ZGINANIE CIENKIEJ PŁYTY
materiały prezentowane w ramach przedmiotu „wytrzymało´s´c materiałów”
opracował: Z. Wi˛eckowski
Zginanie cienkiej płyty izotropowej
h
y
x
z
D
h D
Zało˙zenia teorii płyt Kirchhoffa
• punkty le˙z ˛
ace na normalnej do powierzchni ´
srodkowej przed
odkształceniem pozostaj ˛
a na normalnej do tej powierzchni po
odkształceniu
• napr˛e˙zenia normalne do powierzchni s ˛
a pomijalnie małe w po-
równaniu do pozostałych składowych stanu napr˛e˙zenia
1
zwi ˛
azki geometryczne
ε
x
=
∂u
x
∂x
(1)
ε
y
=
∂u
y
∂y
(2)
ε
z
=
∂u
z
∂z
(3)
γ
xy
=
∂u
x
∂y
+
∂u
y
∂x
(4)
γ
yz
=
∂u
y
∂z
+
∂u
z
∂y
γ
zx
=
∂u
z
∂x
+
∂u
x
∂z
2
zwi ˛
azki fizyczne
ε
x
=
1
E
[σ
x
− ν (σ
y
+ σ
z
)]
(5)
ε
y
=
1
E
[σ
y
− ν (σ
z
+ σ
x
)]
(6)
ε
z
=
1
E
[σ
z
− ν (σ
x
+ σ
y
)]
γ
xy
=
τ
xy
G
(7)
γ
yz
=
τ
yz
G
γ
zx
=
τ
zx
G
równania równowagi
∂σ
x
∂x
+
∂τ
yx
∂y
+
∂τ
zx
∂z
= 0
(8)
∂τ
xy
∂x
+
∂σ
y
∂y
+
∂τ
zy
∂z
= 0
(9)
∂τ
xz
∂x
+
∂τ
yz
∂y
+
∂σ
z
∂z
= 0
(10)
3
Z zało˙zenia geometrycznego, ˙ze punkty le˙z ˛
ace na normalnej do
powierzchni ´
srodkowej płyty przed odkształceniem pozostaj ˛
a na
normalnej do tej powierzchni po odkształceniu, wynika, ˙ze
u
x
= −ϕ
x
z
u
y
= −ϕ
y
z
gdzie
ϕ
x
i
ϕ
y
s ˛
a k ˛
atami obrotu normalnej w płaszczyznach
zx
i
zy. W przypadku małych ugi˛e´
c płyty prawdziwe s ˛
a relacje
ϕ
x
≈ tg ϕ
x
=
∂w
∂x
ϕ
y
≈ tg ϕ
y
=
∂w
∂y
gdzie
w ≡ w(x, y) jest funkcj ˛
a ugi˛ecia powierzchni ´
srodkowej
płyty. Zatem przemieszcenia
u
x
i
u
y
mo˙zna wyrazi´
c przez ugi˛ecie
powierzchni ´
srodkowej płyty nast˛epuj ˛
aco:
u
x
= −
∂w
∂x
z
u
y
= −
∂w
∂y
z
Powy˙zsze wzory oraz zwi ˛
a do nast˛epu-
j ˛
acych wyra˙ze´
n na składowe stanu odkształcenia:
ε
x
=
∂u
x
∂x
= −
∂
2
w
∂x
2
z
(11)
ε
y
=
∂u
y
∂y
= −
∂
2
w
∂y
2
z
(12)
γ
xy
=
∂u
x
∂y
+
∂u
y
∂x
= −2
∂
2
w
∂x ∂y
z
(13)
4
Zało˙zenie 2. (
σ
z
σ
x
, σ
y
) prowadzi do uproszczenia zwi ˛
azków
fizycznych
ε
x
=
1
E
(σ
x
− ν σ
y
)
ε
y
=
1
E
(σ
y
− ν σ
x
)
γ
xy
=
τ
xy
G
które w odwrotnej postaci mo˙zna przedstawi´
c nast˛epuj ˛
aco:
σ
x
=
E
1 − ν
2
(ε
x
+ ν ε
y
)
σ
y
=
E
1 − ν
2
(ε
y
+ ν ε
x
)
τ
xy
= G γ
xy
Wykorzystuj ˛
ac powy˙zsze zwi ˛
azki oraz zale˙zno´
sci geometryczne
(11)–(13), otrzymujemy
σ
x
= −
E
1 − ν
2
∂
2
w
∂x
2
+ ν
∂
2
w
∂y
2
z
(14)
σ
y
= −
E
1 − ν
2
∂
2
w
∂y
2
+ ν
∂
2
w
∂x
2
z
(15)
τ
xy
= −2 G
∂
2
w
∂x ∂y
z = −
E
1 + ν
∂
2
w
∂x ∂y
z
(16)
5
Z równa´
n równowagi (8) i (9) mo˙zna wyznaczy´
c napr˛e˙zenia styczne
τ
zx
i
τ
zy
∂σ
x
∂x
+
∂τ
yx
∂y
+
∂τ
zx
∂z
= 0
⇓
τ
zx
= −
Z ∂σ
x
∂x
+
∂τ
yx
∂y
dz =
Z
E
1 − ν
2
∂
3
w
∂x
3
+ ν
∂
3
w
∂x ∂y
2
+ (1 + ν)
∂
3
w
∂x ∂y
2
z dz =
E
1 − ν
2
∂
3
w
∂x
3
+
∂
3
w
∂x ∂y
2
z
2
2
+ C
warunek dla napr˛e˙ze´
n stycznych na górnej i dolnej powierzch-
niach płyty
τ
zx
|
z=±
h
2
= 0 :
h
2
8
+ C = 0 =⇒ C = −
h
2
8
τ
zx
=
E
1 − ν
2
∂
3
w
∂x
3
+
∂
3
w
∂x ∂y
2
z
2
2
−
h
2
8
Analogicznie
τ
zy
=
E
1 − ν
2
∂
3
w
∂y
3
+
∂
3
w
∂x
2
∂y
z
2
2
−
h
2
8
6
Wykorzystuj ˛
ac ostatnie równanie równowagi
∂τ
xz
∂x
+
∂τ
yz
∂y
+
∂σ
z
∂z
= 0
otrzymujemy
σ
z
= −
Z ∂τ
xz
∂x
+
∂τ
yz
∂y
dz =
−
E
1 − ν
2
∂
4
w
∂x
4
+
∂
4
w
∂x
2
∂y
2
+
∂
4
w
∂y
4
+
∂
4
w
∂x
2
∂y
2
Z z
2
2
−
h
2
8
dz =
−
E
1 − ν
2
∂
4
w
∂x
4
+ 2
∂
4
w
∂x
2
∂y
2
+
∂
4
w
∂y
4
z
3
6
−
h
2
8
z + B
σ
z
|
z=
h
2
= 0 :
h
3
48
−
h
3
16
+ B = 0 =⇒ B =
h
3
24
σ
z
= −
E
1 − ν
2
∆
2
w
z
3
6
−
h
2
8
z +
h
3
24
7
σ
z
|
z=−
h
2
= −q : −
E
1 − ν
2
∆
2
w
−
h
3
48
+
h
3
16
+
h
3
24
= −q
⇓
równanie powierzchni ugi˛ecia płyty
E h
3
12 (1 − ν
2
)
∆
2
w = q
D ∆
2
w = q,
D =
E h
3
12 (1 − ν
2
)
8
Siły przekrojowe w płycie – momenty zginaj ˛
ace, moment skr˛e-
caj ˛
acy
M
x
=
h
2
Z
−
h
2
σ
x
z dz = −
h
2
Z
−
h
2
E
1 − ν
2
∂
2
w
∂x
2
+ ν
∂
2
w
∂y
2
z
2
dz =
−
E
1 − ν
2
∂
2
w
∂x
2
+ ν
∂
2
w
∂y
2
z
3
3
+
h
2
−
h
2
=
−
E h
3
12 (1 − ν
2
)
∂
2
w
∂x
2
+ ν
∂
2
w
∂y
2
≡ D (κ
x
+ ν κ
y
)
M
y
=
h
2
Z
−
h
2
σ
y
z dz = −
E h
3
12 (1 − ν
2
)
∂
2
w
∂y
2
+ ν
∂
2
w
∂x
2
≡
D (κ
y
+ ν κ
x
)
M
xy
=
h
2
Z
−
h
2
τ
xy
z dz = −
h
2
Z
−
h
2
E
1 + ν
∂
2
w
∂x ∂y
z
2
dz =
−
E
1 + ν
∂
2
w
∂x ∂y
z
3
3
+
h
2
−
h
2
= −
E h
3
12 (1 + ν)
∂
2
w
∂x ∂y
≡ (1 − ν) D κ
xy
9
Siły przekrojowe w płycie – siły poprzeczne
Q
x
=
h
2
Z
−
h
2
τ
zx
dz =
h
2
Z
−
h
2
E
1 − ν
2
∂
3
w
∂x
3
+
∂
3
w
∂x ∂y
2
z
2
2
−
h
2
8
dz =
E
1 − ν
2
∂
3
w
∂x
3
+
∂
3
w
∂x ∂y
2
z
3
6
−
h
2
8
z
+
h
2
−
h
2
=
−
E h
3
12 (1 − ν
2
)
∂
∂x
∂
2
w
∂x
2
+
∂
2
w
∂y
2
≡ D
∂
∂x
(κ
x
+ κ
y
)
Q
y
=
h
2
Z
−
h
2
τ
zy
dz ≡ D
∂
∂y
(κ
x
+ κ
y
)
Zale˙zno´sci mi˛edzy siłami przekrojowymi i krzywiznami
M
x
= D (κ
x
+ ν κ
y
)
⇒
κ
x
+ ν κ
y
=
M
x
D
M
y
= D (κ
y
+ ν κ
x
)
⇒
κ
y
+ ν κ
x
=
M
y
D
M
xy
= (1 − ν) D κ
xy
⇒
κ
xy
=
M
xy
(1 − ν) D
Q
x
= D
∂
∂x
(κ
x
+ κ
y
)
⇒
∂
∂x
(κ
x
+ κ
y
) =
Q
x
D
Q
y
= D
∂
∂y
(κ
x
+ κ
y
)
⇒
∂
∂y
(κ
x
+ κ
y
) =
Q
y
D
10
Z powy˙zszych zwi ˛
azków oraz zale˙zno´
sci mi˛edzy napr˛e˙zeniami
i ugi˛eciami płyty wynikaj ˛
a poni˙zsze zale˙zno´
sci
σ
x
=
M
x
h
3
/12
z
σ
y
=
M
y
h
3
/12
z
τ
xy
=
M
xy
h
3
/12
z
τ
zx
=
Q
x
h
3
/12
h
2
8
−
z
2
2
τ
zy
=
Q
y
h
3
/12
h
2
8
−
z
2
2
Ponadto
σ
z
= −
E
1 − ν
2
∂
4
w
∂x
4
+ 2
∂
4
w
∂x
2
∂y
2
+
∂
4
w
∂y
4
z
3
6
−
h
2
8
z +
h
3
24
=
−
D
h
3
/12
∆
2
w
z
3
6
−
h
2
8
z +
h
3
24
11
Z powy˙zszych zale˙zno´
sci oraz równa´
n równowagi (10)–(12) wy-
nikaj ˛
a równania równowagi dla sił wewn˛etrznych w płycie
(10) ⇒
12 z
h
3
∂M
x
∂x
+
12 z
h
3
∂M
xy
∂y
−
12 z
h
3
Q
x
= 0
⇓
∂M
x
∂x
+
∂M
xy
∂y
− Q
x
= 0
(11) ⇒
∂M
y
∂y
+
∂M
xy
∂x
− Q
y
= 0
(12) ⇒
12
h
3
h
2
8
−
z
2
2
∂Q
x
∂x
+
12
h
3
h
2
8
−
z
2
2
∂Q
y
∂y
−
12
h
3
z
2
2
−
h
2
8
D ∆
2
w = 0
⇓
∂Q
x
∂x
+
∂Q
y
∂y
+ q = 0
12
M
x
M
xy
Q
x
M
x
+ ∆M
x
M
xy
+ ∆M
xy
Q
x
+ ∆Q
x
M
y
M
yx
Q
y
M
y
+ ∆M
y
M
yx
+ ∆M
yx
Q
y
+ ∆Q
y
∆x
∆y
x
y
z
Siły przekrojowe w płycie
Warunki brzegowe
y
x
z
s
n
13
brzeg zamocowany
n
s
w = w
0
,
∂w
∂n
= ϕ
0
gdzie
w
0
≡ w
0
(s), ϕ
0
≡ ϕ
0
(s) – dane funkcje, w szczególno´
sci
równe zeru
14
brzeg swobodnie podparty
n
s
w = w
0
σ
n
= σ
0
n
⇒ M
n
=
h
2
R
−
h
2
σ
0
n
z dz = M
0
−D
∂
2
w
∂n
2
+ ν
∂
2
w
∂s
2
= M
0
w = 0 ⇒
∂
2
w
∂s
2
= 0
⇒
−D
∂
2
w
∂n
2
= M
0
gdzie
w
0
≡ w
0
(s), M
0
≡ M
0
(s) – dane funkcje
15
brzeg swobodny
n
s
W sformułowaniu 3-wymiarowym trzy warunki napr˛e˙zeniowe
σ
n
= σ
0
n
,
τ
nz
= τ
0
nz
,
τ
ns
= τ
0
ns
Równanie 4-go rz˛edu wymaga sformułowania 2 (i tylko 2) wa-
runków brzegowych
?
