6.1. Zdarzenia losowe. Prawdopodobieństwo

Podstawowym pojęciem w rachunku prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia ele-

mentarnego; oznaczamy je symbolem

ω

ω

ω

ω

. Można je rozumieć poglądowo jako wynik do-

ś

wiadczenia losowego, w którym natura wyniku nie jest z góry przewidywalna.

Wszystkie możliwe zdarzenia elementarne

tworzą zbiór zdarzeń elementarnych, któ-

ry oznaczamy

Ω

Ω

Ω

Ω

. Może to być zbiór skończony lub nieskończony.

Definicja

Zdarzeniem losowym (zdarzeniem) nazywamy każdy podzbiór A zbioru zdarzeń ele-

mentarnych doświadczenia losowego, czyli A

⊂

Ω

Ω

Ω

Ω

. O zdarzeniach elementarnych składa-

jących się na zdarzenie A mówimy, że sprzyjają zdarzeniu A.

Definicja

Wśród zdarzeń losowych pewnego doświadczenia losowego wyróżniamy zdarzenie nie-

możliwe, tzn. to, któremu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne (zbiór zdarzeń jest pu-

sty), oznaczamy je symbolem

∅

oraz zdarzenie pewne

Ω

Ω

Ω

Ω

, któremu sprzyjają wszystkie

zdarzenia ze zbioru

Ω

Ω

Ω

Ω

.

Definicje

a) Iloczyn A

1

∩

A

2

∩

...

∩

A

n

zdarzeń A

1

, A

2

, ..., A

n

jest to zdarzenie składające się z

tych zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, które sprzyjają każdemu ze zda-

rzeń A

i

. Jest to zdarzenie polegające na jednoczesnym zajściu wszystkich zdarzeń A

i

.

b) Suma A

1

∪

A

2

∪

...

∪

A

n

zdarzeń A

1

, A

2

, ..., A

n

jest to zdarzenie składające się z tych

zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, które sprzyjają co najmniej jednemu

zdarzeniu A

i

. Jest to zdarzenie polegające na zajściu co najmniej jednego zdarzenia A

i

.

c) Różnica A

1

\ A

2

zdarzeń A

1

, A

2

jest to zdarzenie składające się z tych zdarzeń elemen-

tarnych doświadczenia losowego, które sprzyjają zdarzeniu A

1

a nie sprzyjają zajściu

zdarzenia A

2

. Jest to zdarzenie polegające na zajściu zdarzenia A

1

, a nie zajściu zdarze-

nia A

2

.

d) Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A, które oznaczamy

A

lub A' nazywamy zda-

rzenie

Ω

Ω

Ω

Ω

\ A, będące dopełnieniem zdarzenia A do zdarzenia pewnego

Ω

Ω

Ω

Ω

..

Definicja

Borelowskim ciałem (

σσσσ

- ciałem) zdarzeń nazywamy zbiór B, do którego należą zdarze-

nia:

- zdarzenie pewne U =

ω

ω

ω

ω

1

∪

ω

ω

ω

ω

2

∪

…

∪

ω

ω

ω

ω

n

, zdarzenie niemożliwe V

oraz w którym dla każdych zdarzeń losowych A

1

, A

2

należących do zbioru B należą do

niego także zdarzenia:

- suma zdarzeń A

1

∪

A

2

,

- iloczyn zdarzeń A

1

∩

A

2

,

- różnica zdarzeń A

1

\ A

2

.

Definicja

Niech

Ω

Ω

Ω

Ω

= {

ω

ω

ω

ω

1

,

ω

ω

ω

ω

2

, … ,

ω

ω

ω

ω

n

, … } będzie przeliczalnym zbiorem wyników pewnego

doświadczenia losowego.

a) Funkcję f, która każdemu wynikowi

ω

ω

ω

ω

i

(i = 1, 2, …, n , …) przyporządkowuje liczbę

nieujemną p

i

spełniającą warunek p

1

+ p

2

+ … + p

n

+ … = 1 nazywamy rozkładem

prawdopodobieństwa zadanym na

Ω

Ω

Ω

Ω

.

b) Modelem probabilistycznym (

Ω

Ω

Ω

Ω

, f) doświadczenia losowego nazywamy zbiór

wszystkich wyników tego doświadczenia wraz z funkcją – rozkładem prawdopodo-

bieństwa.

Przykład 1.

