Tw. każdy wektor własny odpowiada dokładnie jednej wartości własnej.
Tw. Wartość własna a odpowiedni wyznacznik, wektor własny a jego kolumnowa macierz

współrzędnych i odpowiednie równanie macierzowe.

Tw. wartości własne jednoznacznie liczy się z wyznacznika odpowiedniej macierzy, niezależ-

nie od wyboru bazy.

Def. wielomianu charakterystycznego.
Tw. krotność algebraiczna a geometryczna.
Def. krotności algebraicznej i geometrycznej.
Tw. o liniowej niezależności wektorów odpowiadających różnym wartościom własnym.
Tw. o diagonalizowalności endomorfizmu mającego tyle różnych wartości własnych co wy-

miar dziedziny (przeciwdziedziny).

Tw. Ograniczenie liczby wartości własnych.
Def. diagonalizowalności.
Tw. Endomorfizm jest diagonalizowalny wtw gdy istnieje baza R

n

złożona z jego wektorów

własnych.

Wn. Na przekątnej macierzy endomorfizmu w bazie złożonej z jego wektorów własnych są

jego wartości własne.

Tw. wkw diagonalizowalności.
Tw. o współczynnikach przy najwyższej i najniższej potędze w wielomianie charakterystycz-

nym.

Tw. wkw diagonalizowalności endomorfizmu (z krotnościami algebraiczną i geometryczną).
Def. diagonalizowalność macierzy.
Def. wartości własnej i wektora własnego macierzy.
Tw. ślad i wyznacznik macierzy diagonalizowalnej.

6

4

Geometria

Przyjęty układ współrzędnych w R

3

.

Punkty oznaczamy w nawiasach okrągłych, wektory w kwadratowych.
Def. metryki.
Def. normy wektora.
Def. normy euklidesowej.
Def. iloczynu skalarnego.
Tw. własności iloczynu skalarnego.
Tw. nierówność Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza.
Tw. własności normy.
Def. kąta między wektorami.
Def. prostopadłości wektorów.
Def. układu prawoskrętnego.
Def. iloczynu wektorowego.
Tw. wzór na współrzędne iloczynu wektorowego.
Tw. Własności iloczynu wektorowego.
Tw. o iloczynie wektorowym wektorów liniowo zależnych.
Tw. iloczyn wektorowy a pole równoległoboku.
Def. iloczynu mieszanego.
Wn. objętość równoległościanu/czworościanu a iloczyn mieszany.
Tw. Iloczyn mieszany a odpowiedni wyznacznik.
Tw. własności iloczynu mieszanego.
Def. płaszczyzny, równanie normalne, ogólne, parametryczne, odcinkowe.
Def. prostej, równanie parametryczne, kierunkowe, krawędziowe.
Tw. Wzór na odległość punktu od płaszczyzny.
Tw. wzór na odległość płaszczyzn równoległych.
Wzajemne położenie dwóch prostych.
Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn.
Wzajemne położenie trzech płaszczyzn.
Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny.
Tw. odległość punktu od prostej.

4.1

Krzywe stożkowe

Def. elipsy.
Def. półosi małej i wielkiej, mimośrodu, półparametru, kierownic.
Tw. elipsa to zbiór pktów dla których stosunek odległości od ogniska do odległości od odpow.

kierownicy jest stały.

Def. hiperboli.
Tw. hiperbola to zbiór pktów dla których stosunek odległości od ogniska do odległości od

odpow. kierownicy jest stały.

Def. paraboli.
Równanie stożkowej we współrzędnych biegunowych.

7