MATERIAŁ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Kwiecień 2012
Czas pracy:
170 minut
Grupa B
Wypełnia zdający:
Imię:
Nazwisko:
Klasa:
Za rozwiązanie wszystkich zadań otrzymujesz 50 punktów,
aby zaliczyć musisz otrzymać minimum 15 punktów.
2
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (1 pkt)
Wartość wyrażenia
8
3
2
jest równa
A.
2
7
B.
2
6
C.
2
5
D.
2
2
Zadanie 2. (1 pkt)
Iloraz
2
4
27
:
9
1
jest równy
A. 9
B.
9
1
C. 3
D.
3
1
Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba
32
log
2
log
3
4
4
jest równa
A. –2
B. 2
C. –1
D. 1
Zadanie 4. (1 pkt)
Zbiór
4
,
2
jest zbiorem rozwiązań nierówności
A.
3
1
x
B.
1
3
x
C.
1
3
x
D.
3
1
x
Zadanie 5. (1 pkt)
Cenę plecaka podwyższono o 25%, a następnie obniżono do początkowej wartości. Obniżka
wynosiła
A. 10%
B. 15%
C. 20%
D. 25%
Zadanie 6. (1 pkt)
Wielomian
)
4
4
)(
9
(
)
(
2
2
x
x
x
x
W
ma rozkład
A.
2
)
2
)(
9
)(
9
(
x
x
x
B.
2
)
2
)(
9
)(
9
(
x
x
x
C.
2
)
2
)(
3
)(
3
(
x
x
x
D.
2
)
2
)(
3
)(
3
(
x
x
x
Zadanie 7. (1 pkt)
Iloczyn pierwiastków równania
0
2
)
3
)(
4
(
2
x
x
x
jest równy
A. –6
B. –4
C. 6
D. 12
Zadanie 8. (1 pkt)
Wskaż liczbę, która nie spełnia nierówności
x
x
x
x
5
)
5
)(
2
(
2
A. –9
B. –7
C. –6
D. –5
3
Zadanie 9. (1 pkt)
Funkcja liniowa jest rosnąca i do jej wykresu należy punkt
)
3
,
0
(
A
. Wzór tej funkcji może mieć
postać
A.
x
x
f
3
)
(
B.
3
3
)
(
x
x
f
C.
3
)
(
x
x
f
D.
3
)
(
x
f
Zadanie 10. (1 pkt)
Wykresem funkcji
10
)
2
(
)
(
2
x
x
f
jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne
A.
10
,
2
B.
10
,
2
C.
10
,
2
D.
10
,
2
Zadanie 11. (1 pkt)
Na rysunku dana jest funkcja
)
(x
f
y
Wskaż zbiór wartości funkcji g, gdzie
)
2
(
)
(
x
f
x
g
A.
4
,
2
B.
2
,
2
C.
2
,
2
D.
6
,
0
Zadanie 12. (1 pkt)
Kąt α jest ostry i
3
1
tg
. Wartość wyrażenia
2
)
sin
(cos
jest równa
A.
10
2
B.
10
3
C.
10
4
D.
10
5
Zadanie 13. (1 pkt)
W ciągu geometrycznym dane są
32
1
a
oraz
4
4
a
. Iloraz tego ciągu jest równy
A.
8
1
B.
2
1
C.
8
1
D.
2
1
Zadanie 14. (1 pkt)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a
n
) dane są
2
2
a
i
8
7
a
. Zatem pierwszy wyraz
ciągu (a
n
) jest równy
A. –6
B. –5
C. –4
D. –3
4
Zadanie 15. (1 pkt)
Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i punkt
)
3
,
(
t
t
P
, gdzie
0
t
ma wzór
A.
x
x
f
2
)
(
B.
x
x
f
3
)
(
C.
x
x
f
2
)
(
D.
x
x
f
3
)
(
Zadanie 16. (1 pkt)
Pole prostokąta jest równe 20. Stosunek długości jego boków jest równy 1:5. Obwód tego
prostokąta jest równy
A. 18
B. 21
C. 24
D. 42
Zadanie 17. (1 pkt)
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.
Miara kąta α zaznaczonego na rysunku wynosi
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
Zadanie 18. (1 pkt)
Odcinek AB, gdzie
)
4
,
2
(
A
i
)
4
,
4
(
B
jest średnicą okręgu. Promień tego okręgu ma długość
A.
17
2
B. 17
C. 10
D. 5
Zadanie 19. (1 pkt)
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o polu 18. Promień podstawy tego stożka jest
równy
A.
2
6
B.
2
3
C.
2
2
D. 2
Zadanie 20. (1 pkt)
Przekątna ściany sześcianu ma długość 6 . Objętość tego sześcianu jest równa
A. 3
B.
3
3
C. 9
D. 27
Zadanie 21. (1 pkt)
Niech A oznacza zdarzenie zawarte w przestrzeni
. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
do zdarzenia A jest 6 razy większe niż prawdopodobieństwo zdarzenia A, wtedy
A.
7
1
)
(
/
A
P
B.
6
1
)
(
/
A
P
C.
2
1
)
(
/
A
P
D.
7
6
)
(
/
A
P
5
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach 22. do 32. należy zapisać w wyznaczonych miejscach
pod treścią zadania.
Zadanie 22. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność:
0
)
4
)(
1
(
3
x
x
.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
Zadanie 23. (2 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
4
2
x
b
x
x
f
dla x
-4. Ponadto wiemy, że
1
)
2
(
f
.
Oblicz wartość współczynnika b.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
6
Zadanie 24. (2 pkt)
Wysokość rombu jest równa 3. Cosinus kąta ostrego jest równy 0,8. Oblicz pole tego rombu.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
7
Zadanie 25. (2 pkt)
Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB, AD przecinają się w punktach A i P
(rysunek poniżej). Wykaż, że punkty B, P i D leżą na jednej prostej.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
8
Zadanie 26. (2 pkt)
Liczby 20, x, 5 są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem niemonotonicznego ciągu
geometrycznego.
Oblicz wartość czwartego wyrazu tego ciągu.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie: x
3
+ 2x
2
+ 4x + 8 = 0.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
9
Zadanie 28. (2 pkt)
Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
Oceny
1
2
3
4
5
6
Liczba uczniów
2
2
2
5
6
3
Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
10
Zadanie 29. (2 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A
polegającego na tym, że iloczyn liczby oczek wyrzuconych w obu rzutach jest liczbą podzielną
przez 3.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
11
Zadanie 30. (5 pkt)
Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę stron.
Gdyby czytał każdego dnia o osiem stron więcej, to czytałby ją o trzy dni krócej.
Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę oraz ile stron dziennie czytał.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
12
Zadanie 31. (4 pkt)
Wykaż, że prosta o równaniu y = x + 2 nie ma z okręgiem o równaniu
9
)
1
(
)
2
(
2
2
y
x
punktów wspólnych.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
13
Zadanie 32. (4 pkt)
Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa 6, a
długość krawędzi bocznej jest równa
15
2
. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej piramidy
do podstawy.
Odpowiedź: …………………………………………………………………………………….
14
KARTA ODPOWIEDZI
WYPEŁNIA ZDAJĄCY
NUMER
ZADANIA
ODPOWIEDZI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
WYPEŁNIA SPRAWDZAJĄCY
PUNKTY
NUMER
ZADANIA 0 1 2 3 4 5
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
SUMA
PUNKTÓW
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D