SNy: Biotechnologia
Krzywe stożkowe – Algebra
z geometrią analityczną – wykłady
notatki ze studiów na kierunku Biotechnologia
na Wydziale Chemicznym Politechniki Wrocławskiej
Autor:
Mateusz Jędrzejewski
mateusz.jedrzejewski@one.pl
www.jedrzejewski.one.pl
otatka jest częścią projektu SNy (Studenckie Notatki
Cyfrowe). Notatki są samodzielnie sporządzane
i opracowywane przez studentów Politechniki. Udostępniane
są w Internecie. Każdy możne z nich korzystać dowoli
w celach edukacyjnych.
waga na błędy! Mimo staranności jaką włożyli autorzy
w opracowanie tej notatki mogą zdarzyć się błędy.
Każdy więc korzysta z tych materiałów na własną
odpowiedzialność. Wszelkie zauważone błędy proszę
zgłaszać autorowi notatki (najlepiej drogę elektroniczną).
śyczę wszystkim skutecznego korzystania z notatek.
Mateusz Jędrzejewski
(autor strony www.sny.one.pl)
Szczegółowe informacje o notatce
Nazwa pliku: e-notatka - krzywe stozkowe - wyklady.pdf
Nazwa kursu: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w)
Prowadzący kurs: dr Lidia Janicka
Semestr/rok: 06z (rok 1, I semestr)
Kierunek: Biotechnologia
Wydział: Wydział Chemiczny
Uczelnia: Politechnika Wrocławska
Autor notatki: Mateusz Jędrzejewski
Status: Notatka jest w trakcie tworzenia
N
U
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 2
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
Krzywe stożkowe – wstęp
22.12.2006 r.
Stożek
– powierzchnia zakreślona podczas obrotu jednej prostej (zwanej TWORZĄCĄ) wokół
innej prostej (zwanej OSIĄ OBROTU) przecinającej tworzącą pod kątem
( )
2
,
0
Π
∈
α
.
Krzywa stożkowa
– krzywa powstała w wyniku przecięcia stożka płaszczyzną (znanej TNĄCĄ)
nieprzechodzącą przez jego wierzchołek.
rys. 1. – rodzaje krzywych stożkowych
http://pl.wikipedia.org/wiki/Grafika:Krzywe_stożkowe.png
Rodzaje krzywych stożkowych
w zależności od kąta
β
(pomiędzy osią stożka a płaszczyzną tnącą):
−
okrąg
dla
2
Π
=
β
, tj. płaszczyzna tnąc jest prostopadła do osi stożka,
−
elipsa
dla
2
Π
<
<
β
α
,
−
parabola
dla
α
β
=
, tj. płaszczyzna tnąc jest równoległa do tworzącej stożka,
−
hiperbola
dla
α
β
<
≤
0
.
Krzywe stożkowe są płaskie
, tj. każda z nich mieści się na jednej płaszczyźnie.
OKRĄG
Okrąg to zbiór takich punktów
)
,
(
y
x
P
płaszczyzny, że ich odległość
od ustalonego punktu
)
,
(
0
0
0
y
x
P
jest stała.
r
P
P
o
=
z odległości dwóch punktów płaszczyzny:
r
y
y
x
x
=
−
+
−
2
0
2
0
)
(
)
(
wynika równie okręgu:
2
2
0
2
0
)
(
)
(
r
y
y
x
x
=
−
+
−
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 3
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
STYCZNA DO OKRĄGU
Styczna do okręgu to prosta, która leży z okręgiem w jednej płaszczyźnie i ma z nim
dokładnie jednej punkt wspólny.
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
=
⇔
⊥
−
−
=
−
−
=
∈
P
P
P
P
P
P
P
P
y
y
x
x
P
P
y
y
x
x
P
P
y
x
P
y
x
P
y
x
P
O
P
o
z własności iloczynu skalarnego wynik, że:
0
)
)(
(
)
)(
(
1
0
1
1
0
1
=
−
−
+
−
−
y
y
y
y
x
x
x
x
z tego, że punkt
1
P
należy do okręgu:
2
2
0
1
2
0
1
)
(
)
(
r
y
y
x
x
=
−
+
−
zestawiając te równania:
2
0
0
1
0
0
1
2
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
2
2
0
1
0
0
1
2
0
1
0
0
1
2
2
0
1
0
2
1
2
0
1
0
2
1
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
1
1
2
2
0
1
2
0
1
1
0
1
1
0
1
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
0
)
(
)
(
0
)
)(
(
)
)(
(
r
y
y
y
y
x
x
x
x
r
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
r
y
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
r
y
y
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
r
y
y
x
x
y
y
y
y
x
x
x
x
=
−
−
+
−
−
=
−
−
−
+
−
−
−
=
+
−
−
+
+
−
−
=
+
−
+
+
−
=
+
−
−
+
+
−
−
+
=
−
+
−
=
−
−
+
−
−
Styczna do okręgu zawsze jest prostopadła do promienia tego okręgu.
zad. 1.
Znaleźć równanie okręgu o środku
)
2
,
1
(
0
P
przechodzącym przez punkt
)
5
,
3
(
1
P
.
(
) (
)
( )
13
)
2
(
)
1
(
13
13
3
2
)
2
5
(
)
1
3
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
2
=
−
+
−
=
=
+
=
−
+
−
=
=
y
x
P
P
r
zad. 2.
Wyznaczyć współrzędne środka i promienie okręgu o równaniu
0
8
4
2
2
=
+
+
−
y
y
x
x
.
5
2
20
)
4
,
2
(
20
)
4
(
)
2
(
2
)
(
bo
0
16
)
4
(
4
)
2
(
0
8
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
+
+
−
+
−
=
−
=
−
+
+
−
−
=
+
+
−
r
S
y
x
b
ab
a
b
a
y
x
y
y
x
x
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 4
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
zad. 3.
Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez punkty
)
5
,
2
(
P
oraz
)
3
,
1
(
−
Q
wiedząc,
że środek tego okręgu leży na osi Oy .
Szukamy punktu
)
,
0
(
0
y
S
takiego, że:
( )
16
65
4
19
2
4
19
0
2
0
2
2
0
2
4
19
4
19
0
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
2
0
2
2
0
2
29
10
29
10
)
5
(
)
2
0
(
)
,
0
(
19
4
10
6
29
10
10
6
29
10
9
6
1
25
10
4
)
3
(
)
1
0
(
)
5
(
)
2
0
(
=
+
⋅
−
=
+
−
=
⇒
−
+
−
=
=
⇒
=
⇒
−
=
−
⇒
+
−
=
+
−
+
−
=
+
−
+
−
+
=
+
−
+
−
+
+
=
−
+
−
=
y
y
r
y
PS
r
S
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
QS
PS
więc:
16
65
2
4
19
2
2
2
4
19
2
)
(
)
(
)
0
(
=
−
+
=
−
+
−
y
x
r
y
x
zad. 4.
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach:
)
0
,
0
(
A
)
5
,
3
(
B
)
3
,
1
(
−
C
I sposób
Wiadomo, że środek okręgu opisanego na trójkącie leży w punkcie przecięcia
symetralnych boków tego trójkąta.
(
)
( )
AB
AB
a
a
ax
y
ax
y
y
x
x
a
y
a
x
x
y
y
x
y
x
y
x
y
AB
S
S
x
y
AB
AB
AB
symetralna
prosta
bo
1
gdzie
)
(
)
(
bo
:
symetralna
,
,
:
prosta
5
3
3
5
0
0
0
0
0
0
5
17
5
3
10
9
5
3
2
5
5
3
2
3
2
5
2
5
2
3
2
0
5
2
0
3
3
5
⊥
−
=
⇔
−
=
⋅
−
+
=
⇔
+
−
=
⇔
=
−
−
+
−
=
⇒
+
−
=
−
⇒
−
=
−
−
⇒
=
−
−
(
)
(
)
AC
AC
a
a
x
y
x
y
x
y
AC
S
S
x
y
AC
AB
AC
symetralna
prosta
bo
1
)
3
(
gdzie
:
symetralna
,
,
3
:
prosta
3
1
3
5
3
1
6
1
3
1
2
3
3
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
0
3
2
0
1
⊥
=
⇔
−
=
−
⋅
+
=
⇒
+
=
−
⇒
=
+
−
−
⇒
−
=
−
−
−
Środek okręgu to punkt przecięcia się symetralnych, więc:
(
)
49
425
2
7
16
2
7
13
49
425
2
49
256
49
169
2
2
7
16
2
7
13
7
16
7
13
7
16
7
13
3
5
7
13
3
1
14
26
3
5
3
1
15
26
15
14
3
5
3
1
5
17
5
3
3
5
3
1
3
5
3
1
5
17
5
3
)
(
)
(
)
0
(
)
0
(
,
=
−
+
−
=
⇒
+
=
⇒
−
+
−
=
=
⇒
=
=
+
⋅
=
=
⇒
+
=
=
⇒
+
=
+
−
=
+
⇒
+
=
+
−
=
y
x
r
r
AS
r
S
y
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
y
x
y
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 5
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
II sposób
Szukamy
)
,
(
0
0
y
x
S
oraz r takich, że punkty A , B , C spełniają równanie
2
2
0
2
0
)
(
)
(
r
y
y
x
x
=
−
+
−
, więc:
=
=
=
+
=
⇒
=
=
+
=
⇒
−
⋅
=
=
+
=
⇒
−
=
=
+
=
−
=
=
+
−
+
=
⇒
−
=
=
+
−
+
=
⇒
−
=
=
+
+
=
=
+
=
+
+
=
⇒
=
+
−
−
=
+
−
−
+
=
⇒
−
−
=
−
+
−
−
−
=
−
+
−
=
−
−
=
+
−
+
+
−
=
+
−
+
+
−
=
+
⇒
=
−
+
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
7
13
0
7
16
0
49
425
2
7
16
2
7
13
2
7
13
0
7
16
0
2
0
2
0
2
7
16
0
7
16
0
2
0
2
0
2
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
2
2
2
0
0
2
0
0
2
2
0
0
2
0
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
)
(
)
(
5
)
(
3
5
3
32
14
5
3
17
5
15
9
5
3
17
5
)
5
3
(
3
5
3
17
5
3
5
3
17
5
3
0
10
6
2
0
34
10
6
6
9
2
1
10
25
6
9
0
6
9
2
1
10
25
6
9
)
3
(
)
1
(
)
5
(
)
3
(
)
0
(
)
0
(
x
y
r
x
y
y
x
r
x
y
y
x
r
y
x
y
y
x
r
y
x
y
y
y
x
r
y
x
y
y
y
x
r
y
x
y
x
y
x
r
y
x
y
x
y
x
r
y
x
y
x
y
x
r
y
x
r
y
x
y
x
r
y
x
y
x
r
r
y
y
x
x
r
y
y
x
x
r
y
x
r
y
x
r
y
x
r
y
x
Ostatecznie równanie ma postać:
49
425
2
7
16
2
7
13
2
2
0
2
0
)
(
)
(
)
(
)
(
=
−
+
−
=
−
+
−
y
x
r
y
y
x
x
zad. 5.
Napisać równanie stycznej do okręgu
0
4
2
2
2
=
−
+
+
y
y
x
x
w punkcie
)
0
,
0
(
Q
oraz
w punkcie
)
3
,
3
(
−
W
.
2
1
)
2
,
1
(
5
5
)
2
(
)
1
(
2
)
(
bo
0
4
)
2
(
1
)
1
(
0
4
2
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
∧
−
=
⇒
−
=
=
−
+
+
+
−
=
−
=
−
−
+
−
+
=
−
+
+
y
x
S
r
y
x
b
ab
a
b
a
y
x
y
y
x
x
ogólne równanie stycznej:
2
0
0
1
0
0
1
)
)(
(
)
)(
(
r
y
y
y
y
x
x
x
x
=
−
−
+
−
−
dla punktu
)
0
,
0
(
Q
:
x
y
y
x
y
x
2
1
5
4
2
1
5
)
2
)(
2
0
(
)
1
)(
1
0
(
=
=
+
−
+
=
−
−
+
+
+
dla punktu
)
3
,
3
(
−
W
:
9
2
5
2
2
2
5
)
2
)(
2
3
(
)
1
)(
1
3
(
+
=
=
−
+
−
−
=
−
−
+
+
+
−
x
y
y
x
y
x
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 6
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
zad. 6.
Napisać równania prostych stycznych do okręgu
0
4
2
2
2
=
+
+
−
y
y
x
x
przechodzących
przez punkt
)
1
,
1
(
Q
.
Punkt Q leży na tym okręgu.
Równanie pęku prostych przechodzących przez
)
1
,
1
(
ma postać:
)
1
(
1
1
1
−
=
−
⇐
=
−
−
x
k
y
k
x
y
Szukamy takiego k , że prosta
)
1
(
1
−
=
−
x
k
y
ma dokładnie jeden punkt wspólny
z naszym okręgiem, czyli
0
=
∆
równania kwadratowego, więc:
=
+
−
+
+
−
+
−
+
−
=
=
+
−
+
+
−
+
−
+
−
=
⇒
=
+
+
−
−
=
−
0
)
1
(
4
)
1
(
2
1
)
1
(
0
)
1
)
1
(
(
4
)
1
)
1
(
(
2
1
)
1
(
0
4
2
)
1
(
1
2
2
2
2
2
2
k
kx
k
kx
x
x
x
k
y
x
k
x
k
x
x
x
k
y
y
y
x
x
x
k
y
wiadomo, że:
bc
ac
ab
c
b
a
c
b
a
2
2
2
)
(
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
+
+
, więc:
5
2
5
2
2
2
3
2
4
2
3
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
4
5
5
5
6
6
6
2
6
1
9
)
1
)(
5
6
(
)
1
3
(
0
)
1
)(
5
6
(
4
)
1
3
(
4
0
)
1
)(
5
6
(
4
)
1
3
(
4
)
1
)(
5
6
(
4
)
2
6
2
(
0
5
6
)
2
6
2
(
)
1
(
0
5
6
)
2
6
2
(
)
1
(
1
)
1
(
0
4
4
4
2
2
2
1
2
1
)
1
(
−
=
∨
=
⇒
=
−
+
+
−
−
+
=
−
+
−
+
+
+
+
−
=
−
+
−
=
+
+
−
−
−
+
−
⇔
=
∆
+
+
−
−
−
+
−
=
+
+
−
−
−
+
−
=
∆
=
+
−
+
−
+
−
+
+
=
+
−
+
−
+
+
+
+
−
=
=
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
+
−
=
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
k
k
x
k
k
k
x
k
k
x
k
x
k
y
k
kx
k
kx
x
k
k
x
k
x
x
x
k
y
Styczne mają więc równania:
1
)
1
(
+
−
=
x
k
y
5
5
2
5
2
5
2
5
5
2
5
2
5
2
1
)
1
(
1
)
1
(
+
+
−
+
−
=
⇒
+
−
−
=
+
=
⇒
+
−
=
x
y
x
y
x
y
x
y
zad. 7.
Napisać równanie stycznej do okręgu
5
)
2
(
)
1
(
2
2
=
+
+
−
y
x
:
a)
równoległej do prostej
0
3
2
=
+
−
y
x
,
b)
prostopadłej do prostej
0
2
3
=
+
+
y
x
.
Rozwiania:
a) I sposób
Szukamy prostej
b
x
y
+
=
2
która ma dokładnie jeden punkt wspólny z naszym okręgiem
o równaniu
5
)
2
(
)
1
(
2
2
=
+
+
−
y
x
.
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 7
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
9
2
10
8
1
2
10
8
10
100
100
36
64
)
9
(
4
8
0
9
8
20
5
9
12
4
0
)
4
(
20
)
9
12
4
(
4
0
)
4
(
20
)
9
12
4
(
4
)
4
(
20
)
3
2
(
4
0
4
)
3
2
(
2
5
0
4
)
3
2
(
2
5
2
5
4
8
4
4
4
1
2
2
5
)
2
2
(
)
1
(
2
5
)
2
(
)
1
(
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
=
−
−
=
=
+
−
=
=
=
∆
⇒
=
+
=
−
⋅
−
=
∆
=
−
+
+
=
+
+
=
+
−
+
+
⇔
=
∆
+
−
+
+
=
+
−
+
=
∆
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
−
+
=
=
+
+
+
−
+
=
⇒
=
+
+
−
+
=
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
x
b
x
b
b
x
b
x
b
x
y
b
x
bx
b
x
x
x
b
x
y
b
x
x
b
x
y
y
x
b
x
y
b
b
więc, odpowiedź to styczne o równaniach:
0
9
2
0
1
2
=
−
−
=
+
−
y
x
y
x
a) II sposób
Szukamy prostej
0
2
=
+
−
b
y
x
która jest odległa od środka okręgu o jego okręgu:
)
2
,
1
(
−
S
5
5
2
=
⇒
=
r
r
9
1
4
5
5
)
2
(
1
2
5
)
1
(
2
2
2
2
0
0
2
2
0
0
−
=
∨
=
⇒
+
=
+
−
−
⋅
=
⇒
−
+
+
−
=
+
+
+
=
b
b
b
b
b
y
x
r
B
A
C
By
Ax
d
więc, odpowiedź to styczne o równaniach:
0
9
2
0
1
2
=
−
−
=
+
−
y
x
y
x
b)
3
2
3
1
0
2
3
−
−
=
=
+
+
x
y
y
x
prosta prostopadła do niej ma więc ogólnie równanie:
0
3
3
1
bo
3
3
1
=
+
−
=
⇒
−
=
⋅
−
+
=
b
y
x
a
a
b
x
y
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 8
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
Szukamy takiego b dla którego prosta
0
3
=
+
−
b
y
x
jest odległa od środka okręgu
o jego promień:
)
2
,
1
(
−
S
5
5
2
=
⇒
=
r
r
50
5
50
5
5
50
10
)
2
(
1
3
5
)
1
(
3
3
2
2
0
0
2
2
0
0
−
−
=
∨
+
−
=
⇒
+
=
+
−
−
⋅
=
⇒
−
+
+
−
=
+
+
+
=
b
b
b
b
b
y
x
r
B
A
C
By
Ax
d
więc, odpowiedź to styczne o równaniach:
0
50
5
3
0
50
5
3
=
−
−
−
=
+
−
−
y
x
y
x
ELIPSA
Elipsa to zbiór punktów, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów
1
F
,
2
F
(zwanych OGNISKAMI ELIPSY) jest stała (równa a
2
).
W układzie współrzędnych, w którym oś Ox
przechodzi przez ogniska
1
F
,
2
F
a oś Oy jest
symetralną odcinka
2
1
F
F
równanie ma postać:
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
)
(
)
(
)
0
,
(
)
0
,
(
)
,
(
2
a
y
c
x
y
c
x
c
F
c
F
y
x
P
a
P
F
P
F
=
+
−
+
+
+
−
=
+
[
] [
]
(
)
[
] [
]
1
)
(
:
)
(
)
(
4
:
4
4
4
4
4
2
2
2
)
(
4
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
)
(
4
4
2
2
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
:
2
2
2
4
)
(
)
(
2
4
)
(
)
(
2
2
2
4
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
4
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
3
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
−
=
+
−
−
−
−
=
−
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
=
+
+
−
+
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
=
+
+
−
⋅
+
+
+
−
−
−
=
+
−
⋅
+
+
−
−
−
=
+
−
+
+
−
−
−
=
+
−
+
+
=
+
−
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
=
+
−
+
+
+
+
−
+
+
+
c
a
y
a
x
c
a
a
c
a
a
y
a
c
a
x
c
a
y
a
x
a
a
x
c
c
x
c
y
y
x
c
y
x
a
c
y
x
a
y
c
y
cxy
x
y
y
c
c
x
c
x
c
cxy
x
c
x
c
cx
y
x
c
x
cx
x
c
x
c
y
y
x
c
y
x
a
c
y
x
a
y
c
cx
x
y
c
cx
x
c
y
x
a
y
c
x
y
c
x
c
y
x
a
y
c
x
y
c
x
c
y
x
a
y
c
x
y
c
x
a
y
c
x
y
c
x
y
c
cx
x
y
c
cx
x
a
y
c
x
y
c
x
y
c
x
y
c
x
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 9
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
można przyjąć, że:
2
2
2
c
a
b
−
=
, wtedy równanie przyjmie postać:
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
ogólne równie elipsy ma postać
:
1
)
(
)
(
2
2
0
2
2
0
=
−
+
−
b
y
y
a
x
x
cdn.
Zagadnienia, które zostaną omówione na następnym wykładzie:
−
Równanie stycznej elipsy,
−
Równanie hiperboli,
−
Równania asymptot hiperboli,
−
Równania stycznej hiperboli,
−
Równanie paraboli,
−
Równania stycznej paraboli.
Można przynieść propozycje zadań do rozwiązania na tym wykładzie.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron