6
II. GRANICE FUNKCJI, PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O WYBRANYCH
FUNKCJACH.
2.1 Granica funkcji.
Definicja:
Mówimy, że granicą funkcji y = f(x) w punkcie „x
0
” jest liczba „g”, wtedy i tylko wtedy gdy
dla każdego ciągu {x
n
}argumentów funkcji f(x) zbieżnego do „x
0
”, o wyrazach różnych od
„x
0
”, ciąg {f(x
n
)} wartości funkcji jest zbieżny do „g”.
Działania arytmetyczne na granicach funkcji:
jeżeli
p
x
h
oraz
g
x
f
x
x
x
x
=
=
→
→
)
(
lim
)
(
lim
0
0
, to:
1.
p
g
x
h
x
f
x
x
±
=
±
→
))
(
)
(
(
lim
0
2.
p
g
x
h
x
f
x
x
*
))
(
*
)
(
(
lim
0
=
→
3.
p
g
x
h
x
f
x
x
=
→
)
(
)
(
lim
0
przy dodatkowym założeniu, że
0
≠
p
Symbole nieoznaczone:
∞
∞
−
∞
∞
∞
*
0
;
;
0
0
;
Niektóre granice wyrażeń nieoznaczonych: plik PDF
GRANICE WYRAŻEŃ
NIEOZNACZONYCH.pdf
Jeżeli ciąg {f(x
n
)} będzie rozbieżny do
∞
± , to mówimy, że funkcja y = f(x) ma w punkcie
„x
0
” granicę niewłaściwą.
Jeżeli ciąg {x
n
} jest rozbieżny do
∞
± , to mówimy o granicy funkcji y = f(x) w
nieskończoności.
2.2 Funkcja wykładnicza.
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję:
x
a
y
=
gdzie
R
x
∈
i „a” jest ustaloną liczbą dodatnią
Gdy 0 < a < 1 to funkcja jest malejąca
7
Gdy a = 1 to funkcja jest stała
Gdy a > 1 to funkcja jest rosnąca
Gdy a > 0 i
1
≠
a
to funkcja jest różnowartościowa
Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych, dodatnich – R
+
Dla każdego
+
∈ R
a
funkcja wykładnicza jest funkcją ciągłą na zborze
R
x
∈
.
Funkcja wykładnicza nie posiada ani ekstremum, ani miejsc zerowych.
Granice funkcji wykładniczej:
+∞
=
=
−∞
→
+∞
→
x
x
x
x
a
a
lim
0
lim
dla 0 < a <1
=
+∞
=
−∞
→
+∞
→
0
lim
lim
x
x
x
x
a
a
dla a > 1
2.3 Funkcja logarytmiczna.
Funkcją logarytmiczną nazywamy funkję:
x
y
a
log
=
gdzie
+
∈ R
x
i „a” jest ustaloną liczbą dodatnią różną od 1.
Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej.
Gdy 0 < a < 1 to funkcja jest malejąca
Gdy a > 1 to funkcja jest rosnąca
Gdy a > 0 i
1
≠
a
to funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa
Granice funkcji logarytmicznej:
−∞
=
+∞
=
→
+∞
→
x
x
a
x
a
x
log
lim
log
lim
0
dla a > 1
+∞
=
−∞
=
→
+∞
→
x
x
a
x
a
x
log
lim
log
lim
0
dla 0 < a < 1
8
x
a
x
y
y
a
=
⇔
= log
Pozostałe własności funkcji logarytmicznej:
Dla każdego
}
1
{
\
+
∈ R
a
zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór
R
y
∈
Dla każdego
}
1
{
\
+
∈ R
a
funkcja logarytmiczna jest ciągła na zbiorze
+
∈ R
x
Funkcja logarytmiczna nie posiada ekstremum, a jej miejscem zerowym jest punkt (1,0).
2.4 Funkcja wymierna.
Funkcją wymierną nazywamy funkcję:
)
(
)
(
)
(
x
G
x
W
x
f
=
gdzie
}
{
\ P
R
x
∈
, „P” to pierwiastki (miejsca zerowe) wielomianu G(x).
Funkcję wymierną postaci:
d
cx
b
ax
x
f
+
+
=
)
(
gdzie
c
b
d
a
∗
≠
∗
i
0
≠
c
nazywamy funkcją homograficzną.
Wykresy funkcji homograficznej:
d
cx
b
ax
x
f
+
+
=
)
(
gdzie
0
<
∗
−
∗
c
b
d
a
i
0
≠
c
9
d
cx
b
ax
x
f
+
+
=
)
(
gdzie
0
>
∗
−
∗
c
b
d
a
i
0
≠
c
Granice funkcji homograficznej:
=
+
+
+∞
=
+
+
−∞
=
+
+
=
+
+
+∞
→
−
→
−
→
−∞
→
+
−
c
a
d
cx
b
ax
d
cx
b
ax
d
cx
b
ax
c
a
d
cx
b
ax
x
c
d
x
c
d
x
x
lim
lim
lim
lim
dla
0
<
∗
−
∗
c
b
d
a
i
0
≠
c
=
+
+
−∞
=
+
+
+∞
=
+
+
=
+
+
+∞
→
−
→
−
→
−∞
→
+
−
c
a
d
cx
b
ax
d
cx
b
ax
d
cx
b
ax
c
a
d
cx
b
ax
x
c
d
x
c
d
x
x
lim
lim
lim
lim
dla
0
>
∗
−
∗
c
b
d
a
i
0
≠
c
W punkcie
c
d
x
−
=
funkcja homograficzna ma granice niewłaściwe
∞
± .
10
2.5 Funkcja wielomianowa.
Funkcją wielomianową nazywamy wyrażenie postaci:
0
1
2
2
1
1
...
)
(
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
f
x
n
n
n
+
+
+
+
+
=
−
−
gdzie:
a
i
– są to współczynnikami wielomianu f(x), a i = 0, 1, 2, 3, …n
R
a
a
a
a
n
∈
,...
,
,
2
1
0
n – stopień wielomianu
Wykres funkcji wielomianowej:
Liczba x
0
jest pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy
f(x
0
) = 0, i wówczas wielomian f(x) dzieli się przez dwumian (x – x
0
).
Jeżeli wielomian f(x) stopnia n-tego ma n pierwiastków, wówczas możemy go przedstawić w
postaci:
f(x) = a
n
(x – x
1
)(x – x
2
)(x – x
3
)…(x – x
n
)
Pierwiastków całkowitych wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych, należy szukać
wyłącznie wśród podzielników wyrazu wolnego a
0.
Jeżeli liczba wymierna
q
p
(ułamek nieskracalny), różna od zera, jest pierwiastkiem
wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych, przy czym
0
*
a
0
n
≠
a
, to „p” jest
podzielnikiem wyrazu wolnego a
0
, natomiast „q” jest podzielnikiem wyrazu a
n
.
Granice funkcji wielomianowej:
0
1
2
2
1
1
...
)
(
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
f
x
n
n
n
+
+
+
+
+
=
−
−
można zapisać w postaci:
+
+
+
+
+
=
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
x
f
0
1
1
2
2
1
...
1
)
(
wtedy łatwo
zauważamy, że:
<
∞
−
>
∞
+
=
+∞
→
0
0
)
(
lim
n
n
x
a
gdy
a
gdy
x
f
∈
<
∈
>
∞
−
∈
<
∈
>
∞
+
=
−∞
→
parzystych
N
n
i
a
gdy
ych
nieparzyst
N
n
i
a
gdy
ych
nieparzyst
N
n
i
a
gdy
parzystych
N
n
i
a
gdy
x
f
n
n
n
n
x
0
lub
0
0
lub
0
)
(
lim
11
2.6 Obliczanie granic funkcji.
Oblicz nst. granice funkcji:
(
)
(
)
(
)
4
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
3
2
0
4
3
2
0
2
2
3
2
2
2
2
0
3
1
2
2
3
3
2
5
4
1
:
.
3
1
lim
4
:
.
2
4
lim
3
7
:
.
1
3
lim
:
.
1
3
lim
:
.
1
lim
:
.
2
1
lim
7
6
:
.
12
9
lim
3
2
:
.
1
3
2
8
2
lim
:
.
1
lim
0
:
.
sin
lim
2
3
:
.
2
1
3
lim
7
1
:
.
7
lim
4
1
:
.
1
2
1
2
lim
sin
*
sin
cos
*
cos
)
cos(
)
3
cos
4
(
cos
3
cos
)
sin
4
3
(
sin
3
sin
sin
2
1
2
cos
cos
sin
2
2
sin
12
:
.
5
cos
cos
lim
1
:
.
1
1
1
1
lim
2
5
:
.
5
lim
7
27
:
.
12
27
lim
:
.
5
lim
1
:
.
3
4
2
3
lim
2
−
+
∞
→
−
→
−
→
∞
→
−
∞
→
+
∞
→
→
∞
→
∞
→
→
+∞
→
→
∞
→
→
−
→
+∞
→
→
−∞
→
→
+
−
−
+
−
−
−
+
+
+
−
+
−
−
+
−
−
+
+
+
∞
+
+
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
=
+
−
=
−
=
−
=
=
−
−
+
−
−
−
−
−
−
+
−
+∞
−
−
+
−
+
−
e
odp
x
x
odp
x
x
odp
x
x
e
odp
x
x
e
odp
x
x
e
odp
x
odp
x
x
x
odp
x
x
x
x
odp
x
x
odp
x
x
tgx
odp
x
x
x
x
x
odp
x
xctg
odp
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
odp
x
x
x
odp
x
x
odp
x
x
x
odp
x
x
x
odp
x
x
x
odp
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
12
2.7 Obliczanie granic ciągów:
Ciągiem nazywamy funkcję „f”, która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych {N} w pewien
zbiór niepusty:
( )
N
n
n
n
n
n
y
∈
+
+
−
=
1
2
2
4
2
Do powyższej funkcji przyjęto nst. zapis:
N
n
n
n
n
a
n
∈
+
+
−
=
1
2
2
4
2
Niektóre wyrażenia ciągów:
1
lim
1
lim
1
lim
1
1
lim
=
=
=
+
=
+
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
n
n
n
n
k
a
n
n
n
n
a
n
e
a
k
e
n
n
(
)
(
)
1
:
.
2
lim
:
.
3
2
lim
:
.
2
5
2
lim
4
1
:
.
3
2
...
3
2
1
lim
0
:
.
2
1
lim
4
1
:
.
2
4
lim
:
.
3
5
7
5
lim
:
.
lim
:
.
2
lim
:
.
2
2
11
3
lim
:
.
3
1
lim
:
.
)
1
2
(
lim
1
2
2
6
20
3
2
2
2
3
2
5
3
2
2
odp
n
e
odp
n
n
odp
n
n
odp
n
n
odp
n
n
odp
n
n
n
e
odp
n
n
odp
n
n
e
odp
n
n
odp
n
n
n
n
e
odp
n
odp
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
∞
→
−
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
+
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
+
+
∞
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
+
−∞
−
+
∞
+
−
−
+
+
∞
+
−
Twierdzenie o trzech ciągach:
jeżeli b
n
< a
n
< c
n
oraz
g
a
to
g
c
i
g
b
n
n
n
n
n
n
=
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
lim
lim
lim
(
)
1
:
.
lim
13
:
.
13
13
13
9
*
13
lim
3
2
:
.
3
2
*
2
3
2
5
3
3
2
lim
7
:
.
7
*
3
7
7
5
3
lim
20
201
201
odp
n
n
odp
n
c
b
n
odp
c
b
odp
c
b
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
+
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
13
( )
( ) (
)
( )
( )
( )
:
.
0
5
1
0
5
sin
.
5
9
:
.
10
log
10
.
4
3
3
:
.
0
)
(
0
8
2
.
3
:
.
1
2
1
1
.
2
:
.
0
0
0
.
1
2
2
2
1
2
odp
x
dla
x
dla
x
x
x
f
a
odp
x
dla
x
x
dla
a
x
x
f
a
a
odp
x
dla
a
x
x
dla
x
f
odp
x
dla
x
dla
x
x
f
odp
x
dla
x
dla
e
x
f
x
x
x
=
≠
=
=
≥
<
−
=
−
=
∪
=
>
−
≤
+
=
−
>
−
≤
+
=
=
≠
=
+
−
2.8 Ciągłość funkcji.
Definicja:
Funkcję „f” określoną w otoczeniu x
0
nazywamy ciągłą w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy,
gdy:
( )
( )
0
0
lim
x
f
x
f
x
x
=
→
.
Twierdzenie:
(o granicy funkcji złożonej) Jeżeli istnieje granica właściwa
( )
g
x
g
x
x
=
→
0
lim
i funkcja f(t) jest
ciągła w punkcie t
0
= g, to
( )
(
)
( )
g
f
x
g
f
x
x
=
→
0
lim
.
Zbadać ciągłość poniższych funkcji oraz określić dla jakich wartości parametru „a” funkcje 3
i 4 są ciągłe:
ciągła
ciągła lewostronnie
nieciągła
2.9 Funkcja odwrotna.
Niech dana jest funkcja
( )
y
x
f
=
, przy czym
Y
X
na
→
−1
1
, wynika stąd, że dla każdego
elementu zbioru Y (zbiór wartości funkcji f ) istnieje dokładnie jeden element zbioru X
(dziedzina funkcji f ), taki, że:
( )
y
x
f
=
.
Funkcją odwrotną do danej funkcji
( )
y
x
f
=
nazywamy funkcję
1
−
f , przy czym
X
Y
na
→
−1
1
wynika stąd, że dla każdego elementu zbioru Y (dziedzina funkcji
1
−
f ) istnieje dokładnie
jeden element zbioru X (zbiór wartości funkcji
1
−
f ).
Aby otrzymać wykres funkcji odwrotnej
( )
x
y
f
f
=
=
−1
, gdzie
R
Y
R
X
⊂
∧
⊂
, należy
funkcję
( )
y
x
f
=
odbić symetrycznie względem prostej y = x.