1
Metody energetyczne (c. d.)
Przykład .8
Kratownicę przedstawioną na rys. P8.1 rozwiązać
metodą Menabrei. Przyjąć EA = const. dla wszystkich
prętów. Wyznaczyć deformację konstrukcji.
Wyznaczamy reakcje podporowe
P
V
a
V
Pa
M
B
B
A
=
→
=
−
=
∑
0
0
,
P
H
H
P
X
A
A
=
→
=
−
=
∑
0
0
,
P
V
V
V
V
Y
B
A
A
B
=
=
→
=
−
=
∑
0
0
.
Rozpatrywany układ jest przesztywniony wewnętrznie.
Jako wielkość hiperstatyczną przyjmiemy siłę w pręcie
6. Metodą równoważenia węzłów wyznaczymy siły
w pozostałych prętach i uzyskamy 3 warunki kontrolne –
rys. P8.2
Węzeł C
,
N
N
Y
,
N
P
N
X
6
4
6
1
2
2
0
2
2
0
−
=
=
−
−
=
=
∑
∑
Węzeł A
,
N
N
P
N
X
,
P
N
N
P
N
N
Y
6
5
3
6
5
6
5
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
−
=
−
=
=
+
=
→
+
=
=
∑
∑
Węzeł B
,
N
P
N
Y
,
N
N
X
6
2
6
6
2
2
0
(kontrola)
0
2
2
2
2
0
−
−
=
=
=
+
−
=
∑
∑
Rys. P8.1. Schemat statyczny
Rys. P8.2. Równowaga węzłów
2
Węzeł D
(
)
(
)
,
P
N
N
P
Y
,
P
N
N
P
X
(kontrola)
0
2
2
2
2
2
0
(kontrola)
0
2
2
2
2
2
0
6
6
6
6
=
+
+
−
−
=
=
+
+
−
−
=
∑
∑
W konstrukcji, w której występują jedynie siły osiowe i są one stałe energię sprężystą obliczamy według
wzoru
∑
∑∫
=
=
i
i
i
i l
i
EA
l
N
EA
x
N
U
i
2
2
d
2
2
.
Z twierdzenia Menabrei odliczamy wielkość hiperstatyczną
(
)
(
) (
)
[
]
.
P
N
N
P
EA
a
a
N
a
P
N
a
N
a
N
a
N
P
a
N
P
EA
N
N
l
N
EA
N
U
i
i
i
i
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
−
=
→
=
+
+
+
=
=
+
+
+
−
−
+
−
−
+
+
−
−
−
+
−
−
−
=
∂
∂
=
∂
∂
∑
Obliczamy pozostałe siły wewnętrzne
.
P
P
N
N
,
P
N
N
,
P
N
N
,
P
N
P
N
,
P
N
P
N
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
=
+
=
=
−
=
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
−
=
Przemieszczenia węzłów wyznaczymy na podstawie zmian długości prętów – rys. P8.3
.
EA
Pa
l
,
EA
Pa
l
,
EA
Pa
l
,
EA
Pa
l
,
EA
Pa
l
,
EA
Pa
l
,
EA
l
N
l
i
i
i
−
=
∆
=
∆
=
∆
=
∆
−
=
∆
−
=
∆
=
∆
6
5
4
3
2
1
2
2
2
2
EA
Pa
l
x
B
2
3
=
∆
=
∆
,
EA
Pa
l
y
,
EA
Pa
l
l
l
x
D
D
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
5
5
−
=
∆
=
∆
+
=
∆
+
∆
+
∆
=
∆
,
(
)
EA
Pa
l
y
,
EA
Pa
l
l
l
l
x
C
C
2
1
2
2
2
2
2
4
4
6
6
3
=
∆
=
∆
+
=
∆
+
∆
+
∆
+
∆
=
∆
.
Kontrolą jest tu sprawdzenie zmiany długości pręta 1
EA
Pa
x
x
l
C
D
2
1
−
=
∆
−
∆
=
∆
.
3
Wygodnie można też sprawdzić poziome przemieszczenie węzła C z twierdzenia Castigliana, w którym
energię sprężystą liczymy jedynie od sił osiowych
( )
( )
(
)
.
EA
Pa
EA
Pa
P
N
l
N
EA
x
P
N
EA
N
P
U
x
i
i
i
i
i l
i
i
i
C
i
1
2
0
2
2
2
2
0
0
1
2
1
1
2
1
1
d
+
=
+
+
+
+
−
−
+
−
−
=
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∆
∑
∑∫
Przykład 9
Rys. P8.3. Wyznaczenie stanu deformacji
4
W belce jak na rys. P9.1 wyznaczyć reakcje:
na podporach skrajnych z twierdzenia
Menabrei, na podporach wewnętrznych
z zasady Bettiego.
