MO

Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 16

1

Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 16

Z2/16.1. Zadanie 16

Wyznaczyć   analitycznie   reakcje   we   wszystkich   podporach   układu   prętowego   przedstawionego  na 

rysunku Z2/16.1.

1

A

B

C

[m]

1,0

3,0

2,0

3,0

4,

0

1,

0

2,

0

3,

0

2,

0

2,

0

15,0 kN

9,0 kN

12,0 kN

21,0 kN

I

II

Rys. Z2/16.1. Układ prętowy

Analiza kinematyczna układu prętowego przedstawionego na rysunku Z2/16.1 znajduje się w zadaniu 

Z1/4.

Z2/16.2. Analiza statyczna układu prętowego

Na początek będziemy, zgodnie z analizą kinematyczną, rozpatrywali układ prętowy jako całość. Na 

podporze   przegubowo-nieprzesuwnej   A   będą   działy   dwie   reakcje:   pozioma   i   pionowa.   Na   podporze 
przegubowo-przesuwnej C działać będzie jedna pionowa reakcja. Założone zwroty tych reakcji przedstawia 
rysunek Z2/16.2. 

Poziomą reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A wyznaczymy z równania sumy rzutów 

wszystkich  sił  działających  na  układ  prętowy na  oś  X.   Jako dodatni  przyjmujemy  kierunek zgodny  ze 
zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/16.2 równanie to będzie miało postać

 X =H

A

15,012,0=0

H

A

=−27,0 kN

.

(Z2/16.1)

Pozioma   reakcja   na   podporze   przegubowo-nieprzesuwnej  A  ma   w   rzeczywistości   zwrot   przeciwny   do 
założonego.

Pionową   reakcję   na   podporze   przegubowo-nieprzesuwnej   A   wyznaczymy   z   równania   sumy 

momentów wszystkich sił  działających na  układ prętowy względem punktu C. Dodatni  moment będzie 
kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/16.2 równanie to będzie miało postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 16

2

1

A

B

C

[m]

1,0

3,0

2,0

3,0

4,

0

1,

0

2,

0

3,

0

2,

0

2,

0

15,0 kN

9,0 kN

12,0 kN

21,0 kN

V

A

H

A

V

C

I

II

X

Y

Rys. Z2/16.2. Założone zwroty reakcji na podporach A i C

 M

C

=V

A

⋅9,0−9,0⋅8,015,0⋅5,0−21,0⋅3,012,0⋅2,0=0

V

A

=4,0kN

.

(Z2/16.2)

Reakcja ta ma więc w rzeczywistości zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej C wyznaczymy z równania sumy momentów 

wszystkich sił działających na układ prętowy względem punktu A. Dodatni moment kręci zgodnie z ruchem 
wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/16.2 równanie to będzie miało postać

 M

A

=−V

C

⋅9,09,0⋅1,015,0⋅5,021,0⋅6,012,0⋅2,0=0

V

C

=26,0 kN

.

(Z2/16.3)

Reakcja ta ma więc w rzeczywistości zwrot zgodny z założonym.

W celu  sprawdzenia  obliczeń  zastosujemy  równanie   sumy  rzutów   wszystkich   sił   działających  na 

układ prętowy na oś Y. Jako dodatni przyjmujemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem 
Z2/16.2 równanie to będzie miało postać

 Y =V

A

V

C

−9,0−21,0=4,026,0−30,0=0

.

(Z2/16.4)

Równanie   (Z2/16.4)   zostało   spełnione   więc   obliczenia   reakcji   na   podporach   przegubowo-

nieprzesuwnej A i przegubowo-przesuwnej C są poprawne. 

Rysunek Z2/16.3 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji na podporach A i C. Reakcje te 

oraz siły czynne działające na układ prętowy znajdują się w równowadze.

Rysunek Z2/16.4 przedstawia założone zwroty reakcji: na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A, 

przegubie rzeczywistym B i pręcie podporowym numer 1 działające na pręt numer I. 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 16

3

1

A

B

C

[m]

1,0

3,0

2,0

3,0

4,

0

1,

0

2,

0

3,

0

2,

0

2,

0

15,0 kN

9,0 kN

12,0 kN

21,0 kN

I

II

27,0 kN

4,0 kN

26,0 kN

Rys. Z2/16.3. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji na podporach A i C

1

A

B

1,0

3,0

3,

0

2,

0

2,

0

15,0 kN

9,0 kN

V

A

H

A

I

V

B

(I)

H

B

(I)

[m]

R

1

(I)

X

Y

D

Rys. Z2/16.4. Założone zwroty reakcji działających na pręt numer I

Pionową reakcję przegubie rzeczywistym B wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił 

działających na pręt I na oś Y. Jako dodatni przyjmujemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z 
rysunkiem Z2/16.4 równanie to będzie miało postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 16

4

 Y



I



=V

B



I



V

A

−9,0=0

V

B



I



4,0−9,0=0

V

B



I



=5,0kN

.

(Z2/16.5)

Reakcja ta ma więc w rzeczywistości zwrot zgodny z założonym.

Poziomą reakcję w przegubie rzeczywistym B wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich 

sił działających pręt  numer  I względem punktu D przedstawionego na  rysunku Z2/16.4. Punkt ten jest 
punktem przecięcia  się kierunków pionowej  reakcji  w przegubie  B oraz reakcji  w pręcie  podporowym 
numer   1.   Dodatni   moment   kręci   zgodnie   z   ruchem   wskazówek   zegara.   Zgodnie   z   rysunkiem   Z2/16.4 
równanie to będzie miało postać

 M

D



I



=−H

B



I



⋅4,0V

A

⋅4,0−H

A

⋅3,015,0⋅2,0−9,0⋅3,0=0

−H

B



I



⋅4,04,0⋅4,0−



−27,0



⋅3,015,0⋅2,0−9,0⋅3,0=0

H

B



I



=25,0kN

.

(Z2/16.6)

Reakcja ta ma więc w rzeczywistości zwrot zgodny z założonym.

Reakcję w pręcie podporowym numer 1 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił 

działających pręt numer I względem punktu B. Dodatni moment kręci zgodnie z ruchem wskazówek zegara. 
Zgodnie z rysunkiem Z2/16.4 równanie to będzie miało postać

 M

B



I



=−R

1



I



⋅4,0V

A

⋅4,0−H

A

⋅7,0−15,0⋅2,0−9,0⋅3,0=0

−R

1



I



⋅4,04,0⋅4,0−



−27,0



⋅7,0−15,0⋅2,0−9,0⋅3,0=0

R

2



I



=37,0 kN

.

(Z2/16.7)

Reakcja ta ma więc w rzeczywistości zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów   wszystkich sił działających pręt 

numer   I  na   oś   poziomą   X.   Jako   dodatni   przyjmujemy  kierunek  zgodny  ze   zwrotem  osi   X.   Zgodnie   z 
rysunkiem Z2/16.4 równanie to będzie miało postać

 X

I 

=

H

A



R

1

 I

−

H

B

 I 



15,0

=−

27,0



37,0

−

25,0



15,0

=

0

.

(Z2/16.8)

Równanie  (Z2/16.8)  zostało spełnione.  Możemy ostatecznie  stwierdzić,  że pręt  numer I znajduje  się  w 
równowadze.

Pozostaje nam tylko sprawdzić równowagę pręta numer II. Rysunek Z2/16.5 przedstawia założone 

zwroty reakcji działające na ten pręt. Reakcje te mają takie same wartości ale przeciwne zwroty jak reakcje 
działające na pręt numer I. Wynika to bezpośrednio z równowagi założonych zwrotów składowych reakcji w 
przegubie rzeczywistym B przedstawionych na rysunku Z2/16.6. Możemy więc napisać, że

H

B



II



=H

B



I



=25,0 kN

,

(Z2/16.9)

V

B



II



=V

B



I



=5,0kN

.

(Z2/16.10)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 16

5

1

B

C

[m]

2,0

3,0

4,

0

1,

0

2,

0

12,0 kN

21,0 kN

V

C

II

R

1

(II)

V

B

(II)

H

B

(II)

X

Y

Rys. Z2/16.5. Założone zwroty reakcji działających na pręt numer II

V

B

(I)

H

B

(I)

B

V

B

(II)

H

B

(II)

Rys. Z2/16.6. Założone zwroty reakcji działające w przegubie rzeczywistym B

1

A

B

1,0

3,0

3,

0

2,

0

2,

0

15,0 kN

9,0 kN

I

1

B

C

[m]

2,0

3,0

4,

0

1,

0

2,

0

12,0 kN

21,0 kN

II

27,0 kN

4,0 kN

5,0 kN

25,0 kN

37,0 kN

26,0 kN

5,0 kN

25,0 kN

37,0 kN

Rys. Z2/16.7. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji działające na pręty numer I i II

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/16. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 16

6

B

5,0 kN

25,0 kN

25,0 kN

5,0 kN

Rys. Z2/16.8. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji działające w przegubie rzeczywistym B

W celu sprawdzenia równowagi pręta numer II zastosujemy równania sumy rzutów wszystkich sił 

działających na ten pręt na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatni przyjmujemy kierunek zgodny ze 
zwrotami tych osi. Zgodnie z rysunkiem Z2/16.6 pierwsze z równań ma postać

 X

II 

=

H

B

 II 

−

R

1

 II



12,0

=

25,0

−

37,0

−

12,0

=

0

.

(Z2/16.11)

Drugie z nich będzie miało postać

 Y



II



=V

C

−V

B



II



−21,0=26,0−5,0−21,0=0

.

(Z2/16.12)

Równania (Z2/16.11) i (Z2/16.12) zostały spełnione. Możemy więc stwierdzić, że pręt numer II znajduje się 
w równowadze.

Rysunek Z2/16.7 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji działających na pręty numer I i II, 

które znajdują się w równowadze. Rysunek Z2/16.8 przedstawia równowagę przegubu rzeczywistego B.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni