Nieliniowe układy regulacji
Układ nieliniowy- nazywa się układy regulacji
opisane nieliniowymi równaniami
różniczkowymi lub algebraicznymi
Jeżeli chociaż jeden z elementów układu jest
nieliniowy to cały układ jest nieliniowy.
W układach nieliniowych nie obowiązuje
zasada superpozycji.
Mówi ona że odpowiedź układu na
wymuszenie będące kombinacją liniowej
odpowiedzi na każde z wymuszeo
oddzielnie.

Układ może byd nieliniowy statycznie lub
dynamicznie –
To znaczy jego char. Statyczna określająca
wsp. wzmocnienia może nie byd linią prostą
lub przebieg zjawisk dynamicznych może
mied zależnośd nieliniową.

Procedury wyznaczania charakterystyk
zastępczych:
1.Wykreślamy we wspólnym układzie
współrzędnych charakter f

1

i f

2

.

2. Rysujemy prostą P nachyloną pod
kątem45

0

do przenoszenia sygnału”

dla wyznaczania kolejnych punktów char.
Wypadkowej należy:
3. Przyjąc jakąś wartośd sygnału
wejściowego np. x

1

.

4. odczytad wartośd na wyjściu np. =1 (człon
f

1

)

.

5. Podad tę wartośd na drugi element i
odczytad odpowiedz y

1

.

6. Przecięcie x

1

i y

1

wyznacza 1 punkt

charakter. Wypadkowej P

1

Inne punkty powtarzająd procedurę
UWAGA: przestawienie kolejności członów
zamienia chraterystykę.

Stabilnośd nieliniowych UAR:
Def. (wg LAPUNOWA) Punkt równowagi x

o

układu sterowania w n-wymiarowej
przestrzeni stanu nazywamy stabilnym jeżeli
dla dowolnego otoczenia ε stanu
równowagi można dobrad takie otoczenie η
tego punktu, że cała trajektoria
rozpoczynająca się z η bęzie zawierała się
wewnątrz obszau ε

1.Punkt równowagi jest wyłączony z 𝑥 =
0 nie ma ruchu
2. Układ sterowania opisany jest w
otoczeniu punktu równowagi układem
równao
Xi=f(x1,x2,x3,…,xn) n- rząd układó
Trajektoria – krzywa stanu po której pousza
się układ
3.η- otoczenie (obszar) warunków
początkowych może mied dowolny krztałt
4.η- jeśli jest ograniczone to stabilnośd
będzie lokalna, jeśli nieograniczone stab.
globalna

Badanie stabilności UAR:
1.metoda Lapunowa
- pośrednia
-bezpośrednia
2.Kryteium Popowa

1.Metoda Lapunowa – Polega ona na
badaniu stabilności punktów równowagi
układu nieliniowego przez badanie jego
przybliżeo liniowych w tych punktach.
Jeżeli dokona się przesunięcia początku
układu wsp. stanu do punktu równowagi
rozwiązanie będze funkcją określającą
współrzędne stanu (fi) w szeregu Taylora
To odrzucid częśd nieliniową (resztą) to układ
sterowania w otoczeniu punktu równowagi
będzie sopisany:

𝑥

1

= 𝑎

11

𝑥

1

+ 𝑎

12

𝑥

2

+ ⋯ 𝑎

1𝑛

𝑥

𝑛

:

𝑥

1

= 𝑎

𝑖1

𝑥

1

+ 𝑎

𝑖2

𝑥

2

+ ⋯ 𝑎

𝑖𝑛

𝑥

𝑛

:

𝑥

0

= 𝑎

𝑛1

𝑥

1

+ 𝑎

𝑛2

𝑥

2

+ ⋯ 𝑎

𝑛𝑛

𝑥

𝑛

Te same co 𝑥

0

= 𝐴𝑥 Jest to przybliżenie

liniowe
Z Taylora wylicza się współrzędne i, j=1,2
…n

𝑎

𝑖𝑗

=

𝜕𝑓𝑖(𝑥

1

… 𝑥

𝑛

)

𝜕𝑥

𝑗

Tw. Jeżeli przybliżenie liniowe(2) lub (3) jest
stabilne asymptotycznie to układ nieliniowy
jest stabilny w punkcie 𝑥 = 0.
Jeżeli przybliżenie liniowe(2) lub (3) jest
niestabilne asymptotycznie to układ w
punkcie równowagi jest niestabilny .
UWAGI:
1.Tą metodą niemożna zbadad czy układ
nieliniowy jest stab. Czy też nie w punkcie
równowagi jeżeli przybliżenie liniwe jest
stabilne ale nie asymptotycznie.
2.ta metoda określa stabilnośd lokalną i nie
daje odpowiedzi jak duży jest obszar
stabilności.
Metoda Lapunowa 2
Polega na rozpatrywaniu pełnego opisu
układu nieliniowego, doborze i dodaniu
pewnej funkcji zwanej f. LAPUNOWA.
Tw. Jeżeli w Obsza że D zawierającym
początek układu wsp. stanu układu
sterowania i będącego pnktem równowagi
istnieje skalarna funkcja 𝑉(𝑥

1

, 𝑥

2

. . 𝑥

𝑛

)

Od wsp. stanu dodatnio określone tzn:
a)

𝑉(𝑥)

𝑥𝜖𝐷

𝜖𝐶

1 -funkcja ciągłą wraz z 1

pochodną

b)V(0)=0
c)

𝑉(𝑥)

𝑥𝜖𝐷

𝑥 ≠0

> 0 (dodatnio określona)

i taka że jej pochodna względem czasu jest
ujemnie określona w tym obszarze tzn.
spełnia warunek a) i b) oraz

𝑉(𝑥)

𝑥𝜖𝐷

𝑥 ≠0

< 0

to układ nieliniowy opisany w przestrzeni
stanu jest stabilny asymptotycznie w
obszarze D.
Jeżeli pochodna 𝑉 (𝑥) jest ujemnie pół
określona w obszarze tj.

𝑉(𝑥)

𝑥𝜖𝐷

𝑥 ≠0

≤

0^𝑉(0) = 0
To układ nieliniowy jest w obszarze D
stabilny ale niekoniecznie asymptotycznie.
Funkcję Lapunowa przyjmuje się taka aby
spełniała w/w założenia. Nie jest to łatwe ,
najczęściej przyjmuje się formą kwadratową.


Metoda POPOWA:
Wykorzystuje się do badania układów
sterowania ze stabilnymi częściami
liniowymi i statycznym elementem
nieliniowym

TW. Jeżeli w G(s) wszystkie bieguny mają
części rzeczywiste ujemna to VAR jak na
rysunku zawierający statyczny element
nieliniowy spełniający warunek 1
Jest stabilny asymptotycznie w obszarze
nieograniczonym pod warunkiem, że wykres
zmodyfikowanej charakterystyki A-F
G(jω)= V(ω)+jV(ω) V(ω)=P(ω)
G(jω)=P(ω)+jQ(ω) V(ω)=ωQ(ω)
Częśd liniowa leży na prawo od co najmniej
jednej prostej przechodzącej przez punkt
U=-1/k, V=0
Jeżeli częśd liniowa ma 1 biegun zerowy to
musi byd spełniony dodatkowy.



Operatorowa metoda kolejnych przybliżeń:

Metoda pozwala w uproszczony sposób
analizowad pracę układu zwierającego
jednoznaczną i niejednoznaczną nieliniowośd
statyczną. Polega na wyznaczaniu kolejnych
przybliżeo przebiegu uchybu
uwzględniających coraz wpływ nieliniowości.

Punktem wyjścia rozważao jest schemat
blokowy układu regulacji:

Dane:
x

o

f(e)
G(s)
H(s)
Założenie:
f(e) – powinna dad przekształcid się do
struktury zawierającej człon proporcjonalny
f(e)=f

1

(e)+ke (nie zawsze się da)

Korzystając z teorii przekształceo Laplace’a z
definicji transmitancji można napisad
𝑌 𝑠 = 𝑘𝐸 𝑠 + 𝐿 𝑡

1

𝑒

𝐸 𝑠 = 𝑋𝑜 𝑠 ∗ 𝑍 𝑠
Transf. uchybu
𝐸 𝑠 − 𝑋𝑜 𝑠 − 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠
= 𝑋𝑜 𝑠 − 𝑋𝑜 𝑠 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠
= 𝑋𝑜 𝑠 − 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 𝐾𝐸 𝑠 + 𝐿[𝑓

1

(𝑒)

𝐸 𝑠 = 𝐸𝑜 𝑠 + 𝐵 𝑒
𝐸𝑜 𝑠 − 𝑜𝑑 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑜𝑤𝑜ś𝑐𝑖
𝐵 𝑒 − 𝑝𝑜𝑝𝑟𝑎𝑤𝑘𝑎

𝐸𝑜 𝑠 =

1

1 + 𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠

𝑋𝑜 𝑠

𝐵 𝑒 = −

𝐺 𝑠 𝐻 𝑠

1 + 𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠

𝑋𝑜 𝑠 𝐿 𝑓

1

𝑒

Eo(s) – transformata Laplace’a uchybu
zlinearyzowanego, tzw zerowe przybliżenie
przebiegu uchybu
𝐸

1

𝑠 = 𝐸𝑜 𝑠 + 𝐵 𝑒

𝑜

𝐸

𝑧

𝑠 = 𝐸𝑜 𝑠 + 𝐵 𝑒

1

𝐸

𝑛

𝑠 = 𝐸

𝑛

𝑠 + 𝐵 𝑒

𝑛−1

Procedura jest przerywana, jeżeli przebieg
kolejnego przybliżenia niewiele różni się od
poprzedniego

Metoda funkcji opisujących

Metod częstotliw. Nie można stosowad do
układów nieliniowych, gdyż nie ma dla niech
związków funkcyjnych pomiędzy
przebiegami czasowymi a char.
Częstotliwościowymi. Przy założeniu, że
częśd liniowa układu regulacji jest filtrem
dolnoprzepustowym(tłumi wyższe charm)
można opisad własności dynamicznie członu
nieliniowego, przy pomocy tak jakby
odpowiednika transmitancji widmowej tzw
FUNKCJI OISUJĄCEJ

Przybliżenie funkcji opisującej
Funkcja opisująca.

𝐽 𝐴, 𝜔 ≝

𝐵𝑒

𝑗𝜑

𝐴

=

𝐵 + 𝑗𝐶

𝐴

𝐵 𝐵

2

+ 𝐶

2

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝐶
𝐵

Funkcja opisująca 𝐽 𝐴, 𝜔 członu
nieliniowego nazywamy stosunek wartości
zespolonej amplitudy 1 Harmonicznej
odpowiedzi wywołanej wymuszenie
sinusoidalnym w stanie ustalonym do
wartości zespolonej amplitudy tego
wymuszenia to B, C , 1-harn.
e(t)=Asin𝜑 𝜑 = 𝜔𝑡

jeżeli e(t) będzie sinusoidalne to na wyjściu
członu o char. statycznej f(e) sygnał będzie
okresowy ale nie sinusoidalny.