Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 1, r.ak. 2007/2008

Zad.1.

[ 6p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 ]

Rozwiązać nierówność:

4 · 3

|x−2|−1

− 3

2|x−2|−2

6 3.

Zad.2.

[ 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 2 ]

Rozwiązać równanie:

log

sin x

(cos x) + log

cos x

(sin x) = 2.

Zad.3.

[ 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 3 ]

Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji

f (x) = 3 − sin

x

2

,

D

f

= [−π, π].

Obliczyć f

−1

(3) i f

−1

(2) , podać dziedzinę D

f

−1

i zbiór wartości W

f

−1

oraz naszkicować wykres funkcji odwrotnej f

−1

.

Zad.4.

[ 4p+2p - rozwiązanie piszemy na stronie 4 ]

a) Obliczyć granicę:

lim

n→∞

"

 1 − 4n

3 − 4n



2n−7

+

n

√

6

n

+ 4

n

+ 6 · 2

n

#

.

b) Niech dany będzie ciąg o wyrazie ogólnym a

n

= q

n

, gdzie q

= ln t − 1 .

Dla jakich wartości parametru t ciąg a

n

ma granicę właściwą.

Zad.5.

[ 2p+2p - rozwiązanie piszemy na stronie 5 ]

a) Podać definicję Heinego granicy jednostronnej

lim

x→1+

f (x) = 5.

b) Obliczyć granicę:

lim

x→0

x sin 4x

√

3x

2

+ 4 − 2

.

Zad.6.

[ 4p - rozwiązanie piszemy na stronie 6 ]

Dobrać stałe a i b, tak aby funkcja f

(x) była ciągła w punkcie x

0

= 0,

f (x) =











a · arctg

1

x

+ 1

x < 0

b

x = 0

sin x

2

x

x > 0