Analiza matematyczna I, WMS AGH, kurs A, semestr zimowy, rok akad. 2015/16

Literatura i materiaªy pomocnicze:

1) F. Leja, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, Warszawa, PWN, 2008.

2) W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1982.

3) G.M. Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, tomy 1 i 2, Warszawa, PWN, 2005.

4) J. Bana±, S. W¦drychowicz, Zbiór zada« z analizy matematycznej, Warszawa, WNT, 1997.

5) G.N. Berman, Zbiór zada« z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1977.

6) J. Kaczor, M.T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, tomy 1 i 2, Warszawa, PWN, 2005.

Egzamin

Egzamin z analizy matematycznej I skªada si¦ z cz¦±ci pisemnej oraz ustnej. Aby by¢ dopusz-

czonym do cz¦±ci pisemnej w I terminie, nale»y uzyska¢ zaliczenie pozytywne (≥ 3.0) z ¢wicze«.

Z cz¦±ci pisemnej nale»y uzyska¢ co najmniej poªow¦ mo»liwych do zdobycia punktów, aby po-

dej±¢ do cz¦±ci ustnej. Egzamin ustny b¦dzie polegaª na wylosowaniu jednego z zestawów trzech

pyta«, które zostan¡ przygotowane w oparciu o podan¡ list¦ zagadnie«. Po wylosowaniu zestawu

zdaj¡cy b¦dzie miaª czas na przygotowanie odpowiedzi w formie pismnej, a nast¦pnie zostanie

poproszony o zreferowanie odpowiedzi. Ocena ko«cowa b¦dzie wystawiona w oparciu o obie cz¦-

±ci egzaminu.

Lista zagadnie« do egzaminu z analizy z cz¦±ci 1,2 i 3 wykªadu:

Cz. 1. Zbiory liczbowe

1.1) W jaki sposób deniujemy kresy zbioru?
1.2) Przedstawi¢ poszczególne kroki konstrukcji Dedekinda ciaªa liczb rzeczywistych (bez

szczegóªów dowodu).

Cz. 2. Funkcje i ich wªasno±ci

2.1) Obraz i przeciwobraz zbioru przez funkcj¦.
2.2) Injektywno±¢, surjektywno±¢, bijektywno±¢ funkcji. Zªo»enie funkcji. Funkcja odwrotna.
2.3) Omówi¢ podstawowe klasy funkcji przedstawione na wykªadzie (w tym funkcje cyklo-

metryczne).

Cz. 3. Ci¡gi

3.1) Denicja granicy ci¡gu. Wykaza¢, »e ci¡g zbie»ny ma dokªadnie jedn¡ granic¦.
3.2) Wykaza¢, »e ci¡g zbie»ny jest ograniczony.
3.3) Udowodni¢ twierdzenie o dziaªaniach arytmetycznych na granicach ci¡gów zbie»nych

(dla sumy, iloczynu, ilorazu ci¡gów).

3.4) Udowodni¢ twierdzenie o trzech ci¡gach.
3.5) Udowodni¢, »e lim

n→∞

q

n

= 0

przy ustalonej liczbie q ∈ (−1, 1).

1

2

3.6) Udowodni¢, »e lim

n→∞

n

√

a = 1

przy ustalonej liczbie a > 0.

3.7) Udowodni¢, »e lim

n→∞

n

√

n = 1

.

3.8) Udowodni¢ tw. Weierstrassa o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym.
3.9) Udowodni¢, »e istnieje granica lim

n→∞

(1 + 1/n)

n

. Liczba e.

3.10) Granica cz¦±ciowa ci¡gu. Granica dolna i granica górna ci¡gu. Wªasno±ci.
3.11) Udowodni¢ twierdzenie o zachowywaniu nierówno±ci sªabej przy przej±ciu granicznym.
3.12) Udowodni¢ tw. Cantora o zst¦puj¡cym ci¡gu zbiorów (w wersji dla przedziaªów).
3.13) Udowodni¢ tw. Bolzano-Weierstrassa.
3.14) Ci¡g Cauchy'ego (fundamentalny). Wykaza¢, »e ci¡g zbie»ny jest ci¡giem Cauchy'ego.
3.15) Kryterium Cauchy'ego zbie»no±ci ci¡gu.
3.16) Sformuªowa¢ tw. Stolza (bez dowodu). Przykªady zastosowania.

Poj¦cia z cz¦±ci 1,2 i 3, których nie mo»na nie zna¢: kres dolny zbioru, kres górny

zbioru, konstrukcja Dedekinda, wªasno±¢ posiadania kresów, wªasno±¢ Archimedesa, wªasno±¢ g¦-

sto±ci zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych, obraz zbioru, przeciwobraz zbioru,

injekcja, surjekcja, bijekcja, funkcja odwrotna, funkcja cyklometryczna (koªowa), ci¡g, ograni-

czono±¢ ci¡gu, granica wªa±ciwa / niewªa±ciwa ci¡gu, podci¡g, granica cz¦±ciowa ci¡gu, granica

dolna ci¡gu, granica górna ci¡gu, ci¡g Cauchy'ego (fundamentalny).