Jako wielkości hiperstatyczne przyjmijmy
reakcje
A
V i
D
V . Uzależnimy od nich
pozostałe reakcje oraz funkcje momentów
zginających w przedziałach
,
ql
V
V
V
l
V
ql
l
V
l
V
M
,
ql
V
V
V
l
V
l
V
ql
l
V
M
D
A
B
D
B
A
C
D
A
C
D
C
A
B
2
3
2
0
2
3
2
0
2
3
2
0
2
2
3
0
2
2
+
+
−
=
→
=
−
−
+
→
=
+
−
=
→
=
−
−
+
→
=
∑
∑
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
qx
l
x
ql
x
l
V
qx
l
x
V
l
x
V
x
V
M
,
qx
l
x
ql
l
x
V
l
x
V
qx
l
x
V
x
V
M
,
qx
x
V
M
D
C
B
A
CD
D
A
B
A
BC
A
AB
2
3
2
2
3
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
+
−
=
−
−
+
−
+
=
−
−
+
−
+
+
−
=
−
−
+
=
−
=
Zapisuje się twierdzenie Menabrei dla obu wielkości hiperstatycznych
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
,
ql
V
V
EI
l
ql
V
V
EI
l
x
l
x
l
lx
x
q
l
lx
x
V
l
lx
x
V
x
x
q
x
V
EI
x
x
l
qx
l
x
ql
l
x
V
x
l
V
x
x
qx
x
V
EI
x
V
M
EI
M
V
U
D
A
D
A
l
l
D
A
l
A
l
l
D
A
l
A
l
A
i
i
A
i
0
2
4
6
3
4
9
36
6
5
40
8
1
16
8
1
2
2
3
12
3
1
8
4
2
8
3
1
8
3
1
d
3
2
9
2
5
2
2
3
4
4
d
2
1
d
2
2
2
3
2
d
2
1
d
3
3
2
3
2
2
3
2
2
2
2
0
3
2
2
2
0
2
=
−
+
=
=
−
−
+
−
−
−
+
−
+
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
=
−
+
−
+
−
+
−
+
+
−
+
−
=
=
−
−
−
+
−
+
−
+
−
=
∂
∂
=
∂
∂
∫
∫
∫
∫
∫
Rys. P9.1. Schemat statyczny
5
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
[
(
) (
)
(
)
.
ql
V
V
EI
l
ql
V
V
EI
l
x
l
x
l
lx
x
q
l
lx
x
V
x
l
x
l
lx
x
q
l
lx
x
V
l
lx
x
V
EI
x
x
l
qx
l
x
ql
x
l
V
x
l
x
qx
l
x
ql
l
x
V
x
l
V
EI
x
V
M
EI
M
V
U
D
A
D
A
l
l
D
l
l
D
A
l
l
D
l
l
D
A
l
D
i
i
D
i
0
13
24
8
48
4
27
8
108
243
4
24
81
16
16
81
2
3
2
3
12
3
2
16
8
1
16
2
9
2
12
27
6
8
27
1
1
4
3
1
8
2
2
3
12
3
1
8
d
27
27
9
2
9
6
2
1
d
2
3
3
2
2
2
2
3
1
d
3
2
3
2
2
3
3
2
1
d
2
2
3
2
1
d
3
3
3
2
3
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
=
−
+
=
−
−
+
−
−
−
+
+
−
−
−
+
−
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
−
−
+
−
−
+
−
−
=
=
−
+
−
+
+
−
+
+
−
+
−
+
+
+
−
+
−
+
−
=
−
−
−
+
−
+
+
−
−
−
+
−
+
−
=
∂
∂
=
∂
∂
∫
∫
∫
∫
∫
Rozwiązanie otrzymanego układu równań pozwala wyznaczyć poszukiwane reakcje
=
=
→
=
−
+
=
−
+
ql
V
ql
V
ql
V
V
ql
V
V
D
A
D
A
D
A
88
36
88
35
0
13
24
8
0
2
4
.
Zasadę Bettiego zapisujemy dla schematów
zastępczych, w których usunięto więzi na
kierunkach poszukiwanych reakcji
B
V i
C
V -
rys. P9.2. W układzie I, który jest
rzeczywistym układem sił, przemieszczenia
w miejscach usuniętych więzi są zerowe.
W układach J i K przykładamy obciążenia,
siły P, w miejscach usuniętych więzi. Dla
przemieszczeń i sił oznaczonych jak na
rys. P9.2
możemy zapisać zasadę
wzajemności prac dla układów I i J
( )
( )
0
d
d
2
0
2
2
0
1
1
=
+
+
+
−
−
∫
∫
l
J
l
J
J
C
C
J
B
B
x
x
w
x
x
w
q
w
V
w
V
.