Niech doświadczeniem losowym będzie rzut monetą i obserwacja górnej strony monety.

Otrzymamy dwa wyniki: o – wypadł orzeł, r – wypadła reszka.

Teoretyczna szansa pojawienia się każdej ze stron jest taka sama, bowiem nie ma powodu,

aby któraś z nich wypadała częściej. Zatem każdemu z tych wyników przyporządkowu-

jemy liczbę ½ .

Jako model probabilistyczny (teoretyczny) tego doświadczenia losowego przyjmujemy

(

Ω

Ω

Ω

Ω

, f), gdzie

Ω

Ω

Ω

Ω

= { o, r} , f (o) = f ( r ) = ½ .

Przykład 2.

Niech doświadczeniem losowym będzie rzut dwiema monetami i obserwacja górnej strony

monet. Przyjmijmy oznaczenia o – wypadł orzeł, r – wypadła reszka.

Jako wynik tego doświadczenia (zdarzenie elementarne) przyjmujemy – z definicji –

zbiór utworzony z tak wylosowanych stron obu monet. Niech

ω

ω

ω

ω

1

= {o, o} ,

ω

ω

ω

ω

2

= {o, r} ,

ω

ω

ω

ω

3

= {r, r}. Zatem przestrzenią zdarzeń jest

Ω

Ω

Ω

Ω

= {

ω

ω

ω

ω

1

,

ω

ω

ω

ω

2

,

ω

ω

ω

ω

3

}.

Rozkład prawdopodobieństwa można zdefiniować, np. tak:

a) f

1

(

ω

ω

ω

ω

1

) = f

1

(

ω

ω

ω

ω

2

) = f

1

(

ω

ω

ω

ω

3

) =

3

1

,

b) f

2

(

ω

ω

ω

ω

1

) = f

2

(

ω

ω

ω

ω

3

) = 0, 25 ; f

2

(

ω

ω

ω

ω

2

) = ½ .

Otrzymamy wtedy dwa teoretyczne modele probabilistyczne doświadczenia rzutu dwiema

monetami (

Ω

Ω

Ω

Ω

, f

1

), (

Ω

Ω

Ω

Ω

, f

2

).

Okazuje się, że model (

Ω

Ω

Ω

Ω

, f

1

) ma niewielkie szanse realizacji w praktyce.

Definicje

Niech

Ω

Ω

Ω

Ω

= {

ω

ω

ω

ω

1

,

ω

ω

ω

ω

2

, … ,

ω

ω

ω

ω

n

, …} będzie zbiorem wyników pewnego doświadczenia lo-

sowego oraz na

Ω

Ω

Ω

Ω

jest zadany rozkład prawdopodobieństwa, przy czym wynikowi

ω

ω

ω

ω

i

jest przyporządkowana liczba p

i

(i = 1, 2, …, n, …). Załóżmy, że zdarzenie losowe A

należy do borelowskiego ciała B zdarzeń utworzonego nad zbiorem

Ω

Ω

Ω

Ω

oraz A

⊂

Ω

Ω

Ω

Ω

.

a) Prawdopodobieństwem zdarzenia losowego A, gdzie A = {

ω

ω

ω

ω

s

,

ω

ω

ω

ω

s + 1

, … ,

ω

ω

ω

ω

s + t

}

nazywamy liczbę P(A) = p

s

+ p

s + 1

+ … + p

s + t

.

b) Funkcję P, która każdemu zdarzeniu losowemu A

⊂

Ω

Ω

Ω

Ω

przyporządkowuje prawdo-

podobieństwo tego zdarzenia nazywamy prawdopodobieństwem.

c) Trójkę (

Ω

Ω

Ω

Ω

, B, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Twierdzenia

•

Prawdopodobieństwo P(A) zdarzenia losowego A, A

⊂

Ω

Ω

Ω

Ω

jest liczbą spełniającą wa-

runek 0

≤

P(A)

≤

1.

•

Prawdopodobieństwo P(

∅

) zdarzenia niemożliwego równa się 0, P(

∅

) = 0.

•

Prawdopodobieństwo P(

Ω

Ω

Ω

Ω

) zdarzenia pewnego równa się 1, P(

Ω

Ω

Ω

Ω

) = 1.

•

Prawdopodobieństwo sumy dowolnych, parami wykluczających się zdarzeń A

1

, A

2

,

… jest równe sumie ich prawdopodobieństw P(A

1

∪

A

2

∪

…) = P(A

1

) + P(A

2

) + ….

•

Prawdopodobieństwo zdarzenia A' przeciwnego do zdarzenia A jest równe

P(A') = 1 – P(A).

•

Jeżeli zdarzenie A

⊂

B , to P(A)

≤

P(B) .

•

Prawdopodobieństwo sumy A

∪

B dwóch zdarzeń A, B jest równe

P(A

∪

B) = P(A) + P(B) – P (A

∩

B).

Przykład 3.

Niech doświadczeniem losowym będzie rzut dwiema monetami i obserwacja górnej stro-

ny monet (zob. przykład 2 powyżej). Przyjmijmy oznaczenia o – wypadł orzeł, r – wy-

padła reszka.

Jako wynik tego doświadczenia (zdarzenie elementarne) przyjmujemy – z definicji –

zbiór utworzony z tak wylosowanych stron obu monet.

1. Rozważamy przestrzeń probabilistyczną (

Ω

, f

1

), gdzie f

1

(

ω

1

) = f

1

(

ω

2

) = f

1

(

ω

3

) =

3

1

.

Oto zdarzenia losowe i ich prawdopodobieństwa:

A – orzeł wypadł przynajmniej raz; A = {

ω

ω

ω

ω

2

,

ω

ω

ω

ω

3

}. P(A) =

3

2

.

B – reszka wypadła co najwyżej dwa razy; B = {

ω

ω

ω

ω

1

,

ω

ω

ω

ω

2

,

ω

ω

ω

ω

3

} =

Ω

Ω

Ω

Ω

. P(B) = 1.

C – orzeł wypadł dwa razy; C = {

ω

ω

ω

ω

1

}. P(C) =

3

1

.

D – reszka wypadła trzy razy; D =

∅

. P(D) = 0.

2. Rozważamy przestrzeń probabilistyczną (

Ω

, f

2

), gdzie f

2

(

ω

ω

ω

ω

1

) = f

2

(

ω

ω

ω

ω

3

) = 0, 25 ; f

2

(

ω

ω

ω

ω

2

) = ½ .

Oto zdarzenia losowe i ich prawdopodobieństwa:

A – orzeł wypadł przynajmniej raz; A = {

ω

ω

ω

ω

2

,

ω

ω

ω

ω

1

}. P(A) = 0,75.

B – reszka wypadła co najwyżej dwa razy; B = {

ω

ω

ω

ω

1

,

ω

ω

ω

ω

2

,

ω

ω

ω

ω

3

} =

Ω

Ω

Ω

Ω

. P(B) = 1.

C – orzeł wypadł dwa razy; C = {

ω

ω

ω

ω

1

}. P(C) = 0,25.

D – reszka wypadła trzy razy; D =

∅

. P(D) = 0.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1.

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema nierozróżnialnymi kostkami do gry.

a) Zdefiniuj (przynajmniej na 4 różne sposoby) zdarzenia elementarne tego doświadczenia.

b) Zdefiniuj model probabilistyczny tego doświadczenia losowego w każdym przypadku;

podaj rozkład prawdopodobieństwa.

Zadanie 2.

Strażnik obserwujący pojazdy wjeżdżające na parking strzeżony notuje tylko płeć kierowcy

pojazdu.

a) Zdefiniuj doświadczenie losowe związane z tą sytuacją. Określ jego zbiór zdarzeń. Określ

zdarzenie pewne, niemożliwe.

b) Przyjmując, że dwukrotnie częściej kobieta jest kierowcą niż mężczyzna oblicz prawdopo-

dobieństwo zdarzenia, że kolejne trzy samochody prowadzili mężczyźni.

Zadanie 3.

Granicę przekracza wycieczka 15 osób. Wśród nich jest 4 przemytników. Do odprawy celnej

wybiera się losowo 4 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wylosowanej grupie:

a) nie znajdzie się żaden przemytnik,

b) będzie w niej dokładnie jeden przemytnik?

Zadanie 4.

Rzut monetą powtarzamy tak długo, aż wyniki trzech ostatnich rzutów utworzą serię r o r.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia związanego z czekaniem na serię r o r :

a) zdarzenia A, w którym serię r o r poprzedzą same orły,

b) zdarzenia B, w którym seria r o r pojawi się po pięciu rzutach monetą.