Równania ruchu pkt materialnego. Tor pkt materialnego.
Równania torowe. Prędkość i przyspieszenie pkt
materialnego.
Równania ruchu punktu materialnego:

współrzędne tego

punktu podane, jako funkcje czasu- x=x(t). y= y(t). z=z(t) (czas
jest parametrem).

Torem pkt nazywa się linię, po której porusza się pkt w
przestrzenni. Tor pkt może być linią płaską lub przestrzenną.
Szczególnym przypadkiem ruchu po torze płaskim jest ruch
wzdłuż linii prostej.
Równania torowe: musi być dany tor i musi być dany
przebieg drogi w czasie przebytym, przez pkt po danym torze.
S=S(t)
Prędkość

:

wielkość wektorowa, która wyznacza szybkość i

kierunek. Jest ona równa ilorazowi długości przebytej drogi i
czasu trwania tego ruchu. Podstawową jednostką prędkości jest
1m/s. Prędkość jest wielkością wektorową, ponieważ dla jej
określenia oprócz wartości jest niezbędna znajomość jej
kierunku i zwrotu.
Przyspieszenie

:

W chwili t w ruchu pkt po linii prostej jest

równe pochodnej prędkości względem czasu. Jednostką
podstawową jest 1m/s

2

, Przyspieszenie jest wielkością

wektorową.

Ruch stały jednostajnie zmienny pkt materialnego
prostoliniowy i krzywoliniowy.
Ruchem jednostajnie zmiennym nazywamy ruch, w którym
prędkość zmienia się o jednakowe wartości w ciągu
jednakowych przedziałów czasu, czyli jest to ruch o stałym
przyspieszeniu lub opóźnieniu. Jeżeli prędkość w chwili t=0
wynosi V

0

, to prędkość w chwili t wyniesie: V=V

0

+at

Drogę przebytą w ruchu jednostajnie zmiennym
przyspieszeniem lub opóźnieniem w czasie t określa zależność
S=V

0

t±(at

2

/2), znak dodatni oznacza przyspieszenie dodatnie, a

znak ujemny przyspieszenie ujemne.
Ruch prostoliniowy-jest szczególnym przypadkiem ruchu
jednostajnie zmiennego (przy założeniu, że opory
spowodowane tarciem można pominąć), przy czym stałe
przyspieszenie jest równe ziemskiemu przyspieszeniu sił
ciężkości (g=9,81).
Drogę w ruchu prostoliniowym (ruch jednostajnie
przyspieszony ciała spadającego lub wyrzucanego w górę).
h=V

0

t±(gt

2

/2), gdzie + oznacza przysp g dodatnie (ciała

spadające), - przysp ujemne (ciało wyrzucane górę)
Ruch krzywoliniowy – po wyrzuceniu ciała z prędkością V

0

pod kątem α do poziomu (przy pominięciu oporu powietrza)
ruch w jego układzie współrzędnych x,y będzie odbywać się
zgodnie z równaniami: x=V

0

tcosα, y=V

0

tsinα-(gt

2

/2). Max

wysokość przy α: y

max

=h=(V

0

2

sin2α/2g). Max odległość przy α:

x

max

=l=(V

0

2

sin2α/g)

Ruch pkt materialnego po okręgu. Prędkość i przysp
liniowe i kątowe.
W ruchu jednostajnym pkt po okręgu koła prędkość V,
nazywana również prędkością obwodową, jest stała natomiast
kierunek ulega stałej zmianie.
Droga liniowa mierzona po łuku wynosi: S=Vt.
Drodze liniowej S odpowiada droga kątowa φ, która zakreśla
promień wodzący poruszającego się pkt: φ=S/r.
Prędkością kątową pkt (ω) nazywamy drogę kątową (w rad),
którą przebywa pkt w jednostce czasu.
ω=φ/tφ=constV=rφ/t=rω.
Przyspieszenie ma stałą wartość a

n

=V

2

/r=rω

2

=const i

zwrócone jest stale ku środkowi koła.
W ruchu zmiennym po okręgu koła zmienia się wektor
prędkości V (prędk obwodowa) a przez to również prędk
kątowa ω. Zależność miedzy prędkością liniową (obwodową) a
prędkością kątową dotyczy również ruchu zmiennego.
Przyspieszenie styczne: a

t

=dV/dt=d(rω)/dt=r(dω/dt)= rε

Przysp kątowe: ε=dω/dt=d

2

φ/dt

2

.

Przyspieszenie normalne: a

n

=rω

2

=V

2

/r

Całkowite przyspieszenie pkt: a=√a

t

2

+a

n

2

=r√ε

2

+ω

4

.

Ruch harmoniczny pkt materialnego.
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu
nazywamy ruchem okresowym (periodycznym).
Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze
wyrazić przy pomocy funkcji sin lub cos, Ponieważ f-cje te są
f-cjami harmonicznymi, przez to ruch periodyczny można
określić jako ruch harmoniczny. Okresem ruchu
harmonicznego T jest czas trwania jednego pełnego drgnięcia
lub cyklu. Jednostką [1s]. Częścią ruchu harmonicznego jest
liczba drgań (albo cykli) na jednostkę czasu. Częstość jest
odwrotnością okresu: f=1/T; Jednostką Hz=1/s.
Położeniem równowagi w ruchu drgającym nazywamy
położenie, w którym na pkt materialny nie działa siła
wypadkowa.
Przemieszczenie (wychylenie liniowe lub kątowe) jest to
odległość (liniowa lub kątowa) drgającego pkt mat od
położenia równowagi.

Ruch ciała sztywnego. Równanie ruchu. Liczba stopni
swobody. Ruch translacyjny i postępowy ciała sztywnego.
Ruch ciała sztywnego jest jednoznacznie określony przez
równania ruchu trzech pkt nie leżących na jednej prostej.
Kinematyczne równanie ruchu to pewna zależność (lub ukł
zależności), określająca położenie ciała w przestrzeni w funkcji
czasu: r=r(t).
Liczba stopni swobody to niezbędna najmniejsza liczba
parametrów do jednorazowego opisu ruchu obiekty. Pkt
materialny w przestrzeni-3 st swobody (x,y,z); płaski ruch pkt-
2 st swobody; pkt na trajektorii=1 st swobody; bryła sztywna w
przestrzeni-6 st swobody.
Ruchem postępowym ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w
czasie, którego dowolna linia prosta łącząca dwa pkt ciała
porusza się do siebie równolegle.
Wszystkie pkt ciała poruszające się ruchem postępowym
mają jednakowe tory ruchu i w ciągu tego samego okresu
przebywają takie same drogi. Prędkość wszystkich punktów
mają w danej chwili tę samą wartość i ten sam kierunek.
Ruch translacyjny – szczególny przypadek ruchu
postępowego w czasie, którego wszystkie pkt ciała poruszają
się po prostych równoległych. (Ruch
prostoliniowytranslacja, przesunięcie).

Ruch płaski ciała sztywnego. Chwilowy środek obrotu.
Prędkość i przyspieszenie ciała sztywnego w ruchu płaskim.
Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywa się taki ruch,
podczas którego wszystkie pkt tego ciała poruszają się w
płaszczyznach równoległych do pewnej stałej płaszczyzny.
Wszystkie pkt ciała leżące na prostopadłej do tej płaszczyzny
mają te same tory i prędkości. Każdy ruch płaski można
uważać za ruch postępowy figury płaskiej z jednoczesnym jej
obrotem wokół dowolnie wybranego pkt.
Ruch płaski figury określony równaniem: x

01

=x

01

(t);

y

01

=y

01

(t); φ=φ(t), gdzie x

01

, y

01

-współrzędne dowolnego pkt

figury. Φ – kąt obrotu układu ruchomego w stosunku do ukł
nieruchomego.
Chwilowy środek obrotu-to punkt, występujący w każdym
ruchu płaskim (z wyłączeniem ruchu postępowego), którego w
danej chwili prędkość jest równa zeru.
Prędkość dowolnego pkt figury w ruchu płaskim można
znaleźć wykreślnie jako sumę geometryczną prędkości bieguna
i prędkości w ruchu obrotowym wokół bieguna. Jeżeli jest dana
prędkość punktu 0, wynosząca V

01

i prędkość kątowa ω wokół

tego pkt to prędkość V

m

pkt M wyniesie: V

m

=V

01

+V

m01

, gdzie

V

m01

=ω*01m.

Ruch obrotowy ciała sztywnego dookoła osi stałej.
Dodawanie prędkości obrotowej.
Ciało sztywne wykonuje ruch obrotowy, jeżeli dwa pkt
należące do tego ciała są nieruchome. Pkt te określają wówczas
oś obrotu. Nieruchome są także wszystkie pkt na tej osi.
Do określenia ruchu obrotowego wokół stałej osi wystarczy
znać ruch dowolnego pkt ciała nie leżącego na osi obrotu.
Prędkość ruchu obrotowego ciała określa się przez badanie
prędkości kątowej ω przy czym w przypadku ogólnym
prędkość: ω=lim

Δt0

(Δφ/Δt)=(dφ/dt), Δφ-kąt obrotu ciała w

czasie Δt.
Przy ruchu obrotowym jednostajnym ω=const. Jeżeli liczba
obrotów ciała w ciągu minuty wynosi n, to prędkość kątowa:
ω=φ/t=2Πn/60.

Ruch złożony pkt materialnego. Prędkości i przysp.
Przyspieszenie Coriolisa.
Rozpatrując ruchomy ukł, w którym porusza się pkt. Układ
ten porusza się względem innego układu, który uważamy za
nieruchomy. Ruch pkt względem układu ruchomego to ruch
względny, zaś względem układu nieruchomego-ruch
bezwzględny.
Ruch pkt związanego sztywno z układem ruchomym
względem układu nieruchomego nazywa się ruchem unoszenia.
Prędkość bezwzględna V

b

jest sumą wektorową prędkości

względnej V

w

i prędkości unoszenia V

u

. V

b

=V

w

+V

u

.

Wartość prędkości bezwzględnej odpowiada długości
przekątnej równoległoboku zbudowanego na prędkości
względnej i unoszenia. V

b

=V

w

2

+V

u

2

+2V

w

+V

u

cosα. Α-kąt

między V

w

i V

u

.

Przyspieszenie bezwzględne pkt w ruchu złożonym a

b

stanowi

sumę geometryczną trzech przyspieszeń: względnego a

w

,

unoszenia a

u

oraz Coriolisa a

c

. a

b

=a

w

+a

u

+a

c

.

Jeżeli tor względny oraz tor unoszenia są torami
krzywoliniowymi, odpowiednie przyspieszenia są sumami
geometrycznymi przysp normalnego i stycznego, a więc:
a

b

=a

wn

+a

wt

+a

un

+a

nt

+a

c

.

Przyspieszenie Coriolisa a

c

występuje w tych przypadkach,

gdy ruch unoszenia jest ruchem obrotowym. Wektorowo
przyspieszenie to można wyrazić w postaci podwójnego
iloczynu wektorowego prędkości względnej V

w

i prędkości

kątowej obrotowego ruchu unoszenia ω. a

c

=2ωxV

w

.

Przyspieszenie Coriolisa jest równe zeru, gdy kierunek ruchu
względnego jest równoległy do osi obrotu. Jeżeli pkt porusza
się w płaszczyźnie prostopadłej do osi, przyspieszenie
Coriolisa wynosi: a

c

=2ωV

w

.