Metody Numeryczne, egzamin, zadania przygotowawcze, 2012/13
Zadania podobne do poniższych mogą się pojawić na egzaminie.
1. (a) Omówić metodę Newtona wyznaczania miejsc zerowych funkcji f (x). Podać
założenia o funkcji f i o punkcie startowym zapewniające zbieżność do pier-
wiastka ciągu przybliżeń x
k
(k = 0, 1, . . . ) generowanego za pomocą tej metody.
Jakie można stosować kryteria zakończenia obliczeń? (Podać jedno kryterium.)
(b) Czy założenia te są spełnione, gdy f (x) = −x
2
+x+2 i punkt startowy x
0
= −2.
Wyznaczyć pierwsze przybliżenie x
1
. Obliczenia zilustrować graficznie.
2. (a) Omówić metodę siecznych wyznaczania miejsc zerowych funkcji f (x). Podać
założenia o funkcji f i o punktach startowych zapewniające zbieżność do pier-
wiastka ciągu przybliżeń x
k
(k = 1, 2, . . . ) generowanego za pomocą tej metody.
Jakie można stosować kryteria zakończenia obliczeń? (Podać jedno kryterium.)
(b) Czy założenia te są spełnione, gdy f (x) = −x
2
+ x + 2 i punkt startowy x
0
=
−2, x
1
= −1.5. Wyznaczyć pierwsze przybliżenie x
2
. Obliczenia zilustrować
graficznie.
3. Podać definicję wykładnika zbieżności metody iteracyjnej wyznaczania miejsc zero-
wych funkcji. Załóżmy, że mamy dwie metody A i B, o wykładnikach odpowiednio
2 i 3. Która z tych metod jest szybciej zbieżna? Czy dla każdej funkcji? Odpowiedź
uzasadnić.
4. Omówić metodę bisekcji wyznaczania miejsc zerowych funkcji f (x). Podać założenia
o funkcji f i o przedziale startowym zapewniające zbieżność metody. Jakie można
stosować kryteria zakończenia obliczeń?
5. Wyznacz wielomian p
3
(x), stopnia nie wyższego niż 3, spełniający warunki
p
3
(−2) = 9, p
3
(−1) = 10, p
3
(1) = 6,
p
3
(2) = 11.
Wykonaj obliczenia dwukrotnie, stosując:
• wzór interpolacyjny Lagrange’a,
• schemat ilorazów różnicowych Newtona.
6. Wyznacz wielomian p
4
(x), stopnia nie wyższego niż 4, spełniający warunki
p
4
(−2) = 9, p
4
(−1) = 10, p
4
(1) = 6,
p
4
(2) = 11,
p
4
(3) = 6.
Czy można wykorzystać obliczenia z poprzedniego zadania?
7. Niech będą dane węzły x
i
= i − 1, i = 0, 1, 2, i wartości funkcji f
0
= 1, f
1
= 0 i
f
2
= 1. Znaleźć wielomian interpolacyjny w postaci Lagrange’a dla funkcji f .
8. Dla funkcji f (x) = x
4
znaleźć wielomian interpolacyjny p
3
(x) w postaci Newtona
taki, że p
3
(k) = f (k), k = 0, 1, 2, 3. Wykaż, że w przedziale [0, 3] błąd interpolacji
nie przekracza 3/2.
1
9. Danych jest n + 1 różnych punktów x
0
, x
1
, . . . , x
n
oraz wartości pewnej funkcji f (x)
w tych punktach f
0
= f (x
0
), f
1
= f (x
1
), . . . , f
n
= f (x
n
). Rozważamy interpolację
funkcji f (x) wielomianem.
(a) Omówić zadanie interpolacji Lagrange’a (sformułować zadanie, omówić pro-
blem rozwiązywalności).
(b) Zdefiniować ilorazy różnicowe 1-go rzędu. Podać postać Lagrange’a i postać
Newtona wielomianu interpolacyjnego dla 2 węzłów.
10. Danych jest n + 1 punktów x
0
, x
1
, . . . , x
n
(x0 < x1 < ... < xn) oraz wartości pewnej
funkcji f (x) w tych punktach f
0
= f (x
0
), f
1
= f (x
1
), . . . , f
n
= f (x
n
). Punkty x
i
(i = 0, 1, . . . , n) są węzłami funkcji sklejanej.
(a) Podać definicję funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Od ilu parametrów zależy
taka funkcja?
(b) Narysować wszystkie funkcje bazowe Φ
i
różne od zera w punkcie x
5
. Ile jest
takich funkcji?
11. Danych jest n + 1 różnych punktów x
0
, x
1
, . . . , x
n
oraz wartości pewnej funkcji f (x)
w tych punktach f
0
= f (x
0
), f
1
= f (x
1
), . . . , f
n
= f (x
n
). Rozważamy aproksymację
średniokwadratową dyskretną funkcji f (x).
(a) Sformułować zadanie aproksymacji wielomianowej.
(b) Wyznaczyć wielomian optymalny postaci f
∗
(x) = ax
3
.
12. Rozważamy zagadnienie przybliżonego obliczania całki
Z
b
a
f (x)dx.
(a) Omówić kwadratury: prosty wzór trapezów i złożony wzór trapezów (przy
podziale [a, b] na n podprzedziałów o tej samej długości).
(b) Za pomocą złożonego wzoru trapezów, przyjmując podział przedziału całko-
wania na dwa podprzedziały, wyznaczyć przybliżoną wartość całki
Z
1
−1
x
2
dx
oraz błąd kwadratury. Obliczenia zilustrować graficznie.
Ad (a). Prosty i złożony wzór, interpretacja geometryczna, błąd E(f ) dla wzoru
złożonego, rząd kwadratury.
13. Pokazać, że wzór
Z
2
−2
f (x)dx ≈ 2
¡f(−2/
√
3) + f (2/
√
3)
¢
jest dokładny dla każdego wielomianu stopnia drugiego. Czy jest on dokładny rów-
nież dla wielomianów stopnia trzeciego? Ile wynosi rząd tej kwadratury?
2
14. Stosując kwadraturę
Z
3
2
f (x)dx ≈
1
8
µ
f (2) + 3f (7/3) + 3f (8/3) + f (3)
¶
obliczyć całkę
Z
3
2
2x
√
x
2
+ 4dx.
Podać wartość błędu kwadratury (w tym celu należy obliczyć całkę analitycznie).
15. Niech
y
′
= y − 4x
2
+ 8x + 1,
y(−1) = 3.
Stosując dyskretyzację z krokiem 1/2, wykonaj dwa kroki metodą Eulera wyzna-
czając przybliżone wartości funkcji y. Następnie (dla tego samego zagadnienia)
wykonaj dwa kroki metodą punktu środkowego. Przyjmując, że dokładne rozwią-
zanie podanego zagadnienia to y = 4x
2
− 1, wyznacz błąd globalny obu metod w
drugim kroku.
Jaki jest rząd metody Eulera i co to oznacza?
16. Zakładamy, że zagadnienie początkowe
y
′
= f (x, y),
y(x
0
) = y
0
,
(∗)
ma jednoznaczne rozwiązanie na [x
0
, b].
(a) Omówić jawną i niejawną metodę Eulera rozwiązywania zagadnienia (∗).
(b) Dla zagadnienia początkowego
y
′
= x − 3y + 1,
y(1) = 1
za pomocą jawnej i niejawnej metody Eulera obliczyć ˆ
y
1
oraz ˆ
y
2
, gdy h = 1.
Obliczenia zilustrować graficznie.
Ad (a.) Przybliżone rozwiązanie wyznaczamy w punktach równoodległych x
i
=
x
0
+ ih (i = 1, 2, . . . , n), gdzie h = (b − x
0
)/n jest krokiem całkowania; należy
podać wzory, omówić iteracyjne rozwiązywanie wzorów niejawnych.
17. (a) Ocenić w przybliżeniu błąd bezwzględny i błąd względny, jaki popełniamy,
obliczając wartość funkcji dwóch zmiennych z = f (x, y), jeżeli przyjęte do
obliczeń x i y są niedokładne, przy czym oszacowania ∆x i ∆y są niewielkie.
(b) Podać oceny przybliżone błędów, oraz wskaźniki uwarunkowania, gdy f (x, y) =
x
2
+ y
2
.
Ad a. Wyprowadzić oceny przybliżone ∆x i ∆y. Podać wskaźniki uwarun-
kowania obliczania wartości f względem każdej zmiennej i wyjaśnić, o czym
świadczy wielkość wskaźnika uwarunkowania.
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron