MATEMATYKA

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH – odpowiedzi do zadań z zestawu 5

Odpowiedzi do zad. 5.3

a) (2, -2, 3)

b) dla a 6

= 0 ma rozw., dla a = 0 układ sprzeczny

c) nieskończenie wiele rozw.

(−10 − 7x

3

,

−

6 − 5x

3

, x

3

)

d) układ sprzeczny

e) nieskończenie wiele rozw.

(11x

3

−

1, 14x

3

−

2, x

3

)

f) dla a

= −6 ma 1 rozw. (-8, -10), dla a 6= −6 układ sprzeczny

g)

(

−

17

13

,

2

13

)

h) układ sprzeczny

i) nieskończenie wiele rozw.

(1 + x

2

+ 3x

4

; x

2

; 1 + 3x

2

+ 5x

4

; x

4

)

j) układ sprzeczny

k) (1, 2, -2)

l) nieskończenie wiele rozw.

(

−

11

7

x

3

;

−

1

7

x

3

; x

3

)

m) układ sprzeczny

n) nieskończenie wiele rozw. postaci

(t + 1; −3t; t; 0)

Zad. 5.5

a) dla m 6

= 6 układ równań niezależnych, dla m = 6 układ równań sprzecznych

b) układ równań niezależnych dla a ∈ R (ma jedno rozwiązanie niezależnie od wartości jaką przyjmuje parametr)

c) dla m 6

= 1

1

3

układ równań niezależnych, dla m

= 1

1

3

układ równań sprzecznych

Zad. 5.6.

a) dla a 6

= 2 układ równań niezależnych, dla a = 2 układ równań sprzecznych

b) dla m 6

= 4 układ równań niezależnych, dla a = 4 układ równań zależnych

c) dla a 6

= 6 ∧ a 6= −6 układ równań niezależnych;

dla a

= −6 układ równań sprzecznych;

dla a

= 6 układ

równań zależnych

Zad. 5.7.

a) dla a 6

= 1 ∧ a 6= −1 układ ma jedno rozwiązanie (układ oznaczony, czyli układ równań niezależnych;

dla

a

= −1 ∨ a = 1 układ równań nie ma rozwiązania (układ równań sprzecznych)

b) dla a 6

= 2 ∧ a 6= −2 układ ma jedno rozwiązanie (układ oznaczony, czyli układ równań niezależnych;

dla

a

= −2 ∨ a = 2 układ równań nie ma rozwiązania (układ równań sprzecznych)

c) dla a 6

= 3∧a 6= −3 układ ma jedno rozwiązanie (układ oznaczony, czyli układ równań niezależnych; dla a = −3

układ równań nie ma rozwiązania (układ równań sprzecznych);

dla a

= 3 układ równań ma nieskończenie wiele

rozwiązań

Zad. 5.8.

a) dla m 6

= 12 układ ma 1 rozwiązanie;

dla m

= 12 ∧ a = 0 układ równań ma nieskończenie wiele rozwiazań;

dla m

= 12 ∧ a 6= 0 układ równań nie ma rozwiązania

b) dla a 6

= 1

1

3

układ ma 1 rozwiązanie;

dla a

= 1

1

3

∧ b

= 1

1

2

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań;

dla a

= 1

1

3

∧ b 6

= 1

1

2

układ równań nie ma rozwiązania

c) układ ma dokładnie 1 rozwiązanie niezależnie od wartości parametrów a i b