16
n
s
Q
0
∆s
∆s
∆s
M
ns
∆s
M
ns
+
∂M
ns
∂s
∆s
∆s
M
ns
M
ns
+
∂M
ns
∂s
∆s
∆s
∂M
ns
∂s
≡ q
zast
zredukowana siła poprzeczna
Q
n
≡ Q
n
+
∂M
ns
∂s
= Q
0
17
brzeg swobodny
n
s
σ
n
= σ
0
n
⇒ M
n
= M
0
n
⇒
−D
∂
2
w
∂n
2
+ ν
∂
2
w
∂s
2
= M
0
Q
n
≡ Q
n
+
∂M
ns
∂s
= Q
0
⇓
−D
∂
∂n
∂
2
w
∂n
2
+
∂
2
w
∂s
2
− D (1 − ν)
∂
∂s
∂
2
w
∂n ∂s
= Q
0
⇓
−D
∂
3
w
∂n
3
+ (2 − ν)
∂
3
w
∂n ∂s
2
= Q
0
18
o´s symetrii
n
s
∂w
∂n
= 0 (ϕ
0
)
−D
∂
3
w
∂n
3
+ (2 − ν)
∂
3
w
∂n ∂s
2
= Q
0
19
Równanie ró˙zniczkowe powierzchni ugi˛ecia płyty
∆
2
w =
q
D
∆
2
w = ∆∆w =
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
∂
2
w
∂x
2
+
∂
2
w
∂y
2
=
∂
4
w
∂x
4
+ 2
∂
4
w
∂x
2
∂y
2
+
∂
4
w
∂y
4
Zagadnienie brzegowe
=
równanie ró˙zniczkowe
+ warunki brzegowe
20
Płyta prostok ˛
atna podparta swobodnie na dwóch brzegach –
rozwi ˛
azanie metod ˛
a Levy’ego
l
x
y
Funkcja
w
n
(x, y) = Y
n
(y) sin
n π x
l
spełnia warunki brzegowe dla
x = 0 i x = l. Zatem funkcja
w(x, y) =
∞
X
n=1
Y
n
(y) sin
n π x
l
spełnia je równie˙z.
21
∂
4
w
∂x
4
+ 2
∂
4
w
∂x
2
∂y
2
+
∂
4
w
∂y
4
=
q
D
∂
4
w
∂x
4
=
∞
X
n=1
Y
n
(y)
n
4
π
4
l
4
sin
n π x
l
∂
4
w
∂x
2
∂y
2
= −
∞
X
n=1
Y
00
n
(y)
n
2
π
2
l
2
sin
n π x
l
∂
4
w
∂y
4
=
∞
X
n=1
Y
IV
n
(y) sin
n π x
l
rozwini˛ecie funkcji obci ˛
a˙zenia w szereg Fouriera
q(x, y) =
∞
X
n=1
a
n
(y) sin
n π x
l
∞
X
n=1
Y
IV
n
− 2
n
2
π
2
l
2
Y
00
n
+
n
4
π
4
l
4
Y
n
−
1
D
a
n
sin
n π x
l
= 0 ∀x
⇓
Y
IV
n
− 2 α
2
n
Y
00
n
+ α
4
n
Y
n
=
1
D
a
n
(y),
α
n
=
n π
l
22
Y
IV
n
− 2 α
2
n
Y
00
n
+ α
4
n
Y
n
=
1
D
a
n
(y),
α
n
=
n π
l
rozwi ˛
azanie równania jednorodnego poszukujemy w postaci
Y
n
(y) = e
r
n
y
⇓
r
4
n
− 2 α
2
n
r
2
n
+ α
4
n
= 0
⇓
r
2
n
− α
2
n
2
= [(r
n
+ α
n
)(r
n
− α
n
)]
2
= 0
r
n
= ±α
n
rozwi ˛
azanie ogólne równania niejednorodnego
Y
n
(y) = A
n
sh α
n
y + B
n
ch α
n
y + C
n
y sh α
n
y + D
n
y ch α
n
y + Y
n
gdzie
Y
n
jest rozwi ˛
azaniem szczególnym równania niejednorod-
nego
23
Przykład: Płyta swobodnie podparta na czterech bokach, obci ˛
a-
˙zona równomiernie (
q = const)
l
b
b
x
y
24
obliczenie współczynników rozwini˛ecia funkcji obci ˛
a˙zenia
q(x, y) =
∞
X
n=1
a
n
(y) sin
n π x
l
q = q(x) ⇒ a
n
= const
q = const ⇒ a
n
= const
q(x, y) =
∞
X
n=1
a
n
(y) sin
n π x
l
· sin
m π x
l
,
l
Z
0
dx
l
Z
0
q sin
m π x
l
dx =
∞
X
n=1
l
Z
0
a
n
sin
n π x
l
sin
m π x
l
dx =
l
Z
0
a
m
sin
2
m π x
l
dx
poniewa˙z
l
Z
0
sin
n π x
l
sin
m π x
l
dx = 0 dla m 6= n
25
a
n
=
l
Z
0
q(x) sin
n π x
l
dx
l
Z
0
sin
2
n π x
l
dx
a
n
= q
−
l
n π
cos
n π x
l
l
0
l
R
0
1−cos
2 n π x
l
2
dx
= −
2 q l
n π
cos
n π x
l
l
0
x −
l
2 n π
sin
2 n π x
l
l
0
=
=
4 q
n π
dla
n = 1, 3, 5, . . .
0 dla n = 2, 4, 6, . . .
26
wyznaczenie rozwi ˛
azania szczególnego równania ró˙zniczkowego
Y
IV
n
− 2 α
2
n
Y
00
n
+ α
4
n
Y
n
=
1
D
a
n
Y
n
= c
n
= const
α
4
n
c
n
=
1
D
a
n
⇒ c
n
=
a
n
α
4
n
D
c
n
=
4 q
n α
4
n
π D
dla
n = 1, 3, 5, . . .
0
dla
n = 2, 4, 6, . . .
rozwi ˛
azanie ogólne równania ró˙zniczkowego
w(x, y) =
∞
X
n=1
(A
n
sh α
n
y + B
n
ch α
n
y + C
n
y sh α
n
y + D
n
y ch α
n
y + c
n
) sin
n π x
l
27
układ jest symetryczny wzgl˛edem osi
x ⇒
funkcja ugi˛ecia powinna by´
c parzysta wzgl˛edem zmiennej
y
A
n
= D
n
= 0
poniewa˙z funkcje
sh α
n
y i y ch α
n
y s ˛
a nieparzyste, czyli
w(x, y) =
∞
X
n=1
(B
n
ch α
n
y + C
n
y sh α
n
y + c
n
) sin
n π x
l
warunki brzegowe
w
y=±b
= 0 :
∞
X
n=1
(B
n
ch α
n
b + C
n
b sh α
n
b + c
n
) sin
n π x
l
= 0
∂
2
w
∂y
2
y=±b
= 0 :
∞
X
n=1
B
n
α
2
n
ch α
n
b +
C
n
2 α
n
ch α
n
b + α
2
n
b sh α
n
b
sin
n π x
l
= 0
(y sh α
n
y)
00
=(sh α
n
y + α
n
y ch α
n
y)
0
= α
n
ch α
n
y + α
n
ch α
n
y + α
2
n
y sh α
n
y =
2 α
n
ch α
n
y + α
2
n
y sh α
n
y
28
otrzymujemy nast˛epuj ˛
acy układ liniowych równa´
n algebraicznych
na stałe
B
n
i
C
n
:
B
n
ch α
n
b + C
n
b sh α
n
b = −c
n
B
n
α
2
n
ch α
n
b + C
n
2 α
n
ch α
n
b + α
2
n
b sh α
n
b
= 0
rozwi ˛
azanie układu
B
n
= C
n
= 0 dla n = 2, 4, 6, . . .
B
n
= −c
n
2 ch α
n
b + α
n
b sh α
n
b
2 ch
2
α
n
b
C
n
= c
n
α
n
2 ch α
n
b
dla
n = 1, 3, 5, . . .
29
funkcja ugi˛ecia
w(x, y) =
X
n=1,3,5,...
−
2 ch α
n
b + α
n
b sh α
n
b
2 ch
2
α
n
b
ch α
n
y +
α
n
2 ch α
n
b
sh α
n
y + 1
·
·
4 q
n πα
4
n
D
sin α
n
x,
α
n
=
n π
l
warto´
s´
c ugi˛ecia dla ´
srodka płyty kwadratowej (
l = 2b)
w
x= l2
y=0
=
X
n=1,3,5,...
−
2 ch
n π
2
+
n π
2
sh
n π
2
2 ch
2 n π
2
+ 1
!
4 q l
4
(n π)
5
D
sin
n π
2
=
=
q l
4
D
0.00410935
|
{z
}
∆=1.21%
− 0.00005055
|
{z
}
= 0.00405880
+ · · ·
≈ 0.00406
q l
4
D
gdzie symbol
∆ oznacza bł ˛
ad wzgl˛edny
30
warto´
s´
c momentu zginaj ˛
acego dla ´
srodka płyty kwadratowej
(
ν = 0.3)
M
x
= −D
∂
2
w
∂x
2
+ ν
∂
2
w
∂y
2
M
x
|
x= l2
y=0
=
=
X
n=1,3,5,...
−(1 − ν)
2 ch
n π
2
+
n π
2
sh
n π
2
2 ch
2 n π
2
+ 1
!
4 ql
2
(n π)
3
sin
n π
2
=
= ql
2
0.051668
|
{z
}
∆=7.9%
− 0.004551
|
{z
}
=0.047117, ∆=1.7 %
+ · · ·
≈ 0.0479 ql
2
31
Płyty kołowe
x
y
dr
r
dϕ
ϕ
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ
x
2
+ y
2
= r
2
,
tg ϕ =
y
x
r =
p
x
2
+ y
2
,
ϕ = arc tg
y
x
∂f
∂x
=
∂f
∂r
∂r
∂x
+
∂f
∂ϕ
∂ϕ
∂x
= cos ϕ
∂f
∂r
−
sin ϕ
r
∂f
∂ϕ
∂f
∂y
=
∂f
∂r
∂r
∂y
+
∂f
∂ϕ
∂ϕ
∂y
= sin ϕ
∂f
∂r
+
cos ϕ
r
∂f
∂ϕ
∂r
∂x
=
x
p
x
2
+ y
2
=
x
r
= cos ϕ
∂ϕ
∂x
=
1
1 +
y
x
2
−
y
x
2
= −
y
x
2
+ y
2
= −
y
r
2
= −
sin ϕ
r
∂r
∂y
=
y
p
x
2
+ y
2
=
y
r
= sin ϕ
∂ϕ
∂y
=
1
1 +
y
x
2
1
x
=
x
r
2
=
cos ϕ
r
32
∂
2
f
∂x
2
=
cos ϕ
∂
∂r
−
sin ϕ
r
∂
∂ϕ
cos ϕ
∂f
∂r
−
sin ϕ
r
∂f
∂ϕ
=
cos
2
ϕ
∂
2
f
∂r
2
− sin ϕ cos ϕ
−
1
r
2
∂f
∂ϕ
+
1
r
∂
2
f
∂r ∂ϕ
−
sin ϕ
r
− sin ϕ
∂f
∂r
+ cos ϕ
∂
2
f
∂r ∂ϕ
+
sin ϕ
r
2
cos ϕ
∂f
∂ϕ
+ sin ϕ
∂
2
f
∂ϕ
2
=
cos
2
ϕ
∂
2
f
∂r
2
− 2
sin ϕ cos ϕ
r
∂
2
f
∂r ∂ϕ
+ 2
sin ϕ cos ϕ
r
2
∂f
∂ϕ
+
sin
2
ϕ
r
∂f
∂r
+
sin
2
ϕ
r
2
∂
2
f
∂ϕ
2
∂
2
f
∂y
2
=
sin ϕ
∂
∂r
−
cos ϕ
r
∂
∂ϕ
sin ϕ
∂f
∂r
+
cos ϕ
r
∂f
∂ϕ
=
sin
2
ϕ
∂
2
f
∂r
2
+ sin ϕ cos ϕ
−
1
r
2
∂f
∂ϕ
+
1
r
∂
2
f
∂r ∂ϕ
+
cos ϕ
r
cos ϕ
∂f
∂r
+ sin ϕ
∂
2
f
∂r ∂ϕ
+
cos ϕ
r
2
− sin ϕ
∂f
∂ϕ
+ cos ϕ
∂
2
f
∂ϕ
2
=
sin
2
ϕ
∂
2
f
∂r
2
+ 2
sin ϕ cos ϕ
r
∂
2
f
∂r ∂ϕ
− 2
sin ϕ cos ϕ
r
2
∂f
∂ϕ
+
cos
2
ϕ
r
∂f
∂r
+
cos
2
ϕ
r
2
∂
2
f
∂ϕ
2
∆f =
∂
2
f
∂x
2
+
∂
2
f
∂y
2
=
∂
2
f
∂r
2
+
1
r
∂f
∂r
+
1
r
2
∂
2
f
∂ϕ
2
równanie funkcji ugi˛ecia płyty we współrz˛ednych biegunowych
∂
2
∂r
2
+
1
r
∂
∂r
+
1
r
2
∂
2
∂ϕ
2
∂
2
w
∂r
2
+
1
r
∂w
∂r
+
1
r
2
∂
2
w
∂ϕ
2
=
q
D
33
∂
2
f
∂x ∂y
=
cos ϕ
∂
∂r
−
sin ϕ
r
∂
∂ϕ
sin ϕ
∂f
∂r
+
cos ϕ
r
∂f
∂ϕ
=
sin ϕ cos ϕ
∂
2
f
∂r
2
+ cos
2
ϕ
−
1
r
2
∂f
∂ϕ
+
1
r
∂
2
f
∂r ∂ϕ
−
sin ϕ
r
cos ϕ
∂f
∂r
+ sin ϕ
∂
2
f
∂r ∂ϕ
−
sin ϕ
r
2
sin ϕ
∂f
∂ϕ
+ cos ϕ
∂
2
f
∂ϕ
2
=
sin ϕ cos ϕ
∂
2
f
∂r
2
+
cos 2ϕ
r
∂
2
f
∂r ∂ϕ
−
cos 2ϕ
r
2
∂f
∂ϕ
−
sin ϕ cos ϕ
r
∂f
∂r
−
sin ϕ cos ϕ
r
2
∂
2
f
∂ϕ
2
x
y
ϕ
M
r
M
ϕ
M
rϕ
M
ϕr
M
r
= −D
∂
2
w
∂x
2
+ ν
∂
2
w
∂y
2
ϕ=0
= −D
∂
2
w
∂r
2
+ ν
1
r
∂w
∂r
+
1
r
2
∂
2
w
∂ϕ
2
M
ϕ
= −D
∂
2
w
∂y
2
+ ν
∂
2
w
∂x
2
ϕ=0
= −D
1
r
∂w
∂r
+
1
r
2
∂
2
w
∂ϕ
2
+ ν
∂
2
w
∂r
2
M
rϕ
= −D (1 − ν)
∂
2
w
∂x ∂y
ϕ=0
= −D (1 − ν)
1
r
∂
2
w
∂r ∂ϕ
−
1
r
2
∂w
∂ϕ
34
Q
r
= −D
∂
∂x
∆w
ϕ=0
= −D
∂
∂r
(∆w)
Q
ϕ
= −D
∂
∂y
∆w
ϕ=0
= −D
1
r
∂
∂ϕ
(∆w)
warunki brzegowe
brzeg zamocowany
w|
r=a
= w
0
,
∂w
∂r
r=a
= ϕ
0
brzeg swobodnie podparty
w|
r=a
= w
0
,
M
r
|
r=a
= M
0
brzeg swobodny
M
r
|
r=a
= M
0
,
Q
r
−
1
r
∂M
rϕ
∂ϕ
r=a
= Q
0
35
Rozwi ˛
azanie równania płyty we współrz˛ednych biegunowych
∂
2
∂r
2
+
1
r
∂
∂r
+
1
r
2
∂
2
∂ϕ
2
∂
2
w
∂r
2
+
1
r
∂w
∂r
+
1
r
2
∂
2
w
∂ϕ
2
=
q
D
w(r, ϕ) = R
0
(r) +
∞
X
n=1
(R
cn
(r) cos nϕ + R
sn
(r) sin nϕ)
36
Osiowo symetryczny przypadek zginania płyty
w(r, ϕ) ≡ w(r) ⇒
∂w
∂ϕ
= 0,
M
rϕ
= 0
⇓
d
2
dr
2
+
1
r
d
dr
d
2
w
dr
2
+
1
r
dw
dr
=
q(r)
D
d
2
dr
2
+
1
r
d
dr
=
1
r
d
dr
r
d
dr
⇓
∆
2
w =
1
r
d
dr
r
d
dr
1
r
d
dr
r
dw
dr
=
q
D
37
rozwi ˛
azanie równania dla
q = const
d
dr
r
d
dr
1
r
d
dr
r
dw
dr
=
q
D
r
r
d
dr
1
r
d
dr
r
dw
dr
=
q
D
r
2
2
+ a
d
dr
1
r
d
dr
r
dw
dr
=
q
D
r
2
+
a
r
(∗)
1
r
d
dr
r
dw
dr
=
q
D
r
2
4
+ a ln r + b
d
dr
r
dw
dr
=
q
D
r
3
4
+ a r ln r + b r
r
dw
dr
=
q
D
r
4
16
+ a
1
4
r
2
(2 ln r − 1) +
1
2
b r
2
+ c =
=
q
D
r
4
16
+ a
0
r
2
ln r + b
0
r
2
+ c
dw
dr
=
q
D
r
3
16
+ a
0
r ln r + b
0
r +
c
r
w =
q
D
r
4
64
+ a
0
1
4
r
2
(2 ln r − 1) +
1
2
b
0
r
2
+ c ln r + d =
=
q
D
r
4
64
+ C
1
r
2
ln r + C
2
r
2
+ C
3
ln r + C
4
płyta kołowa bez otworu (4 stałe, 2 warunki brzegowe)
lim
r→0
ln r = −∞
|w|
r=0
< ∞
)
⇒ C
3
= 0
Q
r
≡ −D
d
dr
1
r
d
dr
r
dw
dr
= −
πr
2
q
2πr
= −
1
2
qr ⇒ C
1
= 0
38
rozwi ˛
azanie dla dowolnego obci ˛
a˙zenia
q(r)
w =
¯
q(r)
D
+ C
1
r
2
ln r + C
2
r
2
+ C
3
ln r + C
4
gdzie
¯
q(r) – rozwi ˛
azanie szczególne równania niejednorodnego
39
Przykład: płyta kołowa o promieniu
a obci ˛
a˙zona obci ˛
a˙zeniem
stałym na całej powierzchni
rozwi ˛
azanie ogólne
w =
q
D
r
4
64
+ C
2
r
2
+ C
4
warunki brzegowe
w(a) = 0 :
q
D
a
4
64
+ C
2
a
2
+ C
4
= 0
dw
dr
(a) = 0 :
q
D
a
3
16
+ 2 C
2
a = 0
C
2
= −
1
32
q
D
a
2
C
4
=
1
64
q
D
a
4
w(r) =
1
64
q
D
r
4
− 2 a
2
r
2
+ a
4
=
1
64
q
D
a
2
− r
2
2
=
=
1
64
qa
4
D
1 −
r
a
2
2
40
Obliczenie momentów zginaj ˛
acych (
M
rϕ
= 0)
dw
dr
=
1
64
q
D
· 2 (a
2
− r
2
) (−2 r) = −
1
16
q
D
r (a
2
− r
2
)
d
2
w
dr
2
= −
1
16
q
D
(a
2
− 3 r
2
)
M
r
= −D
d
2
w
dr
2
+ ν
1
r
dw
dr
=
qa
2
16
1 − 3
r
a
2
+ ν
1 −
r
a
2
M
ϕ
= −D
1
r
dw
dr
+ ν
d
2
w
dr
2
=
qa
2
16
1 −
r
a
2
+ ν
1 − 3
r
a
2
M
r
=
qa
2
16
1 + ν − (3 + ν)
r
a
2
M
ϕ
=
qa
2
16
1 + ν − (1 + 3 ν)
r
a
2
41
M
max
r
= M
r
(0) =
1 + ν
16
qa
2
M
max
ϕ
= M
ϕ
(0) =
1 + ν
16
qa
2
M
min
r
= M
r
(a) =
1
8
qa
2
M
min
ϕ
= M
ϕ
(a) =
1
8
ν qa
2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
moment promieniowy
moment obwodowy
r/a
momenty [q*a^2]
Wykresy momentów:
M
r
,
M
ϕ
(
ν = 0.3)
42
Przykład: płyta kołowa o promieniu
a obci ˛
a˙zona sił ˛
a skupion ˛
a
P
działaj ˛
ac ˛
a w´
srodku płyty
Wyznaczenie siły poprzecznej z warunku równowagi (
P P
iz
) dla
fragmentu płyty o promieniu
r
Q
r
(r) = −D
d
dr
1
r
d
dr
r
dw
dr
= −
P
2 πr
d
dr
1
r
d
dr
r
dw
dr
=
P
2 πD
1
r
1
r
d
dr
r
dw
dr
=
P
2 πD
ln r + A
d
dr
r
dw
dr
=
P
2 πD
r ln r + A r
r
dw
dr
=
P
2 πD
1
4
r
2
(2 ln r − 1) +
1
2
A r
2
+ B
dw
dr
=
P
2 πD
1
4
r (2 ln r − 1) +
1
2
A r + B
1
r
w =
P
8 πD
(r
2
ln r − r
2
) +
1
4
A r
2
+ +B ln r + C
warunek ograniczono´
sci przemieszcze´
n
lim
r→0
ln r = −∞
|w|
r=0
< ∞
)
⇒ B = 0
43
warunki brzegowe
w(a) = 0 :
P
8πD
a
2
(ln a − 1) +
1
4
A a
2
+ C = 0
dw
dr
(a) = 0 :
P
8πD
a (2 ln a − 1) +
1
2
A a = 0
A = −
P
4πD
(2 ln a − 1)
C =
P
16πD
a
2
w =
P a
2
16πD
2
r
a
2
ln
r
a
+ 1 −
r
a
2
w
max
≡ w(0) =
P a
2
16πD
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.02
0.015
0.01
0.005
0
r/a
ugiecie [Pa^2/D]
Wykres funkcji ugi˛ecia (
ν = 0.3)
44
Obliczenie momentów zginaj ˛
acych (
M
rϕ
= 0)
dw
dr
=
P
16πD
4 r ln
r
a
+ 2 r
2
a
r
1
a
− 2 r
=
P
4πD
r ln
r
a
d
2
w
dr
2
=
P
4πD
ln
r
a
+ r
a
r
1
a
=
P
4πD
ln
r
a
+ 1
M
r
= −D
d
2
w
dr
2
+ ν
1
r
dw
dr
= −
P
4π
ln
r
a
+ 1 + ν ln
r
a
M
ϕ
= −D
1
r
dw
dr
+ ν
d
2
w
dr
2
= −
P
4π
ln
r
a
+ ν ln
r
a
+ ν
M
r
= −
P
4π
h
(1 + ν) ln
r
a
+ 1
i
M
ϕ
= −
P
4π
h
(1 + ν) ln
r
a
+ ν
i
45
M
r
= −
P
4π
h
(1 + ν) ln
r
a
+ 1
i
M
ϕ
= −
P
4π
h
(1 + ν) ln
r
a
+ ν
i
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
moment promieniowy
moment obwodowy
r/a
momenty [q*a^2]
Wykresy momentów:
M
r
,
M
ϕ
(
ν = 0.3)
46
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron