Estymacja

i testowanie hipotez

Podstawowe pojęcia statystyczne

zbiorowość statystyczna, populacja generalna – zbiór
jednostek statystycznych mających przynajmniej jedną cechę
stałą oraz pewną liczbę cech zmiennych

próba, populacja próbna – wyodrębniona za pomocą
odpowiedniej metody statystycznej część populacji
generalnej

jednostka statystyczna – obiekt wyodrębniony na potrzeby
badania statystycznego

cecha statystyczna – właściwość jednostek statystycznych
podlegająca badaniu

jakościowa

ilościowa

ciągła

skokowa

2

Podstawowe pojęcia

Badania pełne (wyczerpujące),

obejmujące całą populacje

generalną nie są często wykorzystywane z kilku
powodów:

wysokie koszty badania, związane z liczebnością badanej
zbiorowości, z koniecznością zaangażowania dużej liczby osób
o odpowiednich kwalifikacjach;

trudności z dostępem do niektórych elementów populacji;

pracochłonność − długi czas potrzebny na opracowanie
wyników;

niszczenie materiału badawczego w trakcie badania jakości
wyprodukowanych przedmiotów.

Podstawowe pojęcia

Badanie częściowe, wyrywkowe, obejmujące próbę

reprezentacyjne polegające na losowaniu próby

ze zwracaniem

bez zwracania

warstwowe

etapowe

systematyczne

subiektywne, nielosowe

łatwości dostępu

próba uznaniowa

kuli śniegowej

celowe

kwotowe

Wnioskowanie statystyczne

to zbiór reguł uogólniania wyników z próby
losowej na populację generalną

obejmuje

estymację

punktową (parametryczną)

przedziałową (nieparametryczną)

testowanie hipotez

parametrycznych

nieparametrycznych

5

Estymacja a weryfikacja

estymacja

to metody szacowania (estymacji)

nieznanego rozkładu lub nieznanych parametrów
rozkładu badanej cechy X w populacji generalnej

weryfikacja hipotez

to metody testowania

(sprawdzania) dowolnego przypuszczenia
dotyczącego nieznanego rozkładu lub nieznanych
parametrów rozkładu badanej cechy X w
populacji generalnej.

6

Estymacja punktowa

estymacja punktowa

polega na wyborze „dobrego” estymatora

(czyli przybliżenia) dla szacowanego parametru i obliczeniu
jego wartości liczbowej będącej oszacowaniem tego parametru

estymacja punktowa

oznacza, że dla każdego parametru

populacji znajduje się jedną liczbę (na podstawie realizacji
próby), tak aby była ona możliwie najlepszym przybliżeniem
nieznanego parametru.

Estymatorem (statystyką) parametru nazywa się funkcję próby,
której rozkład prawdopodobieństwa zależy od szacowanego
parametru, np. estymatorem średniej z próby jest funkcja:

7

x

n

x

i

i

n

=

=

∑

1

1

Estymacja punktowa - przykłady

Analiza danych pozwala uzyskać informacje na temat
pewnych ich charakterystyk czyli

estymacji

pewnych

parametrów rozkładu

ś

redniej dziennej stopy zwrotu z indeksu WIG

ś

rednich dochodów konsumentów

ryzyka związanego z inwestycją w akcje pewnej spółki

procentu osób popierających działania rządu

korelacji między poziomem sprzedaży a wysokością cen

tempa dynamiki w zmianach cen mieszkań

8

Estymacja przedziałowa

polega na konstrukcji przedziału liczbowego o takiej własności, że
z ustalonym z góry prawdopodobieństwem 1-α (

poziom ufności

) w

przedziale tym zawiera się estymowany parametr

im wyższy poziom ufności tym przedział szerszy

im większa próba tym przedział węższy

9

P(a < θ < b) = 1−α

gdzie a i b to dolna i górna granica przedziału ufności a
prawdopodobieństwo 1−α (poziom ufności) jest dane z góry i
przyjmuje najczęściej wartość: 0,90; 0,95; 0,99

Granice przedziału ufności są losowe, a więc dla konkretnych
prób można uzyskać różne wartości.

Otrzymany konkretny przedział interpretuje się następująco:

w 1-

α

procentach przypadków przedział (a, b) pokrywa

nieznaną wartość parametru

θ

.

Oznacza to jednocześnie, że średnio w

α

procentach

przypadków wyznaczony przedział

nie pokrywa

szacowanego

parametru.

Prawdopodobieństwo

α

, które jest ryzykiem takiego błędu, to

poziom istotności

.

10

Estymacja przedziałowa

Przedział ufności dla średniej (wartości oczekiwanej)

11

A zatem

po wylosowaniu n-elementowej próby prostej z populacji o
rozkładzie normalnym o znanej wariancji σ

2

buduje się przedział

ufności dla wartości oczekiwanej korzystając ze wzoru

czyli

Przedział ufności dla średniej (wartości oczekiwanej)

12

Dla dużej próby – gdy n > 30

i σ – parametry wyznaczone z próby

t

α

– wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego T~N(m,σ) dla

Przedział ufności dla średniej (wartości oczekiwanej)

13

Dla małej próby – gdy n < 30

i σ – parametry wyznaczone z próby

t

α,n-1

– wartość odczytana z tablic rozkładu Studenta dla α i n-1 stopni

swobody

Tablice
rozkładu
Studenta –
fragment

14

Przedział ufności dla frakcji (udziału,

prawdopodobieństwa)

X – liczba zdarzeń sprzyjających

n – liczebność próbki (liczb wszystkich zdarzeń)

t

α

– wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego

T~N(m,σ) dla

15

Minimalna liczebność próby

Różnica między wartością oczekiwaną a średnią z próby to

tolerancja

(błąd oszacowania = połowie długości przedziału

ufności)

16

n

σ

t

d

m

X

α

=

=

-

stąd po przekształceniu otrzymuje się wzór na

minimalną

liczebność próby

2

2

2

=

d

σ

t

n

α

Minimalna liczebność próby dla frakcji

17

ustalenie wielkości próby dla

wskaźnika struktury

(frakcji, odsetka, procentu, prawdopodobieństwa
sukcesu), gdzie p − jest frakcją elementów wyróżnionych
w populacji

2

2

=

d

pq

t

n

α

Jeśli nie jest znany rząd wielkości szacowanego parametru p
wtedy zakłada się, że p = q = 1/2 a wzór przybiera postać:

2

2

4

=

d

t

n

α

Dziękuję za uwagę

18