Rys. P9.2. Układy sił i przemieszczeń
6
Przemieszczenia w belkach wygodnie
wyznacza się metodą obciążeń wtórnych.
Przy różnych sztywnościach przyjmujemy
sztywność porównawczą
EI
EI
p
=
. Reakcje
podporowe i momenty zginające w
schemacie J będą równe – rys. P9.3
J
D
J
A
P
V
,
P
V
3
1
3
2
=
=
,
.
x
P
M
,
x
P
M
J
DB
J
AB
2
1
3
1
3
2
=
=
Wyznaczamy reakcje w belce wtórnej
.
l
P
V
l
l
l
P
l
l
l
P
l
l
l
P
l
l
l
P
l
V
M
,
l
P
V
l
l
l
P
l
l
l
P
l
l
l
P
l
l
l
P
l
V
M
J
*
A
J
J
J
J
*
A
*
D
J
*
D
J
J
J
J
*
D
*
A
2
2
108
58
0
3
7
3
2
2
1
3
5
3
1
2
1
2
3
3
1
3
2
6
1
2
1
3
0
108
41
0
3
2
3
2
2
1
3
4
3
1
2
1
2
3
3
1
3
7
6
1
2
1
3
0
=
→
→
=
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
→
=
=
→
→
=
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
→
=
∑
∑
Przemieszczenia w przedziałach będą równe
(
)
(
)
,
x
x
l
EI
P
x
l
x
l
P
x
x
l
P
EI
EI
M
w
,
x
x
l
EI
P
x
l
x
l
P
x
x
l
P
EI
EI
M
w
J
J
J
p
*
DC
DC
J
J
J
p
*
AB
AB
3
2
2
2
2
2
1
2
2
3
1
1
2
1
1
1
1
2
3
41
108
3
6
1
2
1
108
41
1
12
58
108
3
3
2
2
1
108
58
1
−
=
⋅
⋅
−
=
=
−
=
⋅
⋅
−
=
=
(
)
(
)
(
)
.
l
x
l
x
EI
P
l
l
x
l
P
l
x
l
P
l
x
l
P
l
x
l
P
EI
EI
M
w
J
J
J
J
J
p
*
CB
CB
3
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
6
50
6
108
3
3
1
2
1
2
3
1
3
2
6
1
2
108
41
1
−
+
−
=
=
−
⋅
−
−
−
−
⋅
⋅
−
=
=
Przemieszczenia w węzłach podporowych będą równe
( )
( )
.
EI
l
P
l
w
w
,
EI
l
P
l
w
w
J
DC
J
C
J
AB
J
B
108
38
108
46
3
3
=
=
=
=
Zapisana wcześniej zasada Bettiego dla układów I oraz J prowadzi do związku
Rys. P9.3. Metoda obciążeń wtórnych – schemat J
7
( )
( )
{
(
)
(
)
(
)
(
)
.
ql
,
V
V
EI
l
P
ql
V
V
EI
l
P
x
l
x
l
x
x
x
x
l
x
x
x
l
q
V
l
V
l
EI
P
x
x
w
x
x
w
q
w
V
w
V
C
B
J
C
B
J
l
l
l
l
C
B
J
l
J
l
J
J
C
C
J
B
B
0
25
92
38
46
108
6
2
50
200
4
6
96
4
3
2
41
4
12
2
58
38
46
108
d
6
50
6
d
3
41
d
12
58
38
46
108
d
d
3
3
2
2
3
2
2
3
2
0
2
3
2
2
2
0
1
3
1
1
2
3
3
2
0
2
2
0
1
1
=
+
−
−
=
=
−
−
+
−
−
−
+
−
+
−
−
=
=
−
+
−
+
−
+
−
+
+
−
−
=
+
+
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
Zasada wzajemności dla układów I i K
przyjmie postać
( )
( )
0
d
d
0
2
2
2
0
1
1
=
+
+
+
−
−
∫
∫
l
K
l
K
K
C
C
K
B
B
x
x
w
x
x
w
q
w
V
w
V
.
Podobnie jak poprzednio zastosujemy
metodę obciążeń wtórnych. Reakcje
podporowe i
momenty zginające w
schemacie K będą równe – rys. P9.4
K
D
K
A
P
V
,
P
V
3
2
3
1
=
=
,
.
x
P
M
,
x
P
M
K
DC
K
AC
2
1
3
2
3
1
=
=
Wyznaczamy reakcje w belce wtórnej
.
l
P
V
l
l
l
P
l
l
l
P
l
V
M
,
l
P
V
l
l
l
P
l
l
l
P
l
V
M
K
*
A
K
K
*
A
*
D
K
*
D
K
K
*
D
*
A
2
2
54
22
3
5
2
3
2
2
1
3
2
3
1
2
1
3
0
54
23
3
4
2
3
2
2
1
3
7
3
1
2
1
3
0
=
→
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
→
=
=
→
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
→
=
∑
∑
Przemieszczenia w przedziałach będą równe
(
)
(
)
.
x
x
l
EI
P
x
l
x
l
P
x
x
l
P
EI
EI
M
w
,
x
x
l
EI
P
x
l
x
l
P
x
x
l
P
EI
EI
M
w
K
K
K
p
*
DC
DC
K
K
K
p
*
AC
AB
3
2
2
2
2
2
1
2
2
3
1
1
2
1
1
1
1
2
3
23
54
3
3
1
2
1
54
23
1
3
22
54
3
2
3
2
2
1
54
22
1
−
=
⋅
⋅
−
=
=
−
=
⋅
⋅
−
=
=
Przemieszczenia w węzłach podporowych będą równe
( )
( )
.
EI
l
P
l
w
w
,
EI
l
P
l
w
w
K
DC
K
C
K
AB
K
B
54
20
54
19
3
3
=
=
=
=
Rys. P9.4. Metoda obciążeń wtórnych – schemat K
8
Zapisana wcześniej zasada Bettiego dla układów I oraz K prowadzi do drugiego związku między
poszukiwanymi reakcjami i obciążeniem
( )
( )
(
)
(
)
(
)
.
ql
,
V
V
EI
l
P
ql
V
V
EI
l
P
x
x
x
l
x
x
x
l
q
V
l
V
l
EI
P
x
x
w
x
x
w
q
w
V
w
V
C
B
K
C
B
K
l
l
C
B
K
l
K
l
K
K
C
C
K
B
B
0
75
42
20
19
54
4
3
2
23
12
44
20
19
54
d
3
23
d
3
22
20
19
54
d
d
3
3
0
2
3
2
2
2
2
0
1
3
1
1
2
3
3
0
2
2
2
0
1
1
=
+
−
−
=
−
+
−
+
−
−
=
=
−
+
−
+
−
−
=
=
+
+
−
−
∫
∫
∫
∫
Rozwiązanie otrzymanego układu równań pozwala wyznaczyć poszukiwane reakcje
=
=
→
=
+
−
−
=
+
−
−
ql
V
ql
V
ql
,
V
V
ql
,
V
V
C
B
C
B
C
B
88
95
88
98
0
75
42
20
19
0
25
92
38
46
.
Kontrola
ql
ql
V
V
V
V
D
C
B
A
3
88
36
95
98
35
=
+
+
+
=
+
+
+
.
9
Przykład 10
Z twierdzenia Bettiego wyznaczyć przemieszczenie w –
rys. P10.1.
Zasadę Bettiego zapisujemy dla schematów zastępczych,
w których usunięto więź na kierunku reakcji R – rys. P10.2.
W układzie I, który jest rzeczywistym układem sił,
przemieszczenie w miejscu usuniętej więzi będzie równe zero.
Zasada Bettiego dla układów I oraz J będzie miała postać
0
=
ϕ
+
−
J
J
M
Rw
.
Przemieszczenia wyznaczymy metodą obciążeń wtórnych –
rys. P10.3
.
EI
l
P
l
P
l
EI
,
EI
l
P
l
l
P
l
EI
w
J
J
J
J
J
J
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
2
3
=
⋅
=
ϕ
=
⋅
⋅
=
Reakcja R będzie równa
l
M
M
w
R
J
J
3
2
=
ϕ
=
.
Zasada Bettiego dla układów I oraz K ma postać
w
P
M
Rw
K
K
K
=
ϕ
+
−
.
Przemieszczenia wyznaczymy metodą obciążeń wtórnych –
rys. P10.3
.
EI
l
P
l
l
P
EI
,
EI
l
P
l
l
l
P
l
l
l
P
EI
w
K
K
K
K
K
K
K
2
3
2
2
2
2
1
1
6
5
3
2
2
1
2
1
=
⋅
=
ϕ
=
⋅
+
⋅
=
Rys. P10.1. Schemat statyczny
Rys. P10.2. Układy sił i przemieszczeń
Rys. P10.3. Wyznaczenie przemieszczeń w układach J i K
10
Szukane przemieszczenie będzie równe
EI
Ml
P
EI
l
P
M
EI
l
P
l
M
P
M
Rw
w
K
K
K
K
K
K
4
3
2
6
5
2
3
2
2
3
=
+
−
=
ϕ
+
−
=